Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion."

Ulla-Britt Strömberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse). För = 1, 2,... gäller (xy) = ( ) x ( ) x 1 y ( ) x 2 y 2 ( ) y För beviset behöver vi ocså följade Lemma. Pascales triagel: ( ) ( ) ( 1) =. 1 ( x 2 ) 30. ) Ex 1. Beräa ostatterme i 2 32 x 8 Ex 2. Med idutio a vi ocså visa att ( är ett heltal för 0, och ) (... ) ( 1 1) = ( ) ( 1 ) ( 2 Kombiatori Kombiatorie aväds för att besvara frågor

2 av type på hur måga sätt...? I de här urse studerar vi ågra av de elaste frågeställigara av dea och liade typer. Ex 3. På e bohylla fis det 6 olia egelsa böcer, 8 olia frasa böcer och 10 olia tysa böcer. Det fis (i) = 480 sätt att välja 3 böcer och 1 i varje språ; (ii) = 24 sätt att välja 1 bo i ett av språe. Ex 4. E examiatio består av 8 frågor med multipelval. Varje fråga har 3 svar (1 rätt och 2 fel). Atalet svarssätt till alla frågor är 3 8 = Vi formulerar detta som e allmä idè, Multipliatiospricipe: Ett val av s elemet a 1,..., a s, där det första valet a se på r 1, det adra på r 2 osv, a se på r 1 r 2 r 4 olia sätt. Ex 5. Ett datorlöseord iehåller e bostav (av 26 möjliga) följd av 3 eller 4 siffor. (i) det

3 totala atalet möjliga löseord är (ii) atalet löseord uta upprepade siffror är Ex 6. Atalet femsiffriga heltal som iehåller 6 exat e gåg? ( ) Ex 7. Hur måga ord med 5 bostäver a bildas av de 5 bostävera i PAPPA? Permutaioer. E permutatio är e bijetio av e ädlig mägd på sig själv. Det fis alltså! permutatioer av föremål. Ex 8. (1, 2, 3) och (2, 1, 3) är olia permutatioer. Vi har σ(1) = 2, σ(2) = 1, σ(3) = 3. Därför det fis 6 perumatioer på e mägd av 3 föremål: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ex 9. Ett aat sätt att bevisa biomialsatse är följade: Vi iser att hopmultipliatioe av de fatorera (x y) ommer att

4 ge ett atal termer, som alla har forme x y l med l =, dvs. termer som a srivas x y. Fråga är: för ett visst -värde hur måga termer får vi av dea form? E såda term uppstår geom att ma ur var och e av de paratesera väljer edera x eller y, och sammalagt gåger väljer x. Om vi sa välja ut e delmägd med elemet ur e mägd med elemet så a vi först välja ett elemet på sätt, seda ästa elemet på 1 sätt osv tills vi har elemet. Eligt multipliatiospricipe så a detta alltså göras på ( 1) ( 2) ( 1) =!/( )! sätt. Me det vi u gjort är ett ordat urval, dvs vi håller reda på de ordig i vile vi valt elemete. Det betyder att varje mägd med elemet har räats lia måga gåger som det fis permutatioer av de, dvs! gåger. Atalet delmägder blir alltså ( 1) ( 2) ( 1) /! =!!( )! = ( ). Därmed är formel bevisad. Ex 10. Låt A = (a ij ) vara e 3 3-matris. Vi a visa att det(a) = ±a 1,j1 a 2,j2 a 3,j3 där

5 summa är över alla möjliga permutatioer på 3 elemet och tecet är positivt om e permutatio a omma tillbaa till (1, 2, 3) efter ett jämt atal byte av två elemet aars är tecet egativt, t ex a 11 a 22 a 33 har tece ((1, 2, 3) har iget byte), a 12 a 23 a 31 har plustece ((2, 3, 1) (2, 1, 3) (1, 2, 3)), a 12 a 21 a 33 har egativt tece ((2, 1, 3) (1, 2, 3)). Kombiatioer. Vi sa åter studera problemet att välja ut elemet blad giva, me u bortser vi frå ordige mella de valda elemete. Detta allas att välja ut e ombiatio av elemet ur de giva. Atalet olia ombiatioer med elemet är ( ). Ex 11. Ett ombiatorist bevis på Pascals triagel: Vi vet att ( ) är atalet delmägder med elemet valda ur e mägd med elemet. Välj u ut ett speciellt elemet, säg a ur mägde med elemet. E delmägd med elemet a u atige iehålla a eller ite iehålla a. I det första fallet sa ma välja ut 1 elemet blad de återståede 1

6 elemete för att få e delmägd med elemet ( ) tillsammas med a. Detta a göras på 1 1 sätt. I det adra fallet sa ma välja alla elemete blad 1 för att få e delmägd med elemet. Detta a göras på ( ) 1 sätt. Sammalagt får vi lihete. För att räa med biomialtal är det ofta effetivare att täa på de ombiatorisa betydelse ä att aväda formel. Ex 12. ( ( ( ) ( ( ) 0) 1) ) = 2. Ex 13. ( ( ( ) 0) 1) 2... ( 1) 1 ( ) 1 ( 1) ( ) = 0. Ex 14. =1 2 = ( 1)(2 1)/6 a bevisas med hjälp av observatioe 2 = ( ( ) 1) 2 2 och Ex 2.

Relevanta dokument

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de