Väntevärde för stokastiska variabler (Blom Kapitel 6 och 7)

Transkript

1 Matemats statst för STS vt Begt Rosé Vätevärde för stoastsa varabler (Blom Kaptel 6 och 7 1 Vätevärde för e dsret stoasts varabel Låt vara e dsret s.v. med saolhetsfuto p ( elgt eda. Saolhetera p (0, p (1, p (, a oretseras så här. Om slumpförsöet, som häför sg tll, utförs ett stort atal, säg, gåger (oberoede av varadra, så gäller följade ; atar värdet 0 ugefär p (0 gåger, atar värdet 1 ugefär p (1 gåger, atar värdet ugefär p ( gåger, osv. Geomsttet av de värde som atar de försöe blr då, åtm. ugefär ; 0 p (0 1 p (1 p ( 3 p (3... p (. (1 Ju större är, desto mdre ugefärlgt är resoemaget ova, och det blr "perfet" är. Storhete (1 allas vätevärdet för de s.v., och betecas E( ; 0 E ( p (. ( E( har alltså tolge "geomsttet för de värde som atar vd måga utförade av slumpförsöet". Formel ( gäller är de dsreta s.v. bara a ata heltalsvärde. I det allmäa fallet är de dsreta s.v. a ata värde x 1, x, x 3,, som te ödvädgt är heltalsvärde leder ovaståede resoemag tll edaståede formel för vätevärdet ; E ( x p (x. (' Vätevärde för e otuerlg stoasts varabel Nu betratas e otuerlg s.v. med täthetsfuto f (x, - < x <. Ett sätt att se på e såda varabel är (se Blom sda 64 samt Avstt 3.8 att de för små värde på uppför sg approxmatvt som de dsreta s.v. med möjlga värde 0,,, 3, och med saolhetsfuto ; p ( P( f (. (3 1

2 Elgt ( ' är vätevärdet för (de dsreta s.v. ; E ( ( p ( ( f (. (4 Vd ltet eftertae ses att summa (4 är e "approxmerade summa" för tegrale (5 eda. När 0 overgerar summa mot de tegrale. E( x f (x dx. (5 Itegrale (5 deferar vätevärdet E( för e otuerlg s.v. vars fördelg har täthetsfuto f (x. Äve detta fall har E( tolge "geomsttet av de värde som atar måga utförade av slumpförsöet". DEFINITION av vätevärde (Blom sda 116 : E( p x f ( är har dsret fördelg, (x dx är har otuerlg fördelg. Kommetar : Alteratva betecgar för vätevärdet för är m eller bara m. (6 3 Vätevärde för futoer av stoasts varabler Låt vara e s.v. med äd fördelg, vle är atge dsret med saolhetsfuto p eller otuerlg med täthetsfuto f. Vdare, låt g( vara e "valg" futo ( = e reellvärd futo av e reell varabel. Itresset gäller de "ya" stoastsa varabel Y = g(. Mer precst betratar v följade problem. Problem : Hur beräas vätevärdet E(Y? E möjlghet att beräa E(Y är att först beräa fördelge för Y, dvs. beräa de tllämplga av p Y (är har dsret fördelg eller f Y (y (är Y har otuerlg fördelg, på sätt som dsuteras Bloms Kaptel 5. Därefter aväder ma de tllämplga av formlera (6, dvs. edera av E (Y p Y ( eller E(Y yf Y (y dy. Att ta sg fram de väge är prcp möjlgt, me leder valge tll omplcerade rägar, därför att det är råglgt att beräa p Y eller f Y (y Ma a oftast slppa avsevärt ldrgare uda med hjälp av resultatet Sats 1 på sda 118 Blom. Det säger att de tllämplga av formlera (7 ger vätevärdet för e s.v. Y = g( som är e futo av e s.v. med äd fördelg ; E(Y E(g( g( p g(x f ( (xdx är har dsret fördelg, är har otuerlg fördelg. För e s.v. Z = g(,y som är e futo av två smultafördelade s.v. och Y med äd tvådmesoell fördelg har formel (7 edaståede motsvarghet, vle formuleras Sats 1' på sda 11 Blom ; (7

3 g( j, p,y ( j,, j, E(Z E(g(, Y g(x, y f,y (x, y dxdy. Med hjälp av (8 a följade vtga resultat bevsas (se Bloms Avstt 7.. (8 SATS (Blom Sats 1, sda 149 : För oberoede s.v. och Y gäller ; E( Y = E( E(Y. (9 Kommetar : Formel (9 gäller oavsett vle typ fördelgara för och Y har. T.ex. gäller de om har dsret och Y otuerlg fördelg. 4 Läges / vå - mått och sprdgsmått för s.v. De "fullstädga" besrvge av fördelge för e s.v. ges av atge fördelgsfutoe F (x - < x < eller edera av saolhetsfutoe p och täthetsfutoe f. Ofta a det doc vara svårt (för att te säga omöjlgt att beräa fördelge fråga exat. Då får ma öja sg med att besrva fördelge sa "stora drag". Det hadlar då främst om att ge så formatva svar som möjlgt på framför allt edaståede frågor. a Vle är vå för de värde som atar? b Hur mycet varerar successva - värde rg geomsttsvå? c För smultafördelade och Y är ma ocså tresserad av : På vlet sätt, och hur start, samvar erar de värde som och Y atar? Storheter som ger svar på fråga a allas lägesmått eller våmått. Sådaa som ger svar på b - fråga allas sprdgsmått eller varatosmått, och sådaa som ger svar på c - fråga allas sambadsmått eller beroedemått. Att vätevärdet E( är ett aturlgt våmått har förhoppgsvs reda framgått. Ett aat våmått är medae (se Blom sda 11. Det främsta sprdgsmåttet är de s.. stadardavvelse. De betecas D( (blad ocså med ågo av, eller ( och deferas elgt eda ; D( E( E( V(. (10 Storhete uder vadratrote allas för varase för. De beräas elgt (11 eda, där ortsrvge m för E( aväds ; V( = E[( - m ] = ( m (x m p f (, (x dx. Notera att (11 aväds formel (8 för beräg av vätevärdet för e futo av de s.v.. Följade berägsformel för varas fs Sats på sda 14 Blom. V( = E( - (E( = E( - m. (1 (11 3

4 Några ytterlgare räeregler för vätevärde och varaser ges Sats 3 på sda 14 Blom. Med för e s.v. och a och b för ostater gäller ; E(a + b = a E( + b, (13 V(a + b = a V(, (14 D(a + b = a D(. (15 Att stadardavvelse V( ger formato om hur mycet e s.v. varerar rg stt geomsttsvärde m = E( framgår av edaståede resultat. Tjebyshovs olhet (Blom sda 155. För e s.v. med vätevärde m och stadardavvelse gäller ; 1 P( - m, för varje > 1. (16 Exempel : För = säger (16 att P( - m 0.5, dvs. att saolhete att atar ett värde som avver med dubbla stadardavvelse eller mer frå vätevärdet är högst 5 %. De begräsge gäller alltså oavsett vle fördelg har, me ebär oftast rätt stor översattg av saolhete fråga. För det flesta s.v. gäller att P( - m är 90 à 95 %. E operato som ommer att avädas måge gåg framöver är stadardserg av e s.v. Med de stadardserade versoe av de s.v. avses edaståede s.v. Y; E( m Y. (17 D( Vd eftertae ses att Y är stadardserad såtllvda att ; E(Y = 0 och V(Y = D(Y = 1. (18 V går u tll de tdgare c - fråga, som gäller arte och grade av samvarato mella två stoastsa varabler och Y. E cetral storhet det sammahaget är ovarase för och Y. De betecas C(,Y och deferas elgt eda (Blom sda 134 ; C(,Y = E[( - E( (Y - E(Y] = E[( - m (Y - m Y ]. (19 Följade räeregel gäller (Sats 5 Blom på sda 134 ; C(,Y = E ( Y - E( E(Y = E( Y - m m Y. (0 Vd eftertae ses att tecet på ovarase ger följade formato (vlet dsuteras mer utförlgt på sdora 134 och 135 Blom. C(,Y > 0 träffar om "huvudtedese" är att är atar ett värde över stt geomsttsvärde m så atar ocså Y ett värde över stt geomsttsvärde m Y eller tvärtom, är atar ett värde uder stt geomsttsvärde m så atar ocså Y ett värde uder stt geomsttsvärde m Y. (I dessa fallfall har fatorera ( - E( och (Y - E(Y samma tece, varvd deras produt blr postv. Här talar ma om postv samvarato mella och Y. C(,Y < 0 träffar är "huvudtedese" är de motsatta, dvs. är stora värde på ( förhållade tll m ommer tllsammas med små värde på Y ( förhållade tll m Y. Då förelgger egatv samvarato mella och Y. När C(,Y = 0 sägs och Y vara oorrelerade. Det träffar omm ; 4

5 E( Y = E( E(Y. (1 C(,Y "ltet" derar svag eller ge samvarato mella och Y. V har tdgare peat på att (1 gäller är och Y är oberoede stoastsa varabler. Som e oseves av detta gäller följade. SATS (Blom sda 113 : Oberoede stoastsa varabler är oorrelerade. Kommetar : Ma a doc te väda på stee satse ova. Två smultafördelade s.v. och Y a vara oorrelerade uta att vara oberoede. Kovarase C(,Y a stadardseras tll orrelatosoeffcete (,Y ; C(, Y (, Y. ( D( D(Y Värdet på e orrelatosoeffcet lgger mella - 1 och + 1, dvs Tecet på ager type av sambad mella och Y elgt vad som sägs ova för ovarase C(,Y. Absolutvärdet har följade ebörd. Ju ärmare 1 det lgger, desto starare sambad råder mella och Y, meda ära 0 ebär att sambadet är svagt eller obeftlgt. 5 Räeregler för vätevärde, varaser och ovaraser SATS (Blom sdor 149, 150 : För smultafördelade stoastsa varabler och Y gäller allmät (= oavsett om varablera är oorrelerade eller ej ; E( + Y = E( + E(Y, (3 V( + Y = V( + V(Y + C(,Y. (4 Om och Y är är oorrelerade, vlet de är bl.a. om de är oberoede, gäller C(,Y = 0, och (4 förelar sg tll ; V( + Y = V( + V(Y. (5 Geom att ombera (3, (4 och (5 med formlera (13 - (15 fås räregler för vätevärde och varas för stoastsa varabler som är ljärombatoer av adra stoastsa varabler. Se sdora 151 och 15 Blom. SATS (Blom Sats 3 på sda 151 : För s.v. 1,,, och ostater c 1, c,, c gäller allmät ; 1 c E( 1 E ( c, (6 1 c1 V( c1 C(, j 1 j V ( c. (7 Om 1,,, är oorrelerade, vlet de är bl.a. om de är oberoede, förelar sg (7 tll ; 1 c1 V( 1 V ( c. (8 5

6 SATS (Blom sda 15 : Låt 1,,, vara oberoede s.v. som alla har samma fördelg, och därmed samma vätevärde m och stadardavvelse. Sätt ; 1..., (ofta allat stcprovsmedelvärdet (9 Då gäller ; a E( = m, (30 b V( =, (31 D( =, (3 E ( m, V(, D(. (33 6