DIAGONALISERING AV EN MATRIS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "DIAGONALISERING AV EN MATRIS"

Transkript

1 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr mtris P och e digolmtris D så tt ( ) Amärig. Oft vill m väd smbdet som vi får ur (*) geom tt lös ut A. Med "digoliser e mtris (om möjligt )" mer vi tt sriv, om möjligt, mtrise A på forme A PDP där D är e digol mtris. I vår urs betrtr vi digoliserig över reell tl med dr ord räver vi tt både P och D hr reell elemet. När vi sriver digoliserbr mtris mer vi i de här urse tt mtrise är digoliserbr över reell tl. Sts. Stse om digoliserbr mtriser och lijärt oberoede egevetorer Låt A vr e vdrtis mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om och edst om mtrise hr e uppsättig v st lijärt oberoede egevetorer. Om vi hr lijärt oberoede egevetorer då bestämmer vi D och P i uttrycet (*) eligt följde: Mtrise D bygger vi upp v mtrises egevärde. Mtrise P bygger vi upp geom tt sriv egevetorsoorditer som oloer i P. T ex i fllet 3 3, om mtrise A hr tre oberoede vetorer,,, med motsvrde egevärde,, då är h. Som sgt, betrtr vi ( i de urs) edst reell egevärde och egevetorer, och därmed gäller (Mtrise A hr mist ett egevärde) (A är INTE digoliserbr ) Uppgift. Avgör om A är e digoliserbr mtris och bestäm D och P om dett är fllet. ) b ) A c) A 3 d) 3 e) 4 3

2 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris Lösig ) Mtrise hr två lijärt oberoede egevetorer och ( se Uppgift i extr övigr Egevärde och egevetorer ) och därmed är mtrise digoliserbr. Motsvrde egevärde är, 3. h 3 och D P AP eller evivlet APD P Kotroll Vi otroller om t ex APD P Eftersom då hr vi Alltså PD P A b) J., ;, 3 och därmed 3 h c) Nej. Mtrise hr ig reell egevärde (och därmed ige reell ege vetor). d) J. Eftersom, ;, ; 4, hr mtrise tre oberoede vetorer och därför digolisers h. 4 e) Nej. edst e egevetor som svrr mot 3, Sts. Stse om sild egevärde och lijärt oberoede egevetorer Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Egevetorer som hör till sild egevärde är lijärt oberoede. Vi bevisr stse för fllet då vi hr två oli egevärde med motsvrde egevetorer och. Vi s vis tt + h. Låt + ( ) Multiplitio med A ger

3 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 3 Digoliserig v e mtris ( + ) + + ( ) Om vi frå ev subtrherr multiplicerd med får vi ( ) Eftersom och ( egevetor är ) måste. Substitutio i ev, och smm resoemg, ger. Alltså + h Därmed hr vi vist tt och är lijärt oberoede. På lide sätt visr vi stse om vi hr 3, 4 eller st sild egevärde Som e diret påföljd hr vi följde vädbr sts. Sts 3. Stse om egevärde och digoliserbr mtriser Låt A vr e vdrtis mtris v typ. Om mtrise A hr st oli (reell) egevärde så hr mtrise st lijärt oberoede egevetorer och därmed är A digoliserbr (över reell tl). Amärig: Upprepr tt vi ( i de urs) betrtr digoliserig över reell tl. Uppgift. Vis tt följde mtris är digoliserbr Lösig: Mtrise är v typ 3x3 och hr tre sild reell egevärde,, 3 (otroller själv) och därmed, eligt Sts 3, är mtrise digoliserbr (över reell tl). Amärig: Om mtrise A v typ ite hr sild egevärde då båd fll, digoliserbr/ ice digoliserbr mtris, föreomm: Vi ser dett i följde exempel: Uppgift 3 Avgör om följde mtriser är digoliserbr ) ) 3 3 c) 4 4 Lösig: ( ) ) ( ) ( )

4 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR ( ), (dubbelrot) 4 Digoliserig v e mtris Mtrise hr ite två oli egevärde ut edst. Vi bestämmer egevetorer: ( ) ( ) ( ä ) ( ) ( ), h Därmed får vi tillhörde egevetorer ( ). Motsvrde egerummet är sp{ } och hr dimesio. Med dr ord: Vi INTE bild e bs v lijärt oberoede vetorer och därför är mtrise INTE digoliserbr. b) Mtrise hr ite två oli egevärde ut edst 3 me i det här fllet är mtrise uppebrt digoliserbr ( de är red e digol mtris). Egevetorer: (3 3) (3 3),, st för ll x,y. Vi t xt, ys och motsvrde egevetorer: +, (, ) (,). Därmed är egerummet(för 3 ) sp{, } R, och hr dimesio. c) Mtrise v typ 3 3 hr edst oli egevärde och dubbelrot,. (otroller själv) Egevetorer: i) För hr vi motsvrde egevärde ( ä ) och egerummet sp{ }. ii) För λ får vi ( ) ( å )

5 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 5 Digoliserig v e mtris / / +,, (, ) (,) / Därmed är egerummet sp{, } och hr dimesio. De här gåge vi välj oberoede egevetorer som svrr mot egevärde. Frå i) och ii) hr vi totl tre lijärt oberoede egevetorer ( vi bild iverterbr mtris P v typ 3 3) och därmed är mtrise A v typ 3 3 digoliserbr. Beräig v poteser med hjälp v digoliserig Om mtrise A är digoliserbr dvs om A srivs på forme då beräs på reltivt eelt sätt: Noter tt ( ) ( ) ( ) Uppgift 4 Avgör om följde mtriser är digoliserbr Låt ) Digoliser mtrise A ( om möjligt) b) Berä Lösig: ) Mtrise hr två lijärt oberoede egevetorer svrr mot, och ; svrr mot och är därmed digoliserbr. Vi bildr, och berär. Därmed är

6 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 6 Digoliserig v e mtris ( ) Uppgift 5. Avgör om följde mtriser är digoliserbr Låt 3 4 Berä Lösig: Eftersom, ;, ; 4, hrmtrise 3 oberoede egevetorer och därför är mtrise A digoliserbr med h. 4 Vi bestämmer iversmtris ( otroller själv) Nu vi berä 4 ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( Uppgift 6. (KS 9) Låt A. ) Bestäm mtrises egevärde och egevetorer. b) Aväd ) och bestäm mtrise A 7. Svr ) λ, λ 3. Egevetorer: u t och u t. Lösig: b)

7 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 7 Digoliserig v e mtris Låt P. Då gäller P 3 A PDP där D A PDP PDP L PDP PD P b) Svr Någr tillämpigr: Reursiv smbd. Oft vi besriv ett problem med ett smbd v typ (ett reursivt smbd) x( + ) x( ) x( + ) x( ) x( + ) x( ) x ( ) x ( ) x ( ) + L+ + L+ + L+ x ( ) x ( ) x ( ) där,,3,. (sys ) Evtioer i (sys ) lls differesevtioer ( ej differetilevtioer). System (sys ) är ett lijärt homoget differesevtiossystem med ostt oefficieter Om vi betecr x( ) r x ( ) ( ) och x( ) A då vi sriv systemet på mtrisform ( + ) ( ) ö,,,. ( ) Vi förel och lös problemet geom tt strt med idex och uttryc ( ) som e produt v och strtvetor (). Eligt (*) hr vi ( ) ( ) ( ) ( 3). ()

8 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 8 Digoliserig v e mtris lltså ( ) () Om mtrise A är digoliserbr då vi berä geom tt väd Uppgift 6. Låt ( ) vr e oäd mtris som uppfyller ( + ) ( ) ö,,,. ( ) där A / 3/ och (). ) Bestäm ( ) b) Vd häder med ( ) om? Lösig: ( ) () Mtrise A hr två lijärt oberoede egevetorer svrr mot, och ; svrr mot / och är därmed digoliserbr med, D /. Vi berär (/) ( ) () () (/) ( ) (/) (/) b) Om då ( ) ( eftersom (/). ). Uppgift 7. (KS 8) Betrt vetorföljde b + + 3b + 3b + och. Bestäm vetor 5. Lösig: b,,,,. där följde defiiers v det reursiv smbdet

9 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 9 Digoliserig v e mtris Eftersom + + 3b, b + + 3b och b vi sriv smbdet på mtrisform + A (*) 3 där A. 3 A A A( A ) A A. ( * ) Egevärde: ( λ) 3 det(a λi) λ 4λ (3 λ) λ, λ 4. 3 Egevetorer: u t och u t ( ) 3 och v och digoliser mtrise A. 3 Låt P. Då gäller P A PDP där D A PDP PDP L PDP PD P Frå A. hr vi A Uppgift 8. (KS 8) Betrt vetorföljde b där följde defiiers v det reursiv smbdet

10 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris b + + 4b + 4b +,,,,. och. 3 Bestäm vetor 4. Lösig: Eftersom + + 4b, b + + 4b och b vi sriv smbdet på mtrisform 3 + A (*) 4 där A. 4 A A A( A ) A A. ( * ) Egevärde: ( λ) 4 det(a λi) λ 5λ (4 λ) λ, λ 5. 4 Egevetorer: u t och u t. 4 Vi välj två lijärt oberoede egevetorer t ex v och v och digoliser mtrise A. 4 Låt P. Då gäller P A PDP där D A PDP PDP L PDP PD P

11 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris Frå A. hr vi A Speciellt fll: Mrovmtris (eller stostis mtris) Om mtrise A i reursiv smbdet + A hr följde två egesper:. Elemet i A är ice egtiv tl.. Summ v elemet i vrje olo är li med då lls A för e Mrovmtris (eller stostis mtris). (Såd mtriser väds oftst i solihetslär och öteori. Om A är e Mrovmtris och e solihetsvetor då smbdet + A defiierr e s.. Mrovedj:,, 3, ) E Mrovmtris hr ett egevärde λ (me h dr egevärde förutom )..4.3 Exempel: A är e Mrovmtris..6.7 Uppgift 9. I ett företg med 3 ställd fis två luchresturger A och B, där ll ställd äter luch vrje dg. De ställd byter oft resturg eligt följde möster: Av de ställd som går till A e dg, går (pproximtivt) % till B äst dg. Av de som går till B e dg, går (pproximtivt) % till A äst dg. Vi vet tt (idg dvs dg ) hr resturge A 5 besöre ( och därmed hr B 5 besöre). Låt och b betec tlet besöre dg till resturge A respetive B. ) Bestäm och b b) Bestäm pproximtivt tlet besöre i resturge A respetive B efter 8 dgr (dvs 8) c) Bestäm pproximtivt tlet besöre i resturge A respetive B efter 5 dgr (dvs 5) Lösig. Frå uppgifte får vi följde smbdet.8 +.b b b Vi sriv dett på mtrisforme: +.8. b +..9 b.8. eller, om vi betecr och A b, hr vi..9 + A (ev ). Frå (ev ) hr vi

12 Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR A A A( A ) A A. ( * ) där 5 5 Digoliserig v e mtris Kvr står tt berä A Metod..8. Mtrise A hr egevärde λ. 7 och λ..9 med motsvrde egevetorer v r och v r (otroler själv). 5 För tt berä A på ett (reltivt) eelt sätt uttrycer vi som e lijär 5 ombitio v egevetorer v r och v r. 5 Frå x + y 5 Alltså hr vi x 5 och y. r r 5v + v och därför r r r r r r A A ( 5v + v) 5A v + A v 5λ v + λv Alltså A Svr ) b b) För 8 hr vi ( eftersom.7 8 ) och b c) Smm som i b dvs 5 och b 5 Amärig: Vi berä A geom tt först digoliser mtrise sed berä A PD P, och slutlige berä A PD P metode räver mist tre gåge mer beräigstid. A PDP me de här

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en Föreläsning 10 Multiplikationsprincipen Additionsprincipen Permutationer Kombinationer Generaliserade permutationer och kombinationer. Binomialsatsen Multinomialsatsen Lådprincipen (Duvslagsprincipen)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

Eulers polyederformel och de platonska kropparna Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser

7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser 7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser Sedan 1800 talet har man forskat i hur energi kan överföras och omvandlas så effektivt som möjligt. Denna forskning har resulterat i ett antal begrepp som bör

Läs mer

och och socialtjänstens skyldigheter

och och socialtjänstens skyldigheter GOTLANDS KOMMUN Social- och omsorgsförvaltningen GOTLANDS Individ- och familjeomsorgen KOMMUN Social- Barn- och och familj omsorgsförvaltningen Individ- och familjeomsorgen Barn- och familj Barns rättigheter

Läs mer

Du och din lön. - lathund för medlemmar i ST

Du och din lön. - lathund för medlemmar i ST Du och din lön - lathund för medlemmar i ST Inledning Här är ett stödmaterial du kan använda i dina förberedelser inför ditt samtal om lön med din chef. Materialet baserar sig på STs syn på hur ett sådant

Läs mer

Hjälp! Mina föräldrar ska skiljas!

Hjälp! Mina föräldrar ska skiljas! Hjälp! Mina föräldrar ska skiljas! Vad händer när föräldrarna ska skiljas? Vad kan jag som barn göra? Är det bara jag som tycker det är jobbigt? Varför lyssnar ingen på mig? Många barn och unga skriver

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Tio saker att tänka på när du bygger ditt företag

Tio saker att tänka på när du bygger ditt företag Tio saker att tänka på när du bygger ditt företag www.kpmg.se Du vet bäst För oss på KPMG finns ingenting mer inspirerande än unga människor med spännande idéer. Vi vet hur det känns att vara där du är

Läs mer

Så här gör du för att. vuxna ska. lyssna på dig. Läs våra tips

Så här gör du för att. vuxna ska. lyssna på dig. Läs våra tips Så här gör du för att vuxna ska lyssna på dig Läs våra tips Vuxna kan lära sig mycket av oss. Vi tänker på ett annat sätt och vet grejer som de inte tänkt på. Det här är en tipsbok Du träffar många vuxna

Läs mer

ATT ANVÄNDA SPRÅK FÖR ATT LÄRA SIG OCH ATT LÄRA SIG ANVÄNDA SPRÅK

ATT ANVÄNDA SPRÅK FÖR ATT LÄRA SIG OCH ATT LÄRA SIG ANVÄNDA SPRÅK ATT ANVÄNDA SPRÅK FÖR ATT LÄRA SIG OCH ATT LÄRA SIG ANVÄNDA SPRÅK Liisa Suopanki Carin Söderberg Margaretha Biddle Framtiden är inte något som bara händer till en del danas och formges den genom våra handlingar

Läs mer

Hur månfa indianer...? och andra gåtor Lärarmaterial. Vad handlar boken om? Mål från Lgr 11: Att arbeta med gåtor. Lek med ord och bokstäver

Hur månfa indianer...? och andra gåtor Lärarmaterial. Vad handlar boken om? Mål från Lgr 11: Att arbeta med gåtor. Lek med ord och bokstäver Lärarmaterial sida 1 Författare: Keld Peterse Vad hadlar boke om? Här får ma täka till! Ka du lösa gåtora? Mål frå Lgr 11: Lässtrategier för att förstå och tolka texter samt för att apassa läsige efter

Läs mer

Så synkar du alla Google-kalendrar

Så synkar du alla Google-kalendrar Så synkar du alla Google-kalendrar STEG FÖR STEG Google calendar-användare som har mer än en kalender stöter snabbt på patrull när de försöker synka till iprylen. Vi visar tricket som löser problemet.

Läs mer

For-sats/slinga. Notis

For-sats/slinga. Notis Notis I koden för exemplen förekommer kommentarer. Kommentarer i Matlabkoden identieras med prexet %. Kommentarer är text/kod som Matlab bortse från. Alltså all text/kod som ligger till höger och på samma

Läs mer

Det första du behöver göra är att ta reda på vilken storlek bilden har. Öppna en bild i Photoshop. Välj Bild; Bildstorlek i övre menyn

Det första du behöver göra är att ta reda på vilken storlek bilden har. Öppna en bild i Photoshop. Välj Bild; Bildstorlek i övre menyn Ändra bildstorlek (Photoshop CS 3) Sid. 1 1. Minska en bild När man jobbar med bilder vill man ibland ändra storlek, eller minska antal pixlar, eftersom bildfilen blir för stor och för tung (i kb) om den

Läs mer

Den magiska dörren. - ett romanprojekt

Den magiska dörren. - ett romanprojekt Den magiska dörren - ett romanprojekt Idé och lärarhandledning av Josef Sahlin 2011 Bakgrund! 3 Idé! 3 Rättigheter! 4 Syfte! 4 Arbetets gång! 4 Lektionsupplägg! 5 Framsida! 5 Kapitel 1 - Hej! 6 Kapitel

Läs mer

Hare Del II (Metod) kunskap om hur det skulle vara för mig att befinna mig i deras. "reflektionsprincipen" (dock ej av H). Den säger följande: för att

Hare Del II (Metod) kunskap om hur det skulle vara för mig att befinna mig i deras. reflektionsprincipen (dock ej av H). Den säger följande: för att Syftet med denna del är att utveckla och försvara en form av preferensutilitarism, vilken kan identifieras med kritiskt tänkande. Den huvudsakliga framställningen är i kap. 5-6. En senare kort sammanfattning

Läs mer

1. En scout söker sin tro och respekterar andras

1. En scout söker sin tro och respekterar andras 1. En scout söker sin tro och respekterar andras Ett frågetecken - Vad är skillnaden på att tro och att veta? Ta en sekund till att fundera på skillnaden mellan tro och vetande. Rita upp en linje på marken.

Läs mer

Att söka dispens från djurlaborationer

Att söka dispens från djurlaborationer p Att söka dispens från djurlaborationer Många av djurförsöken inom olika utbildningar är frivilliga och ibland erbjuds andra laborationer som alternativ. Men på vissa utbildningar förekommer även obligatoriska

Läs mer

Möjlighet att leva som andra

Möjlighet att leva som andra Möjlighet att leva som andra Lättläst sammanfattning Slutbetänkande av LSS-kommittén Stockholm 2008 SOU 2008:77 Det här är en lättläst sammanfattning av en utredning om LSS och personlig assistans som

Läs mer

LADDA UPP EN PDF-FIL OCH LÄNKA TILL DEN I DIN ARTIKELTEXT

LADDA UPP EN PDF-FIL OCH LÄNKA TILL DEN I DIN ARTIKELTEXT Joomla Guide 2.5.11 LÄNKAR LADDA UPP EN PDF & LÄNKA TILL I ARTIKEL Sida 1 av 11 LADDA UPP EN PDF-FIL OCH LÄNKA TILL DEN I DIN ARTIKELTEXT I denna guide får du lära dig att: Ladda upp ett PDF dokument på

Läs mer

Att använda TV:n som bildskärm till datorn.

Att använda TV:n som bildskärm till datorn. Guide videokonferenssystem RF/SISU Avsnitt : Att använda TV:n som bildskärm Konferens mellan två enheter Flerpartsmöte Inställningar/manövrera kamera och bild Det går inte att koppla upp sig, starta om

Läs mer

Så registrerar du ditt företag

Så registrerar du ditt företag Så registrerar du ditt företag Tycker du att det verkar krångligt att starta företag? Lugn. De här sidorna förklarar exakt hur du registrerar företaget och får en F-skattsedel. Följer du guiden är du klar

Läs mer

MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex

MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga 10000 ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola 12 96

Läs mer

Pga att (Nummer och Typ) tillsammans bestämmer övriga attribut funktionellt väljer vi (Nummer, Typ) till primärnyckel:

Pga att (Nummer och Typ) tillsammans bestämmer övriga attribut funktionellt väljer vi (Nummer, Typ) till primärnyckel: ÖVNING 1. PRODUKT(Nummer, Namn, Typ, Klass, Prisklass, Vikt, Volym, Fraktkostnad) Nummer, Typ Namn, Klass, Pris, Prisklass, Vikt, Volym, Fraktkostnad Namn, Typ Nummer Typ Klass Pris Prisklass Vikt, Volym,

Läs mer

Bridge. på 10 minuter

Bridge. på 10 minuter Bridge på 10 minuter STEG FÖR STEG Det bästa sättet att lära sig spela bridge på är att börja med en förenklad form av spelet. Varje giv består av två moment, efter det att man delat ut korten: budgivning

Läs mer

Att svara på en remiss

Att svara på en remiss Att svara på en remiss Varje år skickar Regeringskansliet betänkanden, utredningar och andra förslag på remiss. Det betyder att myndigheter, organisationer och personer har möjlighet att svara på vad de

Läs mer