vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

Transkript

1 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då allas för polyomets grad och iblad betecas grad( P( ) Alltså är polyomets grad lia med högsta föreommade epoet i uttrycet a a a0 4 Eempel Polyomet P ( 5 4 har grad, P ( 4 har grad 4, P ( 5 har grad och P ( 8 har grad 0 4 Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom Lösigar till evatioe P ( 0 dvs a a a 0 (ev) allas polyomets ollställe 0 Defiitio E evatio av type a a a0 0 allas för algebrais evatio Defiitio Ratioell futio är vote av två polyom, dvs uttrycet av type a b a a b b 0 0 E ratioell futio är defiierad edast om ämare är sild frå 0 a Evetuella ollställe till (de ratioella) futioe f ( b a a b b evatioe tälare0, dvs geom att lösa evatioe a a a får vi ur Eempel f ( är e ratioell futio 4 Futioe f ( är defiierad om ± 4 Frå evatioe "tälare0" dvs 0 får vi ollstället

2 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Uppgift Bestäm ollställe till fölade polyom a) P( 9 b) P( 4 9 c) P( 5 6 d) P ( 5 4 e) P ( 0 0 Lösig a) Nolställe till polyomet evatioe 9 0 P( 9 får vi geom att lösa (de algebraisa) Vi fatoriserar polyomet och därefter löser elare evatioer, fator() ( 9) 0 ( )( ) 0 Alltså är 0,, polyomets ollställe Svar a) 0,, Lösig b) 9 0 ( 9) 0 0 eller 9 0 Frå 9 0 har vi 9 ± 9 ± Svar b) 0,, Lösig c) ( 5 6) 0 0 eller p p 5 5 Vi har 0 och 5 6 0, ± q, ± 6 4 Efter förelig, Svar c) 0,, Lösig d) För att lösa iför vi substitutioe y och löser evatioe y 5y 4 0 som ger y, y 4 Frå har vi Frå 4 har vi Svar d),,, 4, ±,4 ± Lösig e) De här gåge fatoriserar vi polyomet geom att gruppera första två och sista två termer 0 0 ( ) 0( ) ( )( 0) Alltså ( )( 0) 0, 0, 0 Svar e), 0, i 0 i i Fölade formler aväder vi ofta vid fatoriserig av ett polyom: i) a ( a)( a) ii) a ( ai)( ai) i p p iii) p q ( ( ) { där, ± q }

3 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom iv) a ( a)( a a ) v) a ( a)( a a ) Amärig: I formel iv) a ma fortsätta och fatorisera vidare uttrycet omplea fatorer ( eligt formel iii) Samma gäller för formel v) a a i 4 4 vi) a ( a )( a ) ( a)( a)( a ) { ( a)( a)( ai)( ai) om vi vill ha omplea fatorer} vii) a ( a)( a a a ) (Mer om fatoriserig av ett polyom ommer i adra dele av de här stecile) Uppgift Fatorisera fölade polyom i reella fatorer a) 4 b) 5 c) 0 d) e) f) 8 g) h) i) ) 5 Svar a) ( )( ) b) 5 ( 5) ( 5)( 5 ) c) 0 ( 5 6) ( )( ( ( ( 4)( d) ) e) ( 6) 6( )( ) f) 8 ( )( 4) g) ( )( ) h) ( ) ( )( 4) ) ( )( ) 4 i) 4 6 ( 4) 6( ) ( )( ) 6( ) ( ( ) 6) ( )( 6) ( ) 5 4 ) ( )( ) Uppgift Fatorisera fölade polyom i liära fatorer Fatorera får iehålla omplea tal a) 4 b) 5 c) Lösig: a) 4 ( i)( i) b) Först vi löser evatioe 0 i, i Nu har vi ( ( ( i) ( i) Svar a) ( i)( i) b) ( i) ( i)

4 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Polyomdivisio: Defiitio: Om för polyome P (, Q (, K ( och R ( gäller (*) P( R( K( där grad ( R( ) < grad( Q( ) Q( Q( så allar vi K ( för vote och R ( för restterm vid divisio av P( med Q ( Sambadet (*) a ocså srivas som (**) P ( Q( K( R( Om R( 0 säger vi att polyomet P( är delbart med Q ( Då gäller P ( Q( K( Eempel Utför divisioe Kotrollera resultat Lösig: 6 8 dvs bestäm vote och reste STEG Vi delar först terme med största epoete i tälare ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall ) Alltså / Därefter beräar vi gåger ( ) och subtraherar produte ( ) 4 frå polyomet P( 6 8 och får REST ( 6 8) ( 4 8 Detta utförs elast med hälp av e tabell ( 6 8 ) / ( ) ( 4 8 rest STEG Vi delar rest med ämare () på samma sätt som i STEG dvs vi delar terme med största epoete i rest, ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall 4

5 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Alltså vi delar / Vi adderar i vote och därefter subtraherar ()*8 Vi gör detta diret i tabelle : ( 6 8 ) / ( ) ( 4 8 rest -( 4 ) 4 rest Vi a ite fortsätta eftersom reste 4 har midre grad ä ämare Därmed blir vote och reste 4 Alltså vi a sriva P( R( K( Q( Q( dvs Amärig: Ett aat sätt att tola resultat är att sriva P ( Q( K( R( dvs 6 8 ( )( ) 4 Kotroll Vi otroller resultat geom att beräa högerledet i resultatet: Högerledet västerledet Svar Uppgift 4 Utför divisioe P( Q( och bestäm om polyomet P ( är delbart med Q ( a) b) Lösig: a) ( ) / ( ) ( 9 rest 5

6 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom ( 9) 0 rest Reste R 0 Med adra ord är polyomet P ( delbart med Q ( Vi a sriva eller ( 4 6 9) ( )( ) b) ( 6 8 5) /( ) ( 4 6 Svar 5 rest ( 4 6) rest Polyomet P ( är INTE delbart med Q ( eftersom reste R är sild frå 0 FAKTORISERING AV ETT POLYNOM Låt P ( vara ett polyom Efter att vi utför polyomdivisio och delar P ( med ( a) a vi sriva P ( ( a) K( R Då uppebart gäller { P ( är delbart med ( a) ] } {R0} { P( ( a) K( } { P ( a) 0 } Fatorsatse Ett polyom P ( är delbart med ( a) om och edast om P ( a) 0 Med adra ord: Ett polyom P ( är delbart med ( a) om och edast om a är ett ollställe till P ( Uppgift 5 Bestäm om talet a är ett ollställe till polyomet P ( där a) P ( 6 4, a b) P ( 6 4, a 6

7 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom c) P ( i, a i Svar: a) Ja eftersom P ( ) 0, b) Ne eftersom P ( ) 0 c) Ja eftersom P ( i) 0 Uppgift 6 Talet är e lösig till evatioe 0 a) Bestäm alla lösigar Lösig: Polyomet är delbart med ( eligt fatorsatse) Polyomdivisioe ger a) ( ) / ( ) ( ) rest ( rest ( ) 0 rest Vi har var adragradsevatioe 0, ± 4, ± och Svar:,, Fölade sats a vi aväda för att fia evetuella heltalslösigar till e algebrais evatio Sats om heltalslösigar Om de algebraisa evatioe a a a0 0 har heltalsoefficieter och e heltalslösig ( dvs är ett hel tal) då är de ostata oefficiete a0 delbart med Bevis Om är e heltalslösig då gäller a a a0 0 som vi a sriva som a a a0 Väster ledet är delbart med (otera att alla oefficieter a är eligt atagade hela tal och att fis i vare term) Därmed är ocså a0 delbart med Uppgift 7 Bestäm om fölade evatioer (med heltalsoefficieter) har heltalslösigar Lös evatioer om så är fallet 7

8 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom a) 8 0, b) c) 0 Lösig a) Evetuella heltalslösigar är fatorer i de ostata terme dvs fis blad ± ± Vi testar alla fyra och iser att är e lösig till 8 0 Polyomdivisio ger ( 8 ) /( ) Frå 0 har vi, ± 5 Svar a), Svar b),, ±, ± 5 Lösig c) Ige av fatorer ± ± uppfyller evatioe implicerar att evatioe ite har ågo heltalslösig Amärig: Vi a fatorisera evatioe geom att gruppera första två termer: ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Härav / och, ± i (me ige heltalslösig) Algebras fudametal sats Vare polyom P ( av grad har mist e (reell eller omple rot Med hälp av de här satse och fatorsatse drar vi slutsatse att vare polyom a fatoriseras i liära fatorer eligt fölade: a a a a0 a ( ( ) ( ) (F) där är polyomets ollställe ( reella eller omplea) Uppgift 8 Låt P( a) Bestäm polyomets ollställe b) Fatorisera polyom i liera fatorer Lösig: Vi får ollställe frå Vi ombierar fatoriserig och formel för adragradsevatioer: 8

9 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Först bryter vi ut 0 och får evatioe 0 ( 5 6) 0 Härav först 0 och ( frå adragradsevatioe ), Fatoriserig: a ( )( )( ) 0( 0)( )( ) P( Svar a) 0,, b) P ( 0( 0)( )( ) Polyom med reella oefficieter Om polyomets oefficieter a är reella tal då evetuella omplea ollställe föreommer i ougerade par a bi, a bi Om vi ösar fatoriserig i reella fatorer då grupperar vi motsvarade ougerade par: ( ( a bi))( ( a bi)) ( a bi)( a bi) ( a) ( bi) ( a) b a a b Alltså för att få e reell fatoriserig, ersätter vi ( ( a bi))( ( a bi)) i F med adragradspolyomet a a b Uppgift 9 Låt P( 4 5 a) Bestäm polyomets ollställe b) Fatorisera polyom i liära fatorer c) Fatorisera polyom i reella fatorer ( som då får iehålla adragradspolyom) Lösig: a) ( 4 5) 0 0, i, i b) Fatoriserig i liära fatorer: P( a ( ( )( ( 0)( ( i))( ( i)) ( i)( i) c) Fatoriserig i reella fatorer ( som då a iehåller adragradspolyom) har vi reda fått i böra av uppgifte : ( 4 5) Svar a) 0, i, i b) P ( ( i)( i) c) P ( ( 4 5) 9

10 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Uppgift 0 Det omplea talet i är e lösig till evatioe Bestäm alla lösigar Lösig: (Evatioe har reella oefficieter och i är e lösig ) i är ocså e lösig till evatioe och därför är evatioe delbart med ( )( ) ( i)( i) ( ) i 4 Polyomdivisioe ger ( 5 5) /( 4 5) ( ) dvs ( 5 5) ( 4 5)( ) De trede lösige får vi ur ( ) 0 5 Svar i, i, / Uppgift Det omplea talet i är e lösig till evatioe Bestäm alla lösigar Lösig: (Evatioe har reella oefficieter och e omple lösig ocså e lösig till evatioe Därför är evatioe delbart med ( )( ) ( i)( i) ( ) ( 5 6 ) /( ) De trede rote får vi ur i ) i är 0 Svar i, i, 0

11 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Uppgift i är e lösig till evatioe 4 0 Bestäm alla lösigar Lösig: (Evatioe har reella oefficieter och i är e lösig ) i är ocså e lösig till evatioe och därför är evatioe delbart med ( )( ) ( i)( i) i Polyomdivisioe ger ( 4 ) /( ) Två lösigar till får vi ur Svar 0, 4 i, i,, Nollställe av högre multiplicitet Det a häda att vi får ågra lia liära fatorer termer i fatoriserige a a a a a )( ) ( ) (F) 0 ( Om vi grupperar lia liära fatorer då a vi sriva (F) på evivaleta forme K a a a a a Π( ) (F) 0 Epoetera K visar hur måga gåger upprepas fator ) i formel F ( Vi säger att är e rot av multiplicitete K Om t e K är ( eller ) då säger vi att är e dubbel rot ( trippel rot) till evatioe Uppgift Bestäm polyomets ollställe, fatorisera polyom i liära fatorer, och bestäm ollställeas multiplicitet, då a) P ( λ) λ λ 6λ b) P ( λ) λ 6λ 9λ Lösig: a) λ λ 6λ 0 λ( λ λ 6) 0 λ 0, λ, λ Alltså har polyomet ollställea λ 0, λ och λ Fatoriserig: P ( λ) λ( λ )( λ ) Eftersom vare fator λ, ( λ ) och ( λ ) föreommer eat e gåg i fatoriserige, ser vi att vare ollställe har multiplicitete b) λ 6λ 9 λ 0 λ ( λ 6λ 9) 0 λ 0, λ, λ Alltså har polyomet ollställea λ 0, och λ, ( dubbelrot)

12 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom Fatoriserig: P ( λ) λ( λ )( λ ) λ( λ ) Härav ser vi att evatioe har två olia rötter ( tre totalt om ma räar med deras multipliciteter) : Rote λ 0 ( dvs λ 0) har multiplicitete meda rote λ ( dvs λ ) har multiplicitete, Uppgift 4 Låt P ( λ) λ λ λ Bestäm polyomets ollställe, fatorisera polyom i liära fatorer, och bestäm ollställeas multiplicitet Tipps: Ma a aväda formel ( a b) a a b ab b Lösig: Om vi aväder formel ( a b) a a b ab b med a λ och b får vi λ λ λ ( λ ) [ Alterativt a ma fia e rot blad heltals delare ( och -) till de ostata terme ( dvs ) i polyomet ] Härav får vi diret att evatioe P( λ) 0 har e trippelrot λ,, Alltså λ är e rot med multiplicitete Svar: λ,, P ( λ) ( λ ) Rote λ har de algebraisa multiplicitete Amärig: Ma a äve defiiera multiplicitete av e rot på fälade evivaleta sätt: Defiitio ( E evivalet defiitio för multiplicitete av ett ollställe) Om i är ett ollställe till polyomet P ( och K P( ( i ) g( där g ( i ) 0,för ett positive heltal K, då säger vi att i har multiplicitete K