Ett system är asymptotiskt stabilt om det efter en övergående störning återgår till sitt begynnelsetillstånd.

Transkript

1 6. Stabilitet Såsom framgått i de två iledade apitle förutsätter e lycad regulatordesig ompromisser mella prestada ( sabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt a bli istabilt geom för aggressiv reglerig. Å adra sida existerar det ocså system som oreglerade är istabila och som räver reglerig för att stabiliseras. Vi a ostatera att stabilitet är ett ödvädigt, me ite tillräcligt, villor för e god reglerig. Det är uppebart att vi behöver systematisa metoder för att avgöra om ett system reglerat eller oreglerat är stabilt eller istabilt. 6.1 Stabilitetsdefiitioer Stabilitet a defiieras på flera olia sätt mer eller midre matematist och med småvariatioer i gräsdragige dem emella. För alla pratisa ädamål är de olia defiitioera doc evivaleta för lijära system, me e viss defiitio a i e give situatio vara behädigare att aväda ä e aa. Därför är det ädamålseligt att här ta upp de valigaste stabilitetsdefiitioera. Följade två rätt oreta stabilitetsdefiitioer är allmäa såtillvida, att de gäller både för lijära och olijära system och oberoede av type av systembesrivig (modell) Asymptotis stabilitet Ett system är asymptotist stabilt om det efter e övergåede störig återgår till sitt begyelsetillståd. E typis övergåede störig (dvs e isigal som i ågot sede återgår till sitt begyelsetillståd och därefter förblir där) är e puls och i pratie blir evetuella beräigar elast om vi atar att pulse är e impuls. Obs. att e stegförädrig ite är e övergåede störig. Amärig 1. Asymptotis stabilitet defiieras ofta i mer matematisa termer ä ova, vilet medför att defiitioera ser aorluda ut. De är doc evivaleta Isigal-utsigalstabilitet Ett system är isigal-utsigalstabilt om e begräsad isigal ger e begräsad utsigal. E typis begräsad isigal är e stegförädrig. Amärig. Av defiitioe följer att ett isigal-utsigalstabilt system har ädlig förstärig vid alla freveser (se apitel 8). 6. Poler och stabilitet För att vara avädbara vid matematis aalys och desig måste de verbala stabilitetsdefiitioera ova formuleras i mer matematisa termer. Vi sall härleda e såda formulerig geom att betrata tidssvaret (trasietsvaret) för ett godtycligt lijärt system (uta dödtid) är det utsätts för dels e övergåede, dels eller beståede, isigalförädrig. 6 1

2 6. Stabilitet 6. Poler och stabilitet 6..1 Tidssvaret för ett lijärt system I elighet med avsitt 4.3 och evatio (4.7) a överförigsfutioe för ett system uta dödtid allmät srivas m m1 b0s b1 s bm1 s bm Gs (), (6.1) 1 s a1s a1s a där är systemets arateristisa polyom. där A() s s a s a s a (6.) Atag att det arateristisa polyomet a fatoriseras som A s s p1 s p s p ( ) ( )( ) ( ), (6.3) p, 1,,, är polyomets ollställe, som samtidigt är systemets poler. Om vi iledigsvis atar att polera är reella och distita (dvs alla p, 1,,, är reella och olia stora) samt att systemet är strit propert (dvs m ), existerar partialbråsuppdelige C C C 1 () s p1 s p s p Gs, (6.4) där ostatera C, 1,,, a bestämmas såsom besrivits i avsitt Systemets utsigal Ys () ges då av C1 C C Y( s) U( s), (6.5) s p1 s p s p där Us () är dess isigal. Atag att isigale är e impuls, dvs e övergåede störig som i defiitioe av asymptotis stabilitet. Impulses Laplacetrasform är som beat U() s I. Isättig i (6.5) och iverstrasformerig ger då tidssvaret p1t pt 1 pt y( t) C Ie C Ie C Ie, t 0. (6.6) Villoret för asymptotis stabilitet är att yt ( ) 0 är t. Vi ser att detta uppfylls om och edast om alla p 0, 1,,. Atag att isigale i stället är e stegförädrig, dvs e beståede störig som i defiitioe av isigal-utsigalstabilitet. Om steget är av storlee u, har isigale Laplacetrasforme U( s) u / s. Om alla p 0, ger isättig i (6.5) samt iverstrasformerig då steg steg 1 p1t 1 pt steg steg steg y( t) C p u (e 1) C p u (e 1) C p u (e 1), t 0. (6.7) Utsigale är begräsad om och edast om alla fatorer e pt, 1,,, är begräsade för t 0. Eftersom p 0, gäller detta om och edast om alla p 0. Om ågo pol p 0, ger iverstrasformerig av motsvarade term i (6.5) ett tidssvar som växer proportioellt med tide, dvs obegräsat. Härav följer att systemet ite är stabilt om ågo pol fis i origo. Precis som ova gäller då att systemet är isigal-utsigalstabilt om och edast om alla p 0, 1,,. Komplexa ollställe för det arateristisa polyomet uppträder som omplexojugerade par. Dylia par a sammaslås till e fator av adra ordige såsom gjordes vid partial- pt

3 6. Stabilitet 6. Poler och stabilitet bråsuppdelige i avsitt Å adra sida a ma ocså räa med omplexa tal vid partialbråsuppdelige. Atag att p1 j och p j. De två första termera på högra sida i (6.6) ger då bidraget ( j ) t ( j ) t t jt jt t Ie ( C1 C)cos( t) j( C1 C)si( t), y ( t) C Ie C Ie Ie ( C e C e ) där de sista lihete följer av Eulers formel. Eftersom sigale y 1 () t är reell, måste högra ledet i (6.8) vara reellt. Detta räver att C 1 och C är. omplexojugerade. Eftersom de trigoometrisa futioera i (6.8) är begräsade (ädliga), gäller att y 1 ( t) 0 då t om och edast om 0, dvs Re( p ) 0. Om isigale är e stegförädrig, fås att utsigale är begräsad om 0, me om ma till stegförädrige adderar e siusformigt svägade sigal av lämplig freves, fås e begräsad utsigal om och edast om 0, dvs Re( p ) 0. Ifall det arateristisa polyomet iehåller multipla ollställe, fås e partialbråsuppdelig vars iverstrasform förutom liade termer som i uttryce ova, äve iehåller produter av expoetialfutioer och tide t upphöjd till e viss potes. Eftersom expoetialfutioe e pt med Re( p ) 0 avtar sabbare ä vad t växer, går sådaa termer mot oll är t. Därmed gäller ova giva stabilitetsvillor äve är systemet har multipla poler. 6.. Stabilitetsvillor uttryct med systemets poler Utgåede frå aalyse ova a vi uttryca stabilitetsvilloret med hjälp av systemets poler: Ett tidsotiuerligt lijärt system är stabilt om och edast om systemets alla poler 1,,, ligger i det omplexa talplaets västra halva, dvs om Rs () V() s G c G p () s G m () s Figur 6.1. Återopplad reglerrets. Ys () (6.8) p, Re( p ) 0, 1,,. (6.9) Systemets poler är ollställe till de arateristisa evatioe As ( ) 0. Amärig 3. För lijära system är stabilitet e systemegesap, dvs om stabilitetsvilloret uppfylls för ågo övergåede eller begräsad isigal så uppfylls det för alla dylia isigaler. Detta behöver ite vara fallet för olijära system Återopplade system Resultate ova gäller givetvis äve för återopplade (reglerade) system. Vi sall doc härleda ett avädbart uttryc för de arateristisa evatioe som futio av de igåede ompoetera i ett eelt reglersystem. Betrata figur 6.1, där G p betecar överförigsfutioe för e process, för e regulator och m G c G för ett mätistrumet. Med blocschemaalgebra a ma härleda GG p c 1 Y R V. (6.10) 1G G G 1G G G p c m p c m 6 3

4 6. Stabilitet 6. Poler och stabilitet Här är systemets retsöverförig och G G G G (6.11) p c m 1 G ( s) 0 (6.1) ett sätt att uttryca de arateristisa evatioe för ett återopplat system. Mär doc att lösig av (6.1) räver. E avädbarare form fås om vi defiierar B () s G () s A () s. (6.13) Efter förlägig med A () s fås de arateristisa evatioe i forme A ( s) A( s) A ( s) B ( s) 0. (6.14) Iblad häder det sig att ågo av överförigsfutioera G p, G c eller G m i ämare har e fator s p som ocså fis i ågo av de adra överförigsfutioeras täljare. Detta iebär att G har samma fator både i täljare och ämare och att de i pricip a förortas bort. Ma bör doc ite göra detta uta behålla fator var i både A () s och B () s, som eligt (6.14) då ger e lösig s p. Detta är speciellt vitigt då Re( p) 0, eftersom systemet då är istabilt eller på gräse till istabilitet. Orsae till att ma ite sall förorta bort gemesamma fatorer är att G, G och G förbids av verliga sigaler. p c m E försvårade omstädighet är att processe ofta iehåller e dödtid, och då systemet är återopplat, fis dea dödtid med i G () s. För att utyttja ova härledda stabilitetsvillor, eller Routh-Hurwitz stabilitetsriterium i avsitt 6.3.1, är ma tvuge att approximera dödtide med ett ratioellt uttryc (se avsitt 5.4), som gör att B () s (och A () s ) a uttrycas som rea polyom. Stabilitetsaalyse blir givetvis u edast approximativ. Övig 6.1. Visa att systemet G p 10 s 1 är istabilt. Udersö om det a stabiliseras med e P-regulator. Övig Är systemet Gp stabilt eller istabilt? Udersö om de sluta retse är stabil då s s systemet regleras med e PI-regulator med (a) Kc 1, Ti 0,5 ; (b) Kc 15, Ti 0,5 ; (c) Kc 15, Ti 0, Aalysmetoder Avädig av stabilitetsvilloret defiierat med hjälp av systemets poler räver att ma a bestämma polera. För system av högre ordig ä a det vara svårt eller ret av omöjligt att bestämma polera aalytist, me om alla systemparametrar är giva, såsom i övig 6., a ma givetvis beräa dem umerist. Ofta har ma doc itresse av att utreda stabilitetsgräsera som futio av e eller flera obestämda parametrar (t.ex. regulatorparametrar), och gära så att gräsera a ages med aalytisa uttryc. Då ger e hög systemordig problem. 6 4

5 6. Stabilitet 6.3 Aalysmetoder E aa ompliatio uppstår om systemet iehåller dödtid så att de igår i de arateristisa evatioe. Som påpeats ova, uppstår dea situatio om ett system med dödtid återopplas. Beräig av systemets poler räver då att dödtide approximeras med ett ratioellt uttryc, vilet iebär att polera edast a bestämmas approximativt. Av dessa orsaer har det utveclats ett atal stabilitetsaalysmetoder, som ger aalytisa uttryc eller i pricip exata (umerisa) lösigar för system med dödtid. Följade metoder behadlas i dea urs: 1. Bodes stabilitetsriterium, som behadlas i avsitt 8.3. Detta är e s.. frevesaalytis metod, som larar av dödtider uta approximatio. Aalyse a göras grafist eller umerist.. Nyquists stabilitetsriterium, som ocså behadlas i avsitt 8.3. Detta är e mera allmägiltig variat av Bodes stabilitetsriterium. Ocså i detta fall a aalyse göras grafist eller umerist. 3. Routh-Hurwitz stabilitetsriterium, som behadlas i avsitt Dea metod a ge stabilitetsitervall med avseede på olia parametrar, t.ex. regulatorparametrar. Hög systemordig medför iga speciella problem, me dödtider a ite behadlas exat. 4. Stabilitetsaalys geom diret substitutio, som behadlas i avsitt I dea metod utyttjas det fatum att systemets poler, dvs de arateristisa evatioes ollställe, måste ligga på det omplexa talplaets imagiära axel vid stabilitetsgräse. Dödtider a behadlas exat, me för system av hög ordig tederar beräigara bli besvärliga Routh Hurwitz stabilitetsriterium Avädige av Routh-Hurwitz stabilitetsriterium förutsätter att arateristisa evatioe a srivas som ett polyom, A( s) a s a s a s a 0, (6.15) där oefficiete a 0, äve iluderats. Såsom ova påpeats, bör e evetuell dödtid ( e Ls ) approximeras med ett ratioellt uttryc, t.ex. e Padé-approximatio. Stabilitetsriteriet blir i detta fall givetvis approximativt. Besrivige eda förutsätter att oefficieteras tece i arateristisa evatioe valts så, att a 0 0 (ofta har vi a 0 1). Efter valet a 0 0 otrollerar ma oefficieteras tece i de arateristisa evatioe. 1. Om ågo oefficiet är ice-positiv (dvs är oll eller egativ) a ma geast säga att systemet är istabilt. Detta beror på att de arateristisa evatioe då måste ha mist ett ollställe (och systemet därmed mist e pol) som har ice-egativ realdel.. Om alla oefficieter är positiva, a systemet vara stabilt, me iga sära slutsatser a äu dras. Ett tillräcligt och ödvädigt stabilitetsvillor fås med hjälp av edaståede schema. a a a a a a c c c d d d a a a a a a a a a a a a c c c i 0 i3 0, 1,, i a1 a1 a1 c a a c c a a c c a a c d d d i3 1 i1 0, 1,, i c0 c0 c0 (6.16) Routh-Hurwitztablå till väster i (6.16) bildas på följade sätt: Elemete i de två första radera i tablå erhålles diret frå arateristisa evatioe. Ifall adra rade iehåller e oefficiet midre ä de första, iförs e olla som sista elemet så att båda radera har lia måga elemet. 6 5

6 6. Stabilitet 6.3 Aalysmetoder Tredje och fjärde rades elemet erhålles eligt formlera till höger i (6.16). I formlera behövliga elemet som sulle fias i e olum till höger om tablå sätts lia med oll. Därmed blir beräade elemet i tablås sista olum alltid lia med oll. Elemet i efterföljade rader beräas eligt samma pricip som tredje och fjärde rades elemet. Vid beräig av ett elemet i olum j fås täljares termer då geom orsvisa multipliatioer av elemete i de två föregåede raderas första olum och olum j 1, meda ämare är lia med elemetet i föregåede rads första olum. För ett :te ordiges system erhålles e tablå med 1 rader (varav 1 är beräade). Ifall det första elemetet i e rad blir oll är det fis adra elemet i rade som a bli olia oll, ersätts det första elemetet med (ett litet positivt tal), som seda aväds i de fortsatta beräigara. När alla elemet i tablå är bestämda, får elemet iehållade det värde som uttrycet går mot är 0. Stabilitetsvilloret är att alla elemet i tablås första olum sall vara strit positiva. Ifall ågot elemet i första olume är ice-positivt är systemet istabilt; atalet teceväxligar i först olume är lia med atalet systempoler med positiv realdel. Amärig 1. I blad a det uder beräiges gåg framgå att alla oberäade elemet måste bli lia med oll. Då a ma aturligtvis avbryta beräigara. Amärig. Om ågot elemet i första olume är lia med oll motsvaras detta av e pol med realdele oll. Amärig 3. Stabilitetsvilloret att alla elemet i första olume sall vara positiva a givetvis avädas för att beräa stabilitetsgräser med avseede på obestämda parametrar som igår i de arateristisa evatio, t.ex. regulatorparametrar i ett återopplat system. Övig 6.3. Visa att följade stabilitetsvillor gäller då a 1 i arateristisa evatioe (6.15): 0 (a) Ett godtycligt adra ordiges system är stabilt om och edast om a1 0 och a 0. (b) Ett godtycligt tredje ordiges system är stabilt omm a1 0, a3 0 och a1a a3. Amärig 4. I fortsättige får dessa resultat avädas uta bevis (obs. doc a 0 1 ). Övig 6.4. Lös övig 6. med hjälp av Routh-Hurwitz stabilitetsriterium. Övig 6.5. Udersö om det återopplade systemet till höger är stabilt samt, ifall det är istabilt, hur måga poler det har i högra halvplaet. Övig 6.6. För vila värde på regulatorförstärige G p 1 1, Gv 5s1 s1 Rs () + 4 s 5 K c är edaståede system stabilt? ss ( 1) Ys () Gm, C K s 1 c

7 6. Stabilitet 6.3 Aalysmetoder Övig 6.7. Udersö med R-H riteriet för vila värde på regulatorförstärige system med samma strutur som ova är stabilt är s 4e Gp, Gv 0,5, Gm 1, C Kc. 5s 1 Ersätt dödtide med e Padé-approximatio av första ordige. K c ett återopplat 6.3. Bestämig av stabilitetsgräse via diret substitutio Eligt avsitt 6. är ett system stabilt om alla dess poler ligger i det omplexa talplaets västra halva, dvs om alla poler har egativ realdel. Om ågo pol ligger i talplaets högra halva, dvs har positiv realdel, är systemet istabilt. Om ågo pol har realdele oll, dvs är ett ret imagiärt tal, befier sig systemet följatlige på gräse till istabilitet. Det omplexa talplaets imagiära axel defiierar med adra ord stabilitetsgräse för systemets poler. Av ovaståede följer att de arateristisa evatioe As ( ) 0 har e eller flera lösigar av forme s j (där äve a vara oll) om systemet befier sig på (i)stabilitetsgräse stabila system a ite ha sådaa lösigar. Om de arateristisa evatioe iehåller oäda parametrar, t.ex. regulatorparametrar då As ( ) 0 är arateristisa evatioe för ett återopplat system, a ma udersöa om det fis e lösig av forme s j för ågot val av parametervärde som då defiierar parametraras stabilitetsgräsvärde. Som aalyse eda visar, a dödtider behadlas exat. Substitutio av j 1 ett uttryc av forme s j i de arateristisa evatioe As ( ) 0 ger efter hyfsig med A(j ) C( ) j D( ) 0, (6.17) där C och D är futioer av och evetuella obeata parametrar. Dea evatio a ha e lösig om och edast om de satisfieras var för sig av evatioes reella och imagiära delar, vilet ger evatiossystemet C( ) 0. (6.18) D( ) 0 Om systemet a befia sig på stabilitetsgräse, har (6.18) e eller flera lösigar, aars ite. Varje lösig ger då e lösig c samt ett uttryc som defiierar stabilitetsgräse som futio av evetuella obeata parametrar. E dödtid e Ls i de arateristisa evatioe As ( ) 0 medför iga pricipiella problem eftersom ma a utyttja Eulers formel jl e cos( L) jsi( L). (6.19) Övig 6.8. Lös övig 6.6 med diret substitutio av s j. Övig 6.9. Lös övig 6.7 med diret substitutio uta att approximera dödtide. 6 7