TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer).

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer)."

Kjell Berglund
för 5 år sedan
Visningar:

1 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig TILLÄMPNINGR V DIGONLISERING Beräig v poteser. Reursiv smbd s.. differesevtioer. Beräig v poteser med hjälp v digoliserig Om mtrise är digoliserbr dvs om srivs på forme PPPPPP då beräs på reltivt eelt sätt: Noter tt PPPPPP PPPPPP PPPPPP PPPPPP PPPPPP PPPPPPPP DDPP PPDD PP λλ DD λλ λλ Uppgift. Låt Digoliser mtrise om möjligt b Berä 5 Lösig: Mtrise hr två lijärt oberoede egevetorer vv svrr mot λλ, och ; vv svrr mot λλ och är därmed digoliserbr. Vi bildr PP, D och berär PP. Därmed är PPPPPP 5 PPDD 5 PP 5 5 Sid v

2 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig Uppgift. vgör om följde mtriser är digoliserbr Låt Berä Lösig: Eftersom λλ, vv ; λλ, vv ; λλ, vv hrmtrise oberoede egevetorer och därför är mtrise digoliserbr med DD ooooh PP. Vi bestämmer iversmtris PP otroller själv Nu vi berä PPDD PP Uppgift. KS 9 Låt. Bestäm mtrises egevärde och egevetorer. b Bestäm mtrise 7. Svr λ, λ. Egevetorer: u t och u t t Lösig: b Låt P. Då gäller P PDP där D. 7 PDP PDP PDP PD P 7 Sid v

3 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig Svr b Reursiv smbd. Oft vi besriv ett problem med ett smbd v följde typ ett reursivt smbd x + x x + x x + x x x x x x x där,,,. sys Evtioer i sys lls differesevtioer ej differetilevtioer. System sys är ett lijärt homoget differesevtiossystem med ostt oefficieter Om vi betecr x x och x då vi sriv systemet på mtrisform + för,,,. * Vi förel och lös problemet geom tt strt med idex och uttryc som e produt v och strtvetor. Eligt * hr vi. * * Om mtrise är digoliserbr då vi berä geom tt väd PPDD PP Uppgift. Låt vr e oäd mtris som uppfyller + fförr,,,. där / / och. Sid v

4 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig Bestäm b Vd häder med om? Lösig: Mtrise hr två lijärt oberoede egevetorer vv svrr mot λλ, och ; vv svrr mot λλ / och är därmed digoliserbr med PP, D / PP. Vi berär PPDD PP / PPDD PP / / / b Om då eftersom /.. Uppgift 5. KS 8 Betrt vetorföljde b + + b + b + b,,,,. där följde defiiers v det reursiv smbdet och. Bestäm vetor 5. Lösig: Eftersom + + b, b + + b och b vi sriv smbdet på mtrisform + * där. Sid v

5 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig. * Egevärde: λ det λi λ λ λ λ, λ. Egevetorer: u t och u t tt och v och digoliser mtrise. Låt P. Då gäller P PDP där D. 5 5 PDP PDP PDP PD P Frå. hr vi Uppgift 6. KS 8 Betrt vetorföljde b + + b + b + och. Bestäm vetor. Lösig: Eftersom b,,,,. där följde defiiers v det reursiv smbdet Sid 5 v

6 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig + + b, b + + b och b vi sriv smbdet på mtrisform + * där.. * Egevärde: λ det λi λ 5λ λ λ, λ 5. Egevetorer: u t och u t. Vi välj två lijärt oberoede egevetorer t ex v och v och digoliser mtrise. Låt P. Då gäller P 5 5 PDP där D. 5 PDP PDP PDP PD P Frå. hr vi Uppgift 7. obet futioer Bestäm de futioer x, y, z som stisfierr edståede system x x y + z y x + y z x x + y z där är heltl smt x, y, z. Sid 6 v

7 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig Lösig: Vi betecr z y x, och sriver systemet som e mtrisevtio +, där. På smm sätt som ov hr vi. * Vi digoliserr. Först bestämmer vi egevärde och egevetorer till och får λ, λ och λ med tillhörde lijärt oberoede egevetorer v, v, v. Låt P, D. Då gäller P och PDP. Därmed PDP och P PD. P PD. märig: För tt spr tid multiplicerr vi i följde ordig P D P. På dett sätt hr vi i vrje steg hr multiplitio med e vetor. Sid 7 v

8 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR lltså Tillämpigr v digoliserig. Svr: x, y,. z Speciellt fll: Mrovmtris eller stostis mtris Om mtrise i reursiv smbdet + hr följde två egesper:. Elemet i är ice egtiv tl.. Summ v elemet i vrje olo är li med då lls för e Mrovmtris eller stostis mtris. Såd mtriser väds oftst i solihetslär och öteori. Om är e Mrovmtris och e solihetsvetor då smbdet + defiierr e s.. Mrovedj:,,, E Mrovmtris hr ett egevärde λ me h dr egevärde förutom... Exempel: är e Mrovmtris..6.7 Uppgift 8. I ett företg med ställd fis två luchresturger och B, där ll ställd äter luch vrje dg. De ställd byter oft resturg eligt följde möster: v de ställd som går till e dg, går pproximtivt % till B äst dg. v de som går till B e dg, går pproximtivt % till äst dg. Vi vet tt idg dvs dg hr resturge 5 besöre och därmed hr B 5 besöre. Låt och b betec tlet besöre dg till resturge respetive B. Bestäm och b b Bestäm pproximtivt tlet besöre i resturge respetive B efter 8 dgr dvs 8 c Bestäm pproximtivt tlet besöre i resturge respetive B efter 5 dgr dvs 5 Lösig. Frå uppgifte får vi följde smbdet Sid 8 v

9 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig b b +.9b Vi sriv dett på mtrisforme: +.8. b +..9b.8. eller, om vi betecr och b, hr vi..9 + ev. Frå ev hr vi 5. * där 5 Kvr står tt berä Metod..8. Mtrise hr egevärde..9 λ. 7 och λ med motsvrde egevetorer v och v otroler själv. 5 För tt berä på ett reltivt eelt sätt uttrycer vi som e lijär 5 ombitio v egevetorer v och v. 5 Frå x + y 5 lltså hr vi x 5 och y. 5v + v och därför 5v + v 5 v + v 5λ v + λv lltså Svr Sid 9 v

10 rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig b b För 8 hr vi eftersom.7 8 och b c Smm som i b dvs och b 5 5 Metod. Vi berä geom tt först digoliser mtrise PDP sed berä PD P, och slutlige berä PD P me de här metode räver mer beräigstid. Sid v

Relevanta dokument

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr