1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.

Transkript

1 Lasse Björkma 999

2 . Rita följade tidssekveser. a) δ e) u b) δ f) u u c) δ + δ g) u d) u h) u. Givet tidssekvese x i edaståede figur. Rita följade tidssekveser. a) x c) x b) x + 3 d) x 3. Givet tidssekvesera x och x edaståede figurer. Rita följade tidssekveser. a) y = x + x c) y = x x b) y = x x d) y = x x. E tidsdiskret krets som beskrivs av differesekvatioe y = x + x matas med isigale [ ] cos( ω ) x 0 =. Bestäm utsigale y då a) ω 0 = 0 d) ω 0 = 3π b) ω 0 = π e) ω = 0 π c) ω 0 = π

3 5. Bestäm ett sambad mella isigal x och utsigal y för edaståede tidsdiskreta kretsar. a) :a ordiges IIR-filter b) :a ordiges FIR-filter 6. Rita e realiserig till var och e av de tidsdiskreta kretsar som beskrivs av edaståede differesekvatioer. a) y y = x b) y = x + x 3 c) y y + y = x 8 7. Bestäm faltige mella h[ ] = u[ ] och x = u 8. Bestäm mha faltigssumma utsigale till e lieär tidsivariat krets med impulssvaret h[ ] = u[ ] 3 då isigale är x[ ] = u[ ]. 9. Bestäm mha faltigssumma utsigale till e lieär tidsivariat krets med impulssvaret h[ ] = u[ ] då isigale är x[ ] = u[ ]. si π 0. Bestäm faltige mella h[ ] = u[ ] Tips: Aväd Eulers formler. och x = u si π. Bestäm faltige mella h[ ] = u[ ] Tips: Aväd superpositio. och x = u u 8. Bestäm faltige mella h u u N = och x = u u M, N > M > 0 3

4 3. Bestäm (mha defiitioe) Z-trasforme till a) x = δ b) x = u c) x = u k d) x = α u. Uttryck Y[ ] i X[ ] då a) y = x m b) y = α x 5. Bestäm (mha defiitioe) Z-trasforme till = cos π a) x[ ] = u[ ] b) x[ ] u[ ] si π c) x[ ] = u[ ] 6. Bestäm tidssekvese x då a) X[ ] b) X[ ] c) X[ ] d) X[ ] e) X[ ] f) X[ ] g) X[ ] =, > = = ,, 3 > > =, > = +, > = 3 +, > =, > 3 + 8

5 7. Bestäm mha Z-trasform utsigale till e krets i vila med impulssvaret h och isigale x då = = u = u a) h[ ] = u[ ] b) h[ ] u[ ] c) h[ ] [ ] d) h[ ] [ ] och x = u cos π = u 3 = u och x[ ] = u[ ] och x[ ] [ ] och x[ ] [ ] 8. Bestäm mha polyomdivisio x[ 0] x[ ] x[ ] x[ 3] Z -trasform ges av,, och i de tidssekves vars a) X[ ] b) X[ ] c) X[ ] = = = ,, > >, > Bestäm mha Z-trasform utsigale för 0 till e krets give av differesekvatioe 5 y y y x x 6 6 x[ ] = u[ ] y[ ] y[ ] ; =, 5 = [ ] [ ] + [ ] = [ ] + [ ] 0. Bestäm mha Z-trasform utsigale för 0 till e krets give av differesekvatioe [ ] + [ ] + [ ] = [ ] [ ] y y y x x x[ ] = u[ ] y[ ] y[ ] ; = 0, = 8 5 5

6 . Bestäm mha Z-trasform utsigale för 0 till e krets give av differesekvatioe [ ] [ ] + [ ] = [ ] y y y x x[ ] = u[ ] y[ ] y[ ] = 3 ;, 3 =. Bestäm mha Z-trasform utsigale för 0 till e krets give av differesekvatioe [ ] + [ ] + [ ] = [ ] + [ ] y y y x x 3 x[ ] = u[ ] ; y[ ] =, y[ ] = 3. E tidsdiskret krets är give av differesekvatioe y y = x a) Bestäm kretses impulssvar h b) Bestäm utsigale då kretse är i vila för < 0 och isigale är x[ ] = u[ ] 5 cos π 6. Bestäm stegsvaret till e krets som beskrivs av differesekvatioe y y + y = x 5. E tidsdiskret krets är give av differesekvatioe 5 5 y y + y = x x Bestäm kretses systemfuktio H och dess impulssvar h. 6

7 6. E tidsdiskret krets beskrivs av edaståede graf. a) Bestäm systemfuktioe H. b) Avgör om kretse är stabil. c) Bestäm utsigale då kretse är i vila för < 0 och isigale är x[ ] = u[ ] 7. E tidsdiskret krets beskrivs av edaståede graf. a a) För vilka värde på de positiva reella kostate a är kretse stabil? b) Bestäm impulssvaret h då a = /. 8. E tidsdiskret krets är give av följade graf a) Bestäm de värde på de reella kostate a för vilka kretse är stabil. x = cos π u 3 och a =. b) Bestäm utsigale y för 0 då isigale är [ ] [ ] 7

8 9. Bestäm systemfuktioe H för edaståede krets samt avgör om de är stabil. 30. E tidsdiskret krets är give av följade graf a) Bestäm kretses systemfuktio H. b) Bestäm kretses impulssvar h[ ]. c) Bestäm utsigale y[ ] 3, 0 då isigale är x[ ] = u[ ]. 3. Bestäm stegsvaret till edaståede krets. 8

9 3. E tidsdiskret krets beskrivs av differesekvatioe y y + y = x. si π 3 Bestäm statioära dele av utsigale då isigale är x[ ] = u[ ] E tidsdiskret krets har impulssvaret h[ ] = u[ ] 3 Bestäm statioära dele av utsigale då isigale är x[ ] = u[ ] 3. De tidsdiskreta sigale [ ] impulssvaret h[ ] [ ]. cos π π π x = cos + cos filtreras i e krets med 6 = u. Bestäm de statioära dele av utsigale E tidsdiskret krets med två poler och två ollställe har sia poler placerade i p = 0 9,. ± π. Skissa amplitudfuktioe då e j a), = b), = + c), = ± d), = ± j π, = ± e) e j 36. E tidsdiskret krets har impulssvaret h[ ] = α si ( β) u[ ] respektive β a) amplitudfuktioe H[ e jω ] b) fasfuktioe arg{ H[ e ]} jω 37. Välj koefficietera b b 0 3. Hur påverkar α i edaståede krets så att likspäigsförstärkige blir samt att frekvesera ω = π / och ω = π spärras. Bestäm äve kretses amplitudoch fasfuktio... 9

10 38. Neda ges pol-ollställesdiagram till fyra olika tidsdiskreta kretsar. Para ihop vart och ett med motsvarade amplitudfuktio respektive fasfuktio (se ästa sida). 3 0

11 I II III IV 39. Para ihop edaståede pol-ollställesdiagram med motsvarade amplitudfuktio respektive impulssvar

12 3 I II III IV

13 0. E tidskotiuerlig sigal med spektrum eligt edaståede figur samplas med sampelfrekvese. Rita de samplade sigales spektrum då a) f = 000 s H b) f = 000 s H c) f = 000 s H.. De tidskotiuerliga sigale x( t) = cos( 000 t) + cos( 000 t) π π samplas med sampelfrekvese = 6000 H och rekostrueras därefter idealt. Tecka de reko- x t struerade sigale ( ) r.. E tidskotiuerlig sigal med spektrum eligt edaståede figur samplas med sampelfrekvese = 000 H och rekostrueras därefter idealt. Rita de rekostruerade sigales spektrum. Har ågo iformatio gått förlorad? 3. De tidskotiuerliga sigale x( t) = cos( 000 t) + cos( 3000 t) π π samplas med sampelfrekvese = 5 kh, filtreras i ett digitalt filter med impulssvaret h = δ + δ och rekostrueras därefter idealt eligt edaståede figur. Rita med oggra graderig av axlar a) X[ e jω ] för ω < π b) Y[ e jω ] för ω < π c) Y( jω) för Ω < π 3

14 . De tidskotiuerliga sigale x( t) = cos( 000 t) + cos( 000 t) π π samplas med sampelfrekvese = 6 kh och rekostrueras därefter mha e D/A-omvadlare eligt edaståede figur. Rita med oggra graderig av axlar a) X[ e jω ] för ω < π b) ( Ω) X j för Ω < π f r s 5. De tidskotiuerliga sigale x( t) = + cos( 000 t) + cos( 500 t) π π samplas med sampelfrekvese = kh och skickas geom ett digitalt filter med impulssvaret h[ ] = [ ] + u[ ] δ 3. Därefter återskapas e tidskotiuerlig sigal y( t ) geom rekostruktio av de filtrerade sigale y. { } a) Rita de rekostruerade sigales spektrum ( Ω) = ( ) Ω rekostruktioe sker mha e D/A-omvadlare. Gradera axlara! b) Bestäm de rekostruerade utsigale y( t ) om rekostruktioe är ideal. Y j F y t för π om 6. I de tidskotiuerliga sigale x( t) = si ( 000 t) si( 000 t) π π öskar ma elimiera kh-kompoete. Detta sker geom att sigale samplas med sampelfrekvese = 8 kh och skickas geom edaståede digitala filter. För att återgå till e tidskotiuerlig sigal skickas de filtrerade sigale y[ ] till e D/Aomvadlare för rekostruktio. a) Bestäm lämpliga värde på koefficietera b b b 0, och så att kh-kompoete elimieras samt att kh-kompoete bibehåller si ursprugliga amplitud efter D/A-omvadlare. b) Vilka frekveskompoeter förekommer i utsigale frå D/A-omvadlare?

15 7. Isigale till edaståede system är x( t) = cos( 000 t) + cos( 6000 t) π π. där det digitala filtrets impulssvar h[ ] = u[ ] u[ 8 ]. a) Bestäm utsigale y( t ) om rekostruktioe är ideal. b) Rita utsigale y( t ) om rekostruktioe utförs mha e ero order hold D/A-omvadlare. y t om rekostruktioe utförs mha e ero order hold D/A-omvadlare? c) Vilka frekveskompoeter igår i utsigale ( ) 8. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret lågpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt Butterworthfilter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 0kH. 9. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret lågpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt Butterworthfilter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 5kH. 50. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret lågpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt ChebyshevI-filter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 8 kh. 5

16 5. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret lågpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt ChebyshevI-filter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 0 kh. 5. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret högpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt Butterworthfilter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 8 kh. 53. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret högpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt Butterworthfilter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 5 kh. 5. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret högpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt ChebyshevI-filter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 5 kh. 55. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret högpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt ChebyshevI-filter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 0 kh. 6

17 56. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret badpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt Butterworthfilter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 0kH. 57. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret badpassfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt ChebyshevI-filter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = 6 kh. 58. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret badspärrfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt ChebyshevI-filter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = kh. 59. Bestäm systemfuktioe H till ett tidsdiskret badspärrfilter som uppfyller vidståede kravspecifikatio. Utgå frå ett tidskotiuerligt Butterworthfilter och aväd bilieär trasformatio. Filtret skall arbeta med sampelfrekvese = kh. 60. Givet edaståede FIR-filter. a) Bestäm kretses poler och ollställe. b) Bestäm och rita kretses amplitudfuktio H[ e jω ]. c) Bestäm och rita kretses fasfuktio arg{ H[ e ]} jω. d) Vid vilka frekveser blir H[ e jω ] =0? 7

18 e) Vike typ av filter är det? 6. Givet edaståede FIR-filter. a) Bestäm kretses poler och ollställe. b) Bestäm och rita kretses amplitudfuktio H[ e jω ]. c) Bestäm och rita kretses fasfuktio arg{ H[ e ]} jω. d) Vid vilka frekveser blir H[ e jω ] =0? e) Vike typ av filter är det? 6. Vid aalys av e EKG-sigal har ma kostaterat att sigale har ett försumbart eergi-iehåll för frekveser f 00 H och väljer således att sampla sigale med sampelfrekvese = 00 H. Sigale är dessutom behäftad med två brumstörigar vid 50 H respektive 00 H. Ma öskar att med hjälp av ett digitalt filter elimiera dessa störigar. Bestäm systemfuktio [ ] H till ett kausalt FIR- filter med likspäigsförstärkige H[ e j0 ] = som elimierar störigara. 63. E tisdkotiuerlig sius-sigal med frekvese kh har råkat bli överlagrad med e 50 H brumstörig. Botemedlet mot detta är att sampla de störda sigale med sampelfrekvese = 3 kh och seda filtrera de i ett digitalt filter. Bestäm koefficieter till ett FIR-filter av lagom ordig som gör att brumstörige helt elimieras me låter kh-toes amplitud vara opåverkad. 6. Utgåede frå de tidsdiskreta sigale x[ ] = si π öskar ma åstadkomma sigale y[ ] = si π + π. Bestäm e krets som utför detta. 3 Tips: Försök med ett FIR-filter. 65. Givet de tidskotiuerliga sigale x( t) = si( 50 t) + si( 500 t) π π. Ma öskar med hjälp av e tidsdiskret krets elimiera de högre frekveskompoete samt förstärka de lägre med 3 db. Bestäm impulssvar h till ett kausalt FIR-filter av miimal ordig som löser problemet. Sampelfrekvese är = 0 kh. 8

19 66. Givet de tidsdiskreta sigale x = δ + δ + δ + δ 3 + δ + δ 5. Bestäm a) X[ e jω ] b) X6 k ur X[ e jω ] c) x d) X k e) x 6 ur X 6 [ k] ur X[ e jω ] ur X [ k] Jämför x med x. 67. Givet sigale x[ ] = u[ ] u[ 6 ]. Bestäm och rita X N [ k] där X [ k] a) N = 6 b) N = N är e N -pukters DFT av x då 68. För de tidsdiskreta sigale x = u u öskar ma, mha e DFT av j3π X[ e ] lämplig lägd N, bestämma förhålladet jπ X[ e ] a) Vilket är mista möjliga värde på lägde N? b) Bestäm förhålladet för detta värde på N. 69. Realisera edaståede filter på direktform II.. 9

20 70. Realisera e krets som beskrivs av differesekvatioe 5 5 y y + y = x x a) på parallellform b) på kaskadform 7. Realisera edaståede filter på direktform II t. 0