Signal- och bildbehandling TSBB03

Transkript

1 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: kl. 8-2 Lokaler: Garnisonen Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl och tel Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad formelsamling och följande tabeller: Svärdström: Appendendix till Signaler och System, Söderkvist: Formler och tabeller, Beta, Physics Handbook, TEFYMA Betygsskala: poäng betyg poäng betyg poäng betyg 5 Betygslista: Anslås senast 5/6

2 Ledning: Jag hoppas att det inte är om tid på tentan, men jag är inte säker. Räkna därför de uppgifter ni känner er säkra på först! Lycka till! 2

3 Fem små uppgifter (5p) a) Interpolation (3p) Interpolera fram värdet vid pilen (där x =.25) dels med hjälp av linjär interpolation och dels med cubic spline interpolation. Faltningskärnan för linjär interpolation är { x, för x, h (x) = 0, för övrigt, och faltningskärnan för cubic spline interpolation är { 2 x h 2 (x) = 3 3 x 2 +, för x, 0, för övrigt x b) Lokal tröskelsättning (3p) Beskriv hur lokal tröskelsätting går till och när man har användning för det. c) DFT och frekvens (3p) En signal x kont (t) ska samplas till x[k] och fouriertransformeras mha DFT, X(n) = Följande förutsättningar gäller: N/2 k= N/2 Signalen samplas med f 0 =200Hz. x[k]e j2πnk/n. Frekvensupplösningen ska vara minst 0Hz. Bestäm minsta möjliga N för att uppfylla förutsättningarna. Ledning: Studera hur kontinuerlig och diskret fouriertransform hänger ihop i nedanstående figur. I figuren är N=8. Notera att man kan variera N genom att padda med nollor. 3

4 x kont (t) X kont (f) t f x(k) X[n] k n N N d) Visualisering (3p) Vi har i kursen talat om tre olika sätt att visualisera en 3D-volym: djupkodning, ytskuggning och genomlysningsprojektion. Hur går det till att göra en genomlysningsprojektion av en 3D-volym i vinkeln φ =30? Använd 2-3 av följande ord i din redogörelse: summeras, multipliceras, skalas, tröskelsätts, interpoleras, roteras, translateras. e) Ett litet bevis (3p) Bevisa skiftteoremet (translationsteoremet). Ledning: Börja med att sätta upp fouriertransformintegralen för x(t a). Gör sedan ett lämpligt variabelbyte. 4

5 2 Faltning (9p) a) Beräkna den tidskontinuerliga faltningen h g(t) = h(t λ) g(λ) dλ, där h(t) =2 Π ( ) ( t och g(t) =3 Π t 2.5 ) 2. Beräkningen ska utföras och kunna följas i signaldomänen. Som ni vet gäller det att {, 0.5 t 0.5, Π(t) = 0, för övrigt. (6p) b) Beräkna den diskreta faltningen h D g D,där h D = och g D = och punkten markerar origo. (2p) c) Av de två faltningar som du nyss utfört är en kontinuerlig och en diskret. Nämn något (en sak räcker) som blir lika i de två fallen och som du kan använda för att kontrollera att dina svar på a) och b) inte är fel. (p) 3 Tidsdiskret system (9p) Betrakta ett tidsdiskret LTI-system med överföringsfunktionen H(z) = 0.82 a) Beräkna impulssvaret h[k]. (3p) z 2 + z =0.82 ( + z 2 2 z 2 ) z b) Markera var poler och nollställen hamnar i z-planet. Markera poler med ett kryss och nollställen med en ring. Beskriv hur man utgående från z-planet kan se vilken typ av filter det är. Tala också om vilken typ av filter detta är. (3p) c) Bestäm beloppet av överföringsfunktionen H Ω (Ω) = H(e jω ). Vad blir H Ω (0)? Antag att samplingsfrekvensen var 000Hz. Vilken frekvens f[hz] dämpas mest av detta filter? Ledning: Det gäller ju att Ω=2πfT där T är samplingsavståndet. (3p) 5

6 4 Fourierserie (7p) a) Bestäm fourierserieutvecklingen, x(t) =A 0 + A n cos (nω 0 t)+ B n sin (nω 0 t), för den periodiska signalen nedan. n= n= x(t) T 0 4 T 0 t Ledning: A 0 = T0 /2 x(t) dt T 0 T 0 /2 A n = 2 T0 /2 x(t)cos(nω 0 t) dt T 0 T 0 /2 B n = 2 T0 /2 x(t)sin(nω 0 t) dt T 0 ω 0 =2π/T 0 T 0 /2 (5p) b) Signalen x(t) passerar ett idealt bandpassfilter som släpper igenom vinkelfrekvenser i intervallet 2.5ω 0 ω 5.5ω 0. Bestäm utsignalen! (2p) 6

7 5 Binär Bildbehandling (5p) I ett preparat är man intresserad av att göra mätningar på kromosomer. En binär bild av en kromosom visas nedan. a) Tunna kromosomen till ett 8-konnektivt skelett. Markera vilka pixlar som försvinner med fasens nummer. Ledning: Strukturelementen för fas ser ut så här: (2p) b) Redovisa först de matchningskärnor som detekterar ändpunkter i denna kromosoms skelett och redovisa sedan de matchningskärnor som generellt detekterar alla ändpunkter i ett 8-konnektivt skelett. (3p) 6 Kontinuerliga och diskreta samband (8p) Ett mycket vanligt filterpar i bildbehandlingen är Sobel-paret där Sobel x = /(8T)= 0 - /(2T) 2 /4 och punkten markerar origo. a) Konstruera en filterkärna som approximativt beräknar 2 f x 2 av bilden f.utgå från Sobel x. (3p) 7

8 b) Fouriertransformera filter a = 0 - /(2T) och filter b = 2 /4 genom att sätta en dirac-spik på varje sampelpunkt. Antag sampelavstståndet T, vilket ger bandbredderna /(2T ) u /(2T ) och /(2T ) v /(2T ). Vilken typ av filter är filter a och filter b?är de LP- (lågpass-), HP-, BS-, BP- eller deriverande filter? Beskriv också hur man i fourierdomänen kan se detta. (5p) 7 Tillämpning på Fouriertransform (7p) Ultraljud kan t ex användas för att studera det inre av människokroppen eller materialprovning av en flygplansvinge. Ultraljudet sänds in i objektet och reflekteras vid kanter, t ex övergång luft-vävnad. Den reflekterade signalen mäts upp och behandlas vidare. En typisk uppmätt signal är r(t) =g(t) cos(2000πt), där g(t) bär på den intressanta informationen. Det gäller att g(t) 0. I figuren nedan representeras g(t) av den streckade linjen. De två topparna representerar två kanter, t ex övergångarna hjärtvävnad-hålrum och hålrum-hjärtvävnad. r(t) R(f) t f f 0 f 0 f 0 +W 0 a) I figuren visas F[r(t)] = R(f) = G(f f 0 ) /2+ G(f +f 0 ) /2. Bestäm f 0. (p) b) Funktionen g(t) kan erhållas ur r(t) på följande sätt: Multiplicera r(t) med cos(2πf t) och lågpassfiltrera därefter med ett idealt lågpassfilter med gränsfrekvensen W och amplituden A. Bestäm f (exakt), A (exakt), och W (intervall)! Svaret måste motiveras med skisser i Fourierdomänen. (6p) 8