Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet

Transkript

1 Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4 Fouriertransformen, forts Mer egenskaper av fouriertransformen Enkel tillämpning: Filtrera bort oönskat buller från vacker visselton Fouriertransformen, slutsats Teori: Kompendiet 1.5,1.6 1D Korrelation (Bara teori här.) Korskorrelation (ofta kallat bara korrelation) Autokorrelation och effektspektrum Brus p. 1 Illustration av skalningsteoremet Om X ω så gäller x at 1 a X ω a p. 2 Maria Magnusson, Datorseende, Inst. för Systemteknik, Linköpings Universitet Multiplikationsteoremet 1.47 p. 3 Parsevals teorem 1.54 p. 4 Om X ω och yt Y ω så gäller y t 1 X ω Y ω 2π Om X ω och yt Y ω så gäller y t dt 1 2π X ω Y ω dω Derivatateoremet så gäller Om X ω dx t dt jω X ω 1.51 För en reell signal gäller: Energi i tids domänen dt 1 X ω 2π dω Energi i frekvens domänen 1.56

2 För vilka signaler finns fouriertransformen? X ω e dt e dt dt Alltså: om x(t) är absolutintegrerbar så existerar fouriertransformen. Men då kan vi inte fouriertransformera t ex enhetssteget u(t) och sin(t)! Hur löser vi det? p. 5 Lösning: Vi tillåter generaliserade funktioner, t ex dirac-pulsen Fouriertransformen är svårare att räkna ut för dessa funktioner, bland annat måste Fouriertransformen definieras genom ett specialfall av Parsevals teorem. Detta görs inte i denna kurs utan vi i använder tabellerade fouriertransformer. De generaliserade funktionerna går att addera, skifta, skala, derivera och falta som vanligt. Det är dock inte tillåtet att multiplicera generaliserade funktioner med varandra. p. 6 Ett linjärt, tidsinvariant system gör faltning i signaldomänen och multiplikation i fourierdomänen p. 7 Ex) Vissling med blåsljud p. 8 h t y t h t X ω Y ω X ω H ω H ω Ett systems fouriertransform H() påverkar insignalens fouriertransform X() genom multiplikation. H() bestämmer alltså vilka frekvenser som skall förstärkas eller dämpas. I signaldomänen motsvaras detta av faltning (kan visas matematiskt). Därför är faltning viktigt! Extra viktigt!

3 p. 9 Ex) Filtrering i Fourierdomänen Ex) Vissling utan blåsljud p. 10 X f y t H f y t Y f X f H f y t Fouriertransformen, exempel från labben X f e e df Π t0.5 Signal p. 11 Fouriertransformen är egentligen definierad för både positiva och negativa frekvenser Signal p. 12 Amplitud: X f Fouriertransform Amplitud: X f Fouriertr. Fas: arg X f Fas: arg X f

4 Vad innebär en negativ frekvens? Amplitud: X f Fas: arg X f A e e A e e. A φ φ A e e A e e. p. 13 Vad innebär en negativ frekvens? Kombinera en negativ och en positiv frekvens: A e e. A e e. A e. e. 2A cos 2π2.5t φ Det blir en fasförskjuten cosinus! med frekvensen 2.5Hz, amplituden 2A och fasen 2 exponentialtermer med frekvenserna f och -f motsvarar alltså en cosinus med frekvensen f och fasen. Komihåg: Fouriertransformen beskriver frekvensinnehållet i en icke-periodisk signal. p. 14 Korrelation Korrelation är samma sak som faltning med speglad kärna ( faltning utan spegling ) Korrelation: Ospeglad och translaterad till t p. 15 Korrelation, forts. Man kan säga korskorrelation eller bara korrelation Två formler för korrelation: p. 16 Speglad och translaterad till t Faltning: Relation: Ligger stilla x y t x τytτ dτ Om funktionerna är komplexa: x y t x τytτ dτ

5 Notation för Korrelation I litteraturen hittar man olika sätt att notera korrelation. Vårt sätt är valt för att undvika förväxling med faltning, men ändå understryka likhet med faltning: x y t x τytτ dτ Alternativ 1: x y t Alternativ 2: x y t Alternativ 3: x y t Alternativ 4: R t Det finns fler varianter p. 17 Räknelagar för faltning och korrelation Faltning kommuterar: Korrelation kommuterar inte: Faltning i fourierdomänen: F x y t =X ω Y ω Korrelation i fourierdomänen: F x y t =X ω Y ω =X ω Y ω Extra viktigt! Om reell, X ω hermitisk p. 18 Varför korrelation? Fråga: Vid vilket t blir x(-t) och y() maximalt lika? p. 19 Diskret korrelation x y k x n y kn p. 20 Minimera skillnadsenergin mellan x(-t) och y()! Varianter: x y k 1 N x n y kn Mer om diskreta signaler nästa föreläsning! x y k 1 N k x n y kn Slutsats: Skillnadsenergin minimeras då korrelationen maximeras! Vi fördjupar oss inte i skalfaktorn och summationsgränserna!

6 Ex 1) Ekolod, a sinus-puls, Lågpassfilter (lab1) Ex 2) Ekolod, a sinus-puls, korrelation p. 21 p. 22 b y t t n t b y t t n t S c S c a b c y t lågpass filtrerad a b c korr y t Sinus -puls Vi kan välja sändpulsen Chirp p. 23 Ex 2) Ekolod, a chirp-puls, korrelation p. 24 b y t t n t S c a b c korr y t Mycket högre

7 Slutsatser om Ekolodsexemplen Det är bättre att korrelera än att bara lågpassfiltrera Det är bättre att använda en chirp-puls än en sinus-puls Chirp-pulsen kan sändas under längre tid vilket ger mer energi ut i vattnet Chirp-pulsen innehåller nästan alla frekvenser detta ger en smal korrelationspuls (jämför med dirac-pulsen som innehåller alla frekvenser) p. 25 Autokorrelation, (korrelation med sig själv) x x τ xtτ dτ Autokorrelation i Fourierdomänen: Autokorrelationsfunktionen och effekttäthetsspektrum är ett Fourierpar: Extra viktigt! p. 26 Autokorrelation för en effektsignal (går ej till 0 i ) p. 27 Korskorrelation, för en periodisk signal p. 28 v jämför med Föreläsning 1 där T0 är periodtiden och k är en godtycklig konstant Autokorrelationsfunktionens värde i origo är alltså lika med signalens effekt (effektivvärdet i kvadrat)!

8 Autokorrelation, för en periodisk signal En periodisk signal kan ju utvecklas i en fourierserie: A A sin nω tφ Man kan visa att denna har autokorrelationsfunktionen: p. 29 Stokastiska signaler, t ex brus För stokastiska signaler gäller att autokorrelation får uttryckas med hjälp av väntevärden (svårare, lärs ut i en annan kurs). M h a autokorrelationsfunktionen och effekttäthetsspektrum (energispektrum) kan vi dock räkna på brus! Vitt brus: x X ω p. 30 Oberoende av n t t ω p. 31 Stokastiska signaler, t ex brus, forts. Vi kommer att räkna på... Bandbegränsat vitt brus: X ω t t ω ω P ω X ω 1 1 ω ω