Spektrala Transformer

Transkript

1 Spektrala Transformer Fouriertransformer

2 Fourier Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor! Jean-Baptiste Fourier

3 Fouriertransformen Transformerar kontinuerliga signaler från tids- till frekvensdomän = skriver om dem som en summa av sinusar F och tillbaks från frekvens till tid jωt ( ω ) = f ( t) e dt forward f ( t) = F( ω) e j ω t dω 2π inverse

4 Fourierserier Specialfall: då f(t) är periodisk blir ω diskret vi samplar frekvensaxeln: ω = kω 0 där ω 0 =2π/T F(k" 0 ) = c k = T T $ 0 f (t)e # jk" 0t dt k= jkω0 f ( t) = c k e t

5 Fourierserier Om f(t) är reell gäller att c = c # k "k! f (t) = c + 2" c cos(k! t) + 2 c sin(k! t) 0 real,k 0 imag,k 0 k=! " k=! " k= [ ] f (t) = a a k cos(k! 0 t)+ b k sin(k! 0 t) a k = c k + c!k b k = j(c k! c!k )

6 Fourierseriens egenskaper Beloppet c k ger signalens spektrum Spektrumlutningen ger ett mått på jämnheten i signalen för fyrkantvåg avtar spektrum med /n för triangelvåg avtar spektrum med /n 2 Integrering i tidsdomänen ökar spektrumlutningen, derivering minskar den Diskontinuiteter i insignalen orsakar ringningar (Gibbs fenomen) 2f20 Spektrala Transformer för Media Jonas Beskow

7 Transformer i Fourier-familjen Tidsdomän Frekvensdomän Transform Periodisk Kontinuerlig Periodisk Diskret Aperiodisk Kontinuerlig Aperiodisk Diskret Diskret Aperiodisk Diskret Periodisk Kontinuerlig Aperiodisk Kontinuerlig Periodisk Fourierserie DFT (Diskret fouriertransform) Fouriertransform Z-transform

8 DFT Diskret Fouriertransform Fouriertransform av verkliga, samplade signaler inte bara matte: Spektral analys Spektrum & Spektrogram Filtrering & bildbehandling Snabb faltning av långa sekvenser/stora filterkärnor Kodning Spektralbaserad bildkodning (typ JPEG) Ljudkodning (typ MP3) Talteknologi Särdragsextraktion för taligenkänning mm Audio/musik Pitch-shift/time-stretch Och så vidare

9 DFT - domäner DFT transformerar signaler mellan diskret tidsdomän och diskret frekvensdomän punkter i tidsdomänen ger punkter i frekvensdomänen

10 DFT - domäner Tidsdomän 2 =8 Frekvensdomän π/4 π/2 π/4 4 n 0 4 π k ω = k2π/ π/4 -π/2 -π/ n: k: ω: 0 π

11 DFT - basvektorer Basvektorerna är st. phasors b k ( n) = e jnk2π / 3 3π/4 2 π/2 π/4 4 π k ω = k2π/ π/4 -π/2 -π/4 7 6

12 DFT Tid Frekvens (DFT) Frekvens Tid (Invers DFT, IDFT) = = 0 / 2 ) ( ) ( k jnk e k X n x π = = 0 / 2 ) ( ) ( n jnk e n x k X π

13 DFT som en matris j j kn j j j e e e e e )/ )( ( 2 )/ ( 2 / 2 )/ ( 2 / 2 = π π π π π F kn j n f k e / 2, π =

14 DFT som en matris Tid Frekvens (DFT) X = Fx Frekvens Tid (Invers DFT, IDFT) X = F x

15 DFT för reella sekvenser Om x(n) är reell blir X(k) symmetrisk kring /2: X(-k) = X(k) *

16 ågra DFT-transformpar: impulser ur Steven W. Smith Digital Signal Processing

17 ågra DFT-transformpar: fyrkantpulser

18 ågra DFT-transformpar: pulser

19 ågra DFT-transformpar: gauss-funktioner

20 Ett praktiskt problem Vad innebär det att tidsdoänen blir cirkulär? Diskontinuiteter - påverkar spektrum! sidolober

21 Lösning: fönstring Signalen multipliceras med ett fönster som går mot noll i intervallets ändar! Undertrycker sidolober ågot försämrad upplösning i frekvensled

22 FFT Fast Fourier Transform FFT är en effektiv algoritm för att beräkna DFT FFT är helt avgörande för att många applikationer av DFT ska vara praktiskt möjliga! FFT fungerar genom att rekursivt dela upp problemet i mindre problem, s.k. söndra och härska (divide-and-conquer)-metodik

23 Beräkningshastighet Antal multiplikationer: DFT: ~ 2 FFT: ~ log() ggr förbättring 2 / log

24 DFT/IDFT Kan vi snabba upp beräkningen av IDFT också? Ja! IDFT{X} = DFT{X * }/ FFT kan användas även för invers DFT

25 Sammanfattning Fouriertransformen uttrycker icke-periodiska signaler som kontinuerliga frekvensfunktioner En Fourierserie uttrycker periodiska signaler som en summa av diskreta frekvenskomponenter DFT transformerar mellan diskret tids-domän och diskret frekvensdomän FFT är en algoritm för att beräkna DFT FFT är fundamental i många DSP-tillämpningar