Signal- och bildbehandling TSEA70

Transkript

1 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA Tid: -- kl. - Lokaler: G3 Ansvarig lärare: Henrik Turbell besöker lokalen kl..3 tel Adm. assistent: Ylva Jernling tel Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad formelsamling och följande tabeller: Söderkvist: Formler och tabeller, Beta, Physics Handbook, TEFYMA Betygsskala: -3 poäng betyg 3 3- poäng betyg - poäng betyg Betygslista: Anslås senast 3

2 Denna sida ska vara blank

3 Tre små uppgifter... a) Redogör för en trösklingsmetod som trösklar fram det C-formade objektet i nedanstående figur. Omarkerade pixlar antas ha värden, eller. b) Bilden f (x; y) ska roteras moturs grader. Beräkna värdet på pixeln markerad med frågetecken (?) i utbilden g(x; y). Värdet ska erhållas med närmsta granne interpolation.? 3 inbild f(x,y) utbild g(x,y) c) Nedan till vänster visas en liten 3 3-bild. Den ska interpoleras upp till 3 gånger så hög samplingstäthet, dvs -bilden som visas till höger. Interpolationen ska ske med bilinjär interpolation, dvs linjär interpolation i x-led följt av linjär interpolation i y-led. (Filterkärnan för linjär interpolation visas under de två bilderna.) Beräkna värdet på pixlarna markerade med A, B och C. 3

4 3 C A B Linjär interpolationsfilter Systemen h[n] och h[n] beskrivs av följande differensekvationer y[n] =x[n] + y [n ] + x[n ] (p) y[n] = x[n ] x[n] + y[n ] a) Ange de båda systemens systemfunktioner H(z) och H(z). b) Ange överföringsfunktionen för ett av systemen. c) Det visar sig att de båda systemen har exakt samma amplitudspektrum. Räkna ut detta, skissa det på intervallet» Ω» ß och ange vilken typ av filter det är (LP,HP,BP eller BS). Minst tre exakta punkter ska ingå i kurvan. d) Ett av systemen är stabilt medan det andra inte är det. Ange vilket av systemen som är stabilt och vilket som är icke-stabilt och motivera detta. (För poäng här fordras korrekt motivering.)

5 3 Se nedanstående lågpassfiltrerande nät. Man kan enkelt visa att dess överföringsfunktion är H(!) = j!rc + h(t) x(t) R j ω C y(t) Låt oss för enkelhets skull anta att RC =varvid H(!) reduceras till H(!) = j! + a) Beräkna impulssvaret h(t). (p) b) Beräkna utsignalen y(t) om insignalen x(t) är en rektangelfunktion Π(t :). (Rektangelfunktionen Π(t) definieras i formelsamlingen.) Genomför beräkningen genom att evaluera faltningsintegralen y(t) =(x Λ h)(t). (p) x(t) y(t) y(t) y(t) h(t), z(t) H(f) cos( π t) cos( π t) Ovanstående figur visar principen för amplitudmodulering (AM) vid radiosändning och radiomottagning. En vanlig ljudsignal ger via en mikrofon den elektriska

6 signalen x(t) som sedan multipliceras med cos(ß 3 t) vilket ger signalen y(t). Det visar sig att denna signal innehåller betydligt högre frekvenser än x(t) och därför kan sändas ut i luften som radiovågor. Dessa tas sedan emot i radioapparaten (mottagaren) och multipliceras med cos(ß 3 t) vilket ger y(t). Slutligen faltas y(t) med h(t) vilket ger z(t). Fouriertransformen av h(t) visas nedan. H(f) khz Det visar sig att signalen z(t) som vi kan lyssna på i radioapparaten är identisk med den urspungliga signalen x(t)! Hur är detta möjligt? Ge en förklaring genom att skissa fouriertransformerna Y (f ) respektive Y(f ). Axlarna ska vara graderade. Antag för enkelhets skull att X(f ) är en triangelfunktion enligt figuren nedan. X(f) - khz (p) Betrakta nedanstående figur. Till vänster syns bilden f (x; y) bestående av en ruta med pixlar av värdet. Omarkerade pixlar antas ha värdet. Till höger syns sobelx operatorn, s x (x; y)

7 a) Utför faltningen g x (x; y) =s x Λ f (x; y). b) Sobel-y operatorn s y (x; y) är en grader roterad variant av sobel-x operatorn. Sobel-y operatorn ger faltningsresultatet g y (x; y) = s y Λ f (x; y) om den appliceras på bilden. Resultaten g x och g y kan nu kombineras på olika sätt, I) tröskelsättning av g x (x; y) g y (x; y) II) tröskelsättning av g x (x; y) +g y (x; y) III) tröskelsättning av jg x (x; y) g y (x; y)j IV) tröskelsättning av jg x (x; y) +g y (x; y)j V) tröskelsättning av jg x (x; y)j + jg y (x; y)j VI) tröskelsättning av p g x (x; y) + g y (x; y) Vilken av ovanstående operationer är bäst att använda då man vill detektera godtyckligt orienterade kanter? Motivera. (p) I kursen har vi bl a lärt oss följande tre metoder för krympning av ett binärt objekt. A) Konnektivitetsbevarande krympning B) Icke konnektivitetsbevarande krympning C) Konnektivitetsbevarande krympning till skelett (tunning)

8 a) Rita av objektet ovan. Utför Konnektivitetsbevarande krympning ggr ( faser) på objektet. Nedan syns matchningskärnorna för fas. Pixlarna ska markeras med nummer på den fas de försvinner i b) Utför Icke konnektivitetsbevarande krympning gång på objektet. Använd strukturelementet nedan. c) Nedan följer fem påstående. Ett passar ihop med A) Konnektivitetsbevarande krympning, ett med B) Icke konnektivitetsbevarande krympning och ett med C) Konnektivitetsbevarande krympning till skelett (tunning). Två stycken passar varken ihop med A), B) eller C). Passa ihop påståendena med A), B) och C)! I) Denna följt av expansion fyller igen sprickor. II) Denna utförd flera gånger i rad tills ingen förändring sker ger en enda punkt centralt i objektet. III) Denna utförd flera gånger i rad tills ingen förändring sker ger pixelbreda sammanhängande linjer. IV) Denna följt av expansion kan åstadkomma öppning mellan tangerande objekt i bilden. V) Denna utförd flera gånger i rad tills ingen förändring sker ger en enda punkt på objektets kant.

9 Nedan visas ett enkelt filter som approximativt beräknar derivatan. (Mittpunkten på filtret är utmärkt med en ffl.). ffl -. a) Beräkna filtrets kontinuerliga fouriertransform F (u). Ledning: Detta går bra om man tänker att det sitter en dirac-spik ffi() på varje sampelpunkt. Sätt samplingsavståndet till T. b) Beräkna filtrets DFT genom att använda nedanstående definition. F DF T [n] = X N= k= N= f [k] e jßkn=n c) Med hjälp av resultaten från a) och b) skriv upp ett uttryck hur F DF T [n] förhåller sig till F (u) i diskreta punkter n. d) Beräkna filtrets TDFT, F TDFT (Ω). e) Med hjälp av resultaten från a) och d) skriv upp ett uttryck hur F TDFT (Ω) förhåller sig till F (u). (p) Kommentar: Enligt ovanstående uppgift kan man alltså beräkna fouriertransformen av ett begränsat filter kan på tre olika sätt, kontinuerligt, med DFT eller med TDFT. Det enda som skiljer är skalningen i frekvensled. Tommy Blomqvist, kallad TB3 på grund av sina initialer och sina 3 ringar i ena örat, var på Linköpings sommarfestival och spelade in konserten med sin favoritartist, Louise Hoffsten. Inspelningsutrustningen samt uppspelningsutrustning visas nedan. x(t) h(t) sampling y(t) y[n] lagring h(t) z(t) mikrofon analogt LP-filter rekonstruktionsfilter högtalare

10 Man kan räkna med att det mänskliga örat kan uppfatta tonhöjder upp till khz. TB3 har därför ett analogt lågpass-filter h(t) med gränsfrekvensen khz. Låt oss för enkelhets skull anta att lågpass-filtret är idealt. Samplen y[n] lagrar TB3 sedan på hårddisken i sin dator. TB3 vill förstås undvika vikningsdistorsion, samtidigt som han vill att samplen ska uppta så liten plats som möjligt på hårddisken. För att sedan kunna spela upp musiken använder TB3 ett rekonstruktionsfilter. Låt oss för enkelhets skull anta att rekonstruktionsfiltret är identiskt med lågpass-filtret h(t). a) Vilken samplingsfrekvens bör TB3 välja? (p) b) Ett sampel upptar utrymmet byte på hårddisken. Hur många byte upptar hela konserten om den varade timme? (p) c) TB3:s kompis på filfak vill gärna ha en kopia på konserten. Han föreslår att TB3 ska kopiera den på disketter (floppy) åt honom. TB3, som är en kunnig signalbehandlare med datorvara, förstår snart att detta inte är en bra ide. Hur många disketter behövs för att lagra hela konserten? Räkna med att en diskett kan lagra. Mbyte (ca byte). (p) d) Under första låten på konserten råkade TB3 ha filtret h(t) bortkopplat. Oturligt nog tränade en hundägare sin hund med en visselpipa samtidigt. Visselpipan gav tonen 3kHz. Då TB3 spelar upp den första låten hörs en störande ton. Vilken frekvens har denna ton? Motivera!