Signal- och bildbehandling TSEA70

Transkript

1 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: kl. 4-8 Lokaler: G36 Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl tel 0702/ Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad formelsamling och följande tabeller: Söderkvist: Formler och tabeller, Beta, Physics Handbook, TEFYMA Betygsskala: poäng betyg poäng betyg poäng betyg 5 Betygslista: Anslås senast 29/8

2 OBS! Det kan vara ont om tid på tentan. Räkna i första hand de uppgifter ni känner er säkra på! 2

3 Tidsdiskret system (6p) Antag att ett tidsdiskret kausalt system ges av differensekvationen y[n]+0.8y[n ] = 2x[n]+x[n ]. a) Bestäm systemfunktionen H(z) =Y (z)/x(z). b) Bestäm systemets impulssvar h[n]. c) Bestäm impulssvaret till det kausala systemet G(z) =/H(z). d) Givet systemet G(z) applicera insignalen x[n] =2δ[n]+δ[n ] och bestäm utsignalen y[n]. 2 Sampling (6p) a) Signalen x(t) = cos(2π 0t) samplas med frekvensen f o =5Hz. Därefter rekonstrueras den samplade signalen med ett idealt LP-filter med gränsfrekvensen f g = f o /2. Vad blir utsignalen y(t)? Resonera och rita i fourierdomänen! (3p) x(t) sampling rekonstruktion y(t) fo fg = fo/2 f(x,y) sampling mha digitalkamera digital bild g[x,y] b) Svårare! Man kan ibland se ett liknande fenomen mha en video- eller digitalkamera. Antag att man fotograferar ett roterat cosinusmönster f(x, y) = R φ [ cos(2π0 +42 x) ], där rotationsvinkeln är φ = arctan(/4). Detta mönster samplas med digitalkameran med frekvensen f o =60i båda ledder. Den digitala bilden visas sedan på en bildskärm. Ge en formel för utbilden g[x, y]! Resonera och rita i 2D fourierdomänen! (3p) 3 Kontinuerlig faltning (8p) Bestäm faltningen y(t) =(h g)(t) där h(t) och g(t) illustreras av figuren nedan. h(t) 2 g(t) 2 t 3

4 a) Utför beräkningarna i signaldomänen. (5p) b) Utför beräkningarna i fourierdomänen. (3p) {, 2.5 t.5, Ledning : h(t) =Π(t +2)= 0, annars 4 Kontinuerliga och diskreta samband (p) Nedan visas en variant av Laplace-filtret. (Mittpunkten på filtret är utmärkt med en.) a) Beräkna filtrets DFT genom att använda en 2D-variant av följande formel (2p) F DFT [k] = N/2 n= N/2 f[n] e j 2π N kn. b) Beräkna filtrets kontinuerliga Fouriertransform genom att använda en 2Dvariant av följande formel F (u) = f(x) e j2πux dx. Ledning: Detta går bra om man tänker sig att det sitter en Diracspik δ() på varje sampelpunkt. Sätt för enkelhetens skull sampelavståndet till. (2p) c) Med hjälp av resultaten från a) och b) skriv upp ett uttryck hur F DFT [k,k 2 ] förhåller sig till F (u, v) i diskreta punkter (k,k 2 ). (p) d) Vad är Fouriertransformen L(u, v) till den ideala laplacefunktionen l(x, y) = 2 + 2? (2p) x 2 y 2 e) Skissa ungefärligt hur F (u, 0) och L(u, 0) ser ut i intervallet 0.5 u 0.5. Beskriv dess likheter och skillnader. Vilket lågpassfiltrerar mest t ex? (3p) f) Försök hitta på en målande beskrivning av hur F (u, v) ser ut. Ledning: Jag ute efter ett ord av den typen vi har använt i kursen ibland såsom pillerpurk, låda, staket, skidbacke. (p) 4

5 5 Interpolation (8p) Se figur nedan. Den samplade bilden har samplingsavståndet. Därmed är ju bandbredden 0.5 <u,v<0.5. Bilden ska samplas upp en faktor 3. Då behöver man bland annat beräkna värdet på pixeln markerad med ett frågetecken /3 4? 7 2 2/3 8 3 Se figuren nedan. Man kan välja olika omsamplingsfunktioner för detta ändamål. Beräkna pixelns värde om följande omsamplingsfunktioner används: a) Närmsta granne (c i figuren). (p) b) Linjär interpolation (d i figuren). (2p) c) Cubic spline interpolation (a i figuren) a(x) = (2p) { 2 x 3 3 x 2 +, x, 0, annars Spatial domain Fourier domain 0.5 a.. b Spatial domain Fourier domain 0.5 c.. d Omsamplingsfunktionen b i figuren är en fönstrad sinc-funktion. De olika omsamplingsfunktionerna har olika egenskaper. Du ska nu rangordna b, c och d i fråga om: d) Ger mest lågpassfiltrering. (p) 5

6 e) Ger bäst resultat (minst distorsion). (p) f) Ger snabbast beräkningar.(p) 6 Diskreta 2D-filter (7p) Se figur nedan. Det gäller att f(x, y) är en bild och att a(x, y) =f(x, y) g a (x, y) och b(x, y) =f(x, y) g b (x, y). f(x,y) a(x,y) b(x,y) y x a) Hur många MULT, ADD och SUB per pixel krävs för att beräkna a(x, y) och b(x, y)? (p) b) Bestäm g a (x, y) och g b (x, y) genom att falta samman de små faltningskärnorna i figuren. (2p) c) Vad visar bilden a(x, y)? Ledning: Välj något av detta:?-derivatan i?-led,? av gradienten,?-passfiltrering och ersätt?-tecknet med något vettigt.(2p) d) Vad visar bilden a(x, y) 2 + b(x, y) 2? Ledning: Välj något av detta:?-derivatan i?-led,? av gradienten,?-passfiltrering och ersätt?-tecknet med något vettigt.(2p) 7 Binär bildbehandling (8p) Figurerna nedan beskriver hur man utgående från en böna med skaft (figur I) kan ta fram skelettet av skaftet (figur V) och därmed mäta dess längd. Rutor ska betraktas som pixlar med värde. Övriga pixlar har värde 0. Som hjälp har bönans ytterkontur ritats in punktstreckad i varje figur. 6

7 I) II) III) IV) V) a) Beskriv hur figur II kan erhållas ur figur I. (2p) b) Beskriv hur figur III erhålles. (2p) c) Beskriv hur figur IV erhålles. (2p) d) Beskriv hur figur V erhålles. (2p) I beskrivningarna ovan ska använda matchningskärnor/strukturelement anges. Välj bland A, B, C och D och roterade varianter nedan. Tänk på att pixelvis addition, subtraktion, multiplikation och invertering också är tillåtet. A: B:

8 C: D: 8 Bevis med TB3 (6p) Matematikintresserade Tor-Björn Tretow, kallad TB3 pga sina initialer, har gjort följande halvfärdiga bevis. Det gäller att x(t) är en reell funktion och att en sådan alltid kan delas upp i en jämn och en udda komponent x(t) =x j (t)+x u (t). X(ω) = = + = x(t)e jωt dt = x j (t)cos(ωt)dt j x u (t)cos(ωt)dt j x j (t)cos(ωt)dt j Vad gäller för fouriertransformen av a) En godtycklig reell funktion? (2p) b) En jämn reell funktion? (2p) c) En udda reell funktion? (2p) x j (t)e jωt dt + x j (t)sin(ωt)dt x u (t)sin(ωt)dt x u (t)sin(ωt)dt x u (t)e jωt dt I svaren ska anges och bevisas om real- och imaginärdel är jämn, udda eller noll. Utgå från Torbjörns halvfärdiga bevis. 8