2 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter.

Transkript

1 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter. ktuella ekvationer: Se formelsamlingen och förberedelsehäftet. För effektivvärdet av en summa av N ortogonala signaler gäller: ν rms = ν rms1 + ν rms ν rmsn..1. a b Är 3 sin(0πt och 5 cos(0πt ortogonala? Är 3 sin(0πt och 3 ortogonala? c Bestäm effektivvärdet för: = 4 cos(100πt 3 sin(100πt + cos(300πt sin(300πt (volt d Bestäm effektivvärdet för: = 10 + sin(100πt sin(00πt (volt Ledning: Effektivvärdet för sin(kt + φ, där φ är en godtycklig fasvinkel och k är ett nollskilt heltal, är /... Se figuren nedan med signalen. T0 T 0 t a Ge ett uttryck för i intervallet T 0 / t T 0 /. b Bestäm fourierseriekoefficienterna 0, n, B n. c Bestäm fourierserien för..3. Ett idealt lågpass-filter (LP-filter nollställer alla frekvenser över gränsfrekvensen. Det kan också ge en förstärkning, vilket innebär att signalen multipliceras med. Se figur. Signalen får passera ett idealt lågpassfilter (LP med gränsfrekvensen f g = 10 khz och förstärkningen = 10. (Detta innebär att filtret stoppar alla frekvenser över 10 khz, samt multiplicerar signalen med t[ms] LP y(t 1 a Bestäm periodtiden T 0 för. 1

2 b Ge ett uttryck för i intervallet T 0 / t T 0 /. c Bestäm :s fourierserie. d Bestäm grundvinkelfrekvensen ω 0 och gränsvinkelfrekvensen ω g och jämför deras storlek. e Bestäm utsignalen y(t. f Bestäm utsignalens effektivvärde, y rms..4. Ett idealt högpass-filter (HP-filter nollställer alla frekvenser under gränsfrekvensen. Se figur. Signalen kommer först till cirkeln med där den multipliceras med sig själv till. Därefter passerar den det ideala högpassfiltret med gränsvinkelfrekvensen ω 1. Det gäller att:. = cos(ω 1 t + cos(ω t, ω < ω 1 < ω Idealt HP-filter y(t a Bestäm signalen och förenkla svaret så att det endast består av enkla cosinus-termer och en konstant. nvänd en trigonometrisk formel, tex från förberedelsehäftet. b Bestäm utsignalen y(t..5. Se figuren nedan med den helvågslikriktade cosinussignalen. T 0 T0 T 0 T0 t a Ge ett uttryck för i intervallet T 0 / t T 0 /. b Bestäm fourierseriekoefficienterna 0, n, B n. c Bestäm fourierserien för.

3 .6. Se figuren nedan med den halvvågslikriktade cosinussignalen. T 0 T 0 t a Ge ett uttryck för i intervallet T 0 / t T 0 /. b Bestäm fourierseriekoefficienterna 0, n, B n. c Bestäm fourierserien för. Svar och lösningsförslag.1 a Ja! Se t ex föreläsning. b Ja! Se t ex föreläsning. Tänk att 3 = 3 cos(0πt. c x rms = 1 ( x rms = 3.87 volt d x rms = x rms = volt. a = t, T 0 T 0 t T 0 b 0 = 0 och n = 0 ty signalen är udda. B n = nπ cos(nπ. c = ( sin(ω0 t 1 π sin(ω 0t + 1 sin(3ω 3 0t

4 .3 a T 0 = 1 ms { 1, T 0 / t 0 b = 1, 0 t T 0 / c 0 = 0, n = 0 och B n = 1 ( 1n enligt ovan insatta i fourierserie-formeln π n ger = 4 ( sin(ω 0 t + 1 π 3 sin(3ω 0t sin(5ω 0t +... volt d ω 0 = π/t 0 = π/0.001 = 000π rad/s ω g = πf g = π10000 = 0000π rad/s ω g = 10ω 0 vilket ger att vinkelfrekvenser större än 10ω 0 kommer att nollställas av LP-filtret. d y(t = 10 4 ( sin(ω 0 t + 1 π 3 sin(3ω 0t sin(9ω 0t volt e yrms = 1 ( 4 ( π y rms = 3.1 volt.4 a = cos(ω 1 t+cos((ω 1 ω t+cos((ω 1 +ω t+0.5 cos(ω t b y(t = 0.5 cos(ω 1 t + cos((ω 1 + ω t cos(ω t 4

5 .5 a = cos(πt/t 0, T 0 t T 0 b Svar: B n = 0, 0 = och n = π(1 + n sin (1 + n + π(1 n sin (1 n. c = 4 ( 1 π cos(ω 0t 1 15 cos(ω 0t

6 .6 a = b { cos(πt/t 0, t T 0 /4 0, T 0 /4 t T 0 / 0 =... = π Svar: B n = 0, 0 = π och n = π(1 + n sin (1 + n + π(1 n sin (1 n. c = π + cos(ω 0t + 3π cos(ω ot 15π cos(4ω 0t +... Notera: Vid beräkning av den andra termen här måste ett standardgränsvärde användas. 6