Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl

Transkript

1 Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl Examinatorer: Lars Hammarstrand och Thomas Wernstål Tentamen består av två delar (Del I och Del II) på sammanlagt 50 poäng (30 resp 20 poäng). För att bli godkänd på tentamen krävs minst 12p på Del I (varav max 3p är bonuspoäng) samt minst 8p på Del II (varav max 2p är bonuspoäng). För betyg 4 och 5 krävs, utöver kraven för godkänt, minst 27p respektive 34p sammanlagt. I lösningarna skall samtliga steg (utom triviala beräkningar) redovisas. Ansvarig under tentamen: Thomas Wernstål, tel (mobil: ). Lösningsförslag kommer ges på kurshemsidan. Granskning av tentarättningen kommer att ske Torsdagen den 19 sep kl.10:00 och Fredagen den 20 sep kl.13:15 i rum 6319 (våning 6Ö i EDIT-huset). Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd kalkylator Tabellverk (Beta, Standard Mathematical Tables o dyl) Kursens formelsamling som får innehålla egenhändigt införda, handskrivna anteckningar, dock ej lösta exempel OBS: Glöm ej skriva din tentamenskod på varje sida i dina lösningar. Lycka till! 1

2 Del I 1. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. För poäng krävs tydliga och bra motiveringar! (a) Summan av två diskreta periodiska signaler är också alltid periodisk. (b) Det tidsdiskreta system där sambandet mellan insignal x[n] och utsignal y[n] ges av y[n] = (x[n 3]) 2 är tidsinvariant. (c) Om två kontinuerliga signaler x 1 (t) och x 2 (t) är udda så är även deras faltning x 1 (t) x 2 (t) udda. (d) Om x 1 (t) och x 2 (t) är två kontinuerliga signaler som ger utsignalerna y 1 (t) respektive y 2 (t) då de ges som insignal i ett kontinuerligt LTIsystem så kommer deras produkt x 1 (t)x 2 (t) ge utsignalen y 1 (t)y 2 (t). 2. (a) Betrakta den periodiska signalen x(t) = sin (4πt) + 4 cos (10πt). Bestäm fundamentalfrekvensen ω 0 och koefficienterna a k i dess Fourierserieutveckling; x(t) = a k e jkω 0t k= (3p) (b) Betrakta ett kontinuerligt LTI-system vars frekvenssvar är { ω, λ ω 2λ H(jω) = 0, för övriga ω Bestäm utsignalen, för alla positiva värden på parametern λ, då systemet matas med signalen från deluppgift (a). (3p) 3. Betrakta det kausala och diskreta LTI-system där sambandet mellan insignal x[n] och utsignal y[n] styrs av ekvationen; y[n] 2y[n 1] = x[n] + 0.5x[n 1] (a) Rita ett blockdiagram som beskriver systemet. Använd bara block som representerar tidsförskjutning, multiplikation med någon skalär (α R) eller addition dvs block av följande typ; (3p) z 1 α + (b) Bestäm systemets impulssvar h[n]. (c) Förklara varför systemet inte är stabilt. (1p) 2

3 (d) Antag att man för att få ett stabilt system gör en återkoppling enligt nedanstående schema, där A är en positiv parameter. Bestäm överföringsfunktionen för detta nya system och visa att det är stabilt om A > 2/3. x[n] + h[n] y[n] (4p) A 4. (a) Visa utifrån definitionen (utan att hänvisa till någon formelsamling) att Fouriertransformen av den kontinuerliga signalen e ɛ t är dvs 2ɛ ɛ 2 +ω 2 e ɛ t F 2ɛ ɛ 2 + ω 2 (ɛ är ett fixt positivt tal). Redovisa tydligt varje steg i kalkylerna. (3p) (b) I kursen har vi också använt det (generaliserade) transformparet 1 F 2πδ(ω) Motivera varför detta är rimligt genom att se det som ett gränsfall (då ɛ 0) av transformparet i deluppgift (a). (c) Motivera istället transformparet i deluppgift (b) genom att tillämpa inversionsformeln för Fouriertransform. (1p) 3

4 Del II 5. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. För poäng krävs tydliga och bra motiveringar! (a) Ett system med frekvenssvaret H(jω) = 1+e 3jω kommer att fördröja alla frekvenser i insignalen lika mycket. (b) Utsignalen till ett LTI-system med frekvenssvar H(jω) är y(t) = H(jω) cos(ω 0 t + H(jω)) då insignalen är x(t) = cos(ω 0 t). (c) Ett filter som beskrivs med differensekvationen y[n] = x[n] x[n 1] är av typen lågpassfilter. (d) Att ett system är linjärt och tidsinvariant (LTI) är nödvändiga egenskaper för att vi ska kunna beräkna utsignalen från systemet för godtycklig insignal mha ekvationen, Y (jω) = H(jω)X(jω), där Y (jω), H(jω) och X(jω) är Fouriertransformen av utsignalen, impulssvaret och insignalen. OBS: För full poäng räcker det inte att hänvisa till formelsamlingen. 6. Ove vill ta ut vilka ackord som spelas i hans favoritlåt men han har tyvärr inte något vidare gehör. Dock så har Ove tillgång till en dator och lite grundläggande signalbehandlingskunskaper. För att testa lite så samplar Ove en liten del av musiken där han vet att det endast spelas ett ackord som innehåller tre toner. Han samlar in 128 sampel med en samplingsfrekvens på 3000 Hz, vilket i detta fall är tillräckligt för att undvika vikning. Med hjälp av dessa sampel beräknar Ove en 128-punkters DFT vars belopp kan ses i Figur 1. Din uppgift är att hjälpa Ove att avgöra vilka tre toner som ingår i det inspelade ackordet. Till din hjälp har du Oves DFT samt Tabell 1. Notera att när man spelar en ton på ett instrument så generas en signal som innehåller dels en grundfrekvens med hög amplitud (tonens grundfrekvens) samt heltalsmultiplar av grundfrekvensen med lägre amplitud (så kallade övertoner). För att avgöra vilka toner som ingår i ackordet räcker det således att hitta de tre grundfrekvenserna för de tre tonerna. (4p) (4p) 7. Designa ett kausalt och stabilt tidskontinuerligt LTI-filter som uppfyller följande tre kriterier (a) släcker helt ut en sinus-signal med frekvensen rad/s, (b) dämpar en sinus-signal med frekvensen 1, rad/s med en faktor 1/ 2, (c) varken dämpar eller förstärker DC-signaler (signaler vars frekvens är noll). Filtret behöver inte uppfylla kriterierna (b) och (c) exakt. Det går bra att göra välmotiverade ingenjörsmässiga approximationer. Beskriv ditt filter med lämplig systembeskrivning. (6p) 4

5 k X[k] Figur 1: Beloppet av den 128-punkters DFT som Ove har beräknat i Uppg. 6. 5

6 Tabell 1: Tabell över grundfrekvensen i Hz för olika toner i de olika oktaverna på instrumentet (man kan spela samma ton fast antingen lite ljusare eller lite mörkare) i Uppg. 6. Ton / Oktav C 32,72 65,4 130,8 261,6 523, C#/Db 34,66 69,3 138,6 277,3 554, D 36,72 73,45 143,9 293,8 587, D#/Eb 38,91 77,83 155,6 311,3 622, E 41,23 82,45 164,9 329,8 659, F 43,65 87,33 174,6 349,3 698, F#/Gb 46,25 92, G G#/Ab 51,91 103,83 207,6 415,3 830, A A#/Bb 58,29 116,6 233,1 466,3 932, B 61,75 123,