LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: Sal: MA:10, C-J Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling och en valfri bok i matematik. [Allowed items on exam: calculator, DSP and mathematical tables of formulas] Observandum: För att underlätta rättningen: [In order to simplify the correction:] -Lös endast en uppgift per blad. [Only solve one problem per paper sheet.] -Skriv namn på samtliga blad. [Please write your name on every paper sheet.] Påståenden måste motiveras via resonemang och/eller ekvationer. [Statements must be motivated by reasoning and/or equations.] Poäng från inlämningsuppgifterna adderas till tentamensresultatet. [The points from the tasks will be added to the examination score.] Max Tot. poäng (tentamen + båda inl.uppg) = = 6.0 [Max Tot. score (exam + tasks) = = 6.0 ] Betygsgränser för kursen: (.0p), 4 ( 4.0p), 5 ( 5.0p). [Grading; (.0p), 4 ( 4.0p), 5 ( 5.0p).] 1. Ett hjul till en hästkärra har 4 identiska och jämnt fördelade ekrar och snurrar med varvtalet 65 varv/sek motsols. Hjulet filmas med en digital videokamera som tar 5 bilder/sekund. Den digitala signalen decimeras med en faktor, dvs varannan bild tas bort ur sekvensen. Vilken digital rotationsfrekvens (dvs varv/sampel) kommer hjulet att uppfattas ha, genom att betrakta den inspelade och decimerade sekvensen? Vilken verklig frekvens och rotationsriktning kommer att uppfattas, medsols eller motsols? (0.5) [We have a rotating wheel with FOUR evenly distributed identical spokes which rotates with 65 revolutions/sec counterclockwise,. The wheel is recorded by a digital video camera using 5 frames/sec. The digital sequence is further decimated by a factor two. Determine the digitally perceived rotational frequency (i.e. in revolutions/sample). What real frequency will be observed and also determine the direction of rotation.]. Följande differensekvation är given: [The following difference equation is given,] y(n) y(n 1) + 1 y(n ) = x(n) + x(n 1) 1

2 a) Bestäm systemfunktionen H(z) samt bestäm systemets poler och nollställen och rita upp dessa i ett pol-nollställe diagram. Avgör om systemet är stabilt, motivera ditt svar. (0.) [Determine the system function H(z), the system poles and zeros and plot these in a pole-zero plot. Determine if the system is stable, motivate your answer!] b) Bestäm impulssvaret h(n) till differensekvationen! (0.) [Determine the impulse response h(n) of the system.]. En tidsdiskret LTI-krets är given av figuren med a = cos(ω 0 ) där ω 0 = π/ [An LTI-system is given by, where a = cos(ω 0 ) and ω 0 = π/] x(n) z -1 z -1 1 a 1 y(n) a) Bestäm motsvarande differensekvation och impulssvar h(n)! (0.) [Determine the corresponding difference equation and impulse response h(n)!] b) Skissa amplitudfunktionen H(ω) och fasfunktionen arg(h(ω))! (0.) [Sketch H(ω) and arg(h(ω))!] c) Bestäm utsignalen y(n) då insignalen är given av, (0.4) [Determine the output signal y(n), when the input is given by!] x(n) = cos(π/ n + π/6) < n < 4. Följande differensekvation är given, [The following difference equation is given, ] y(n) = 0.5y(n 1) + x(n) där insignalen x(n) = 1 n u(n) och vi har begynnelsevärdet y( 1) = 1. Bestäm utsignalen! (1.0) [where the input signal x(n) = 1 n u(n) and initial condition y( 1) = 1. Determine the output signal!] 5. Följande tids-diskreta signaler är givna; [The following discrete-time signals are given;] x 1 (n) = [ 1 ], x (n) = [ 1 0 ] a) Bestäm resulterande modulo sekvens ur faltningsuttrycket; y(n) = x 1 (n) x ( n). (0.) [Determine the resulting modulo sequence from; y(n) = x 1 (n) x ( n)]

3 b) Bestäm Fouriertransformen till x 1 (n) och x (n) och beräkna därefter Y (ω) = X 1 (ω) conj(x (ω)) (0.) [Determine the Fouriertransforms of x 1 (n) and x (n) and use these results to determine Y (ω) = X 1 (ω) conj(x (ω))] c) Sampla resultatet från uppgift b), Y (ω) i tre punkter, dvs w = πk/ där k = 0, 1, vilket motsvarar Y (k), (DFT:n av y(n)). Bestäm därefter invers DFT av Y (k), dvs sekvensen y(n). (0.5) [Sample the result from subtask b), Y (ω) in three points, i.e. w = πk/ wherer k = 0, 1,, this is the equivalent of Y (k), (DFT:n of y(n)). Now determine the inverse DFT of Y (k), i.e. the sequence y(n). ] 6. Bestäm ett filter g(n) så att det uppfyller följande egenskap: Om insignalen är stegsvaret från ett LTI-system (vilket som helst) så skall utsignalen vara impulssvaret från samma system! Motivera ditt svar! (1.0) [Determine a filter g(n) such that it fulfills the following property: If the input signal is the step response from ANY linear and time invariant system, then the output signal should be the impulse response from the same system. Motivate your answer!] Lycka till! Please remember to answer the CEQ-questionnaire!

4 Lösningar till Tentamen SVAR 1. Hjulet snurrar med 65 varv/sek motsols. Sampeltakten är F s = 5 Hz vilket ger den normerade frekvensen inom fundamentalt frekvensområde (som i detta fallet är 1/8 f 1/8), dvs periodisk med perioden 1/4.; f 0 = 65 5 ± 1 4 k k heltal = 1 5 ± 1 4 k k heltal ( 1 = 5 10 ) ± k k heltal = 1 10 ± 1 4 k k heltal Denna decimeras med faktor vilket ger, f d 0 = 1 10 ± 1 4 k k heltal = 1 5 ± 1 4 k k heltal ( 1 = 5 1 ) ± k k heltal = 1 0 ± 1 4 k k heltal Dvs den uppfattade decimerade digitala frekvensen är f0 d = 1 varv/sampel, 0 dvs 1 varv/sampel medsols. Det uppfattade verkliga frekvensen blir; 0 Dvs 5 8 Hz medsols. 1 0 F s = 5 8 Hz SVAR a. Z-transformera differens-ekvationen, det ger H(z) får enligt, Y (z)(1 z z ) = X(z)(1 + z 1 ) H(z) = Y (z) X(z) = 1 + z 1 1 z z H(z) har nollställen i z = 0 och z = 1 och poler i z = 1±j, vilket medför stabilitet (innanför enhetscirkeln). Figur pol-/nollställe diagram se figur nedan. 4

5 Imaginary Part Real Part Pol-nollställediagram i uppgift a). SVAR b. Genom att invers-transformera H(Z) erhålls impulssvaret h(n), dvs vi beräknar utsignalen då insignalen X(z) = 1. Då vi har komplexkonjugerande poler vet vi att vi får en linjärkombination av cosinus resp. sinus-termer. H(z) skrivs då som, Y (z) = H(z) = 1 + z 1 1 z = 1 0.5z z 1 z 1 z z = 1 1 cos (π/4)z sin (π/4)z cos (π/4)z 1 + ( 1 ) z = 1 1 cos (π/4)z cos (π/4)z 1 + ( 1 1 ) z + sin (π/4)z cos (π/4)z 1 + ( 1 ) z Från tabell (ur tex formelsamlingen) fås att impulssvaret blir; h(n) = ( 1 ) n [ cos ( π 4 n) + sin (π 4 n) ] u(n) SVAR. a) T.ex. ur Formelsamling, direktform ger y(n) = x(n) cos ω 0 x(n 1) + x(n ) = x(n) + x(n ) h(n) = δ(n) cos ω 0 δ(n 1) + δ(n ) = δ(n) + δ(n ) 5

6 b) För allmänt ω 0 gäller, H(ω) = 1 cos ω 0 e jω + e jω = e jω ( e jω cos ω 0 e jω + 1 ) = = (ejω e jω 0 )(e jω e jω 0 ) e jω H(ω) = e jω e jω 0 e jω e jω 0 = V 1 (ω)v (ω) φ(ω) = arg[1 cos ω 0 e jω + e jω ] = { ω ω < = arg[e jω ω0 (cos ω cos ω 0 )] = ω π ω > ω 0 0 Amplitudfunktionen H(ω) H(ω) [db] Normerad vinkelfrekvens, ω [rad/sec] Fasfunktionen /_H(ω) 1 /_H(ω) Normerad vinkelfrekvens, ω [rad/sec] Amplitudfunktion och fasfunktion för ω 0 = π/, i uppgift b). 6

7 c) ( π x(n) = cos n + π ) 6 < n < ( π ) ( π y(n) = H cos n + π ( π )) 6 + φ < n < ( π ) φ ω 0 = π H ( π ) = 1 + e j π/ = ( 1 1 ) ( ) + = 1 = π ( π y(n) = cos n π ) 6 < n < SVAR 4. Då vi har begynnelsevärden använder vi Z + -transformen, som applicerad på differensekvationen och insättning av insignalens Z-transform (OBS insignalen är kausal ger Z-transform = Z + -transform) ger, Y + (z) = Y + (z) = 1 Y + (z)z y( 1) z 1 Y + (z) = 1 z 1 Y + (z) z 1 1 ( 1 1 z 1) + 1 ( 1 1 z 1) ( 1 1 z 1) Gör högerledet liknämnigt och partialbråksuppdela, Y + (z) = 1 1 z 1 + ( 1 1 z 1) ( 1 1 z 1) = 7/ 1 1 z z 1 Z 1 y(n) = 7 ( ) n 1 u(n) ( ) n 1 u(n) SVAR 5. a) y(n) = x 1 (n) x ( n) = [ ] 7

8 b) X 1 (ω) = e jω + e jω X (ω) = e jω 1 + e jω = X (ω) Y (ω) = X 1 (ω)x (ω) = e jω + 1e jω + 4e jω + 4e jω e jω 4e jω = e jω + 5e jω 8 + 6e jω 4e jω OBS! Här ser vi att koefficienterna i resultatet motsvarar summan av antidiagonalerna i ovanstående led, dvs detta visar faltningstabellens konstruktion eftersom invers [ Fouriertransform ] motsvarar y(n) = x 1 (n) x ( n) =, 5, 8, 6 4 c) Vi samplar Y (ω), dvs byter ut ω > πk/ vilket ger, Y (k) = e j πk/ + 5e jπk/ 8 + 6e jπk/ 4e j πk/ = (5 4)e jπk/ 8 + (6 )e jπk/ = 8 + (6 )e jπk/ + (5 4)e jπk/ = 8 + 4e jπk/ + e jπk/ Eftersom e j πk/ = e jπk / = e jπk ( 1/), dvs +/ varv är lika med 1/ varv i vinkel (och pss är / varv lika med 1/). Enligt definitionen av Diskret Fouriertransform (då N = ) har vi, Y (k) = n=0 y(n)e jπkn/ Genom indentifiering av y(n) med uttrycket för Y (k) fås att y(n) blir som i uppgift a), dvs y(n) = [ ] SVAR 6. Definitionen av impulssvaret för ett LTI-system är om insignalen är impulsen, δ(n), så är utsignalen impulssvaret, h(n), och på samma sätt är definitionen av ett stegsvar, om insignalen är ett steg så är utsignalen stegsvaret, dvs 8

9 δ(n) u(n) LTI LTI h(n) s(n) Eftersom ett LTI-system entydigt beskrivs av impulssvaret, och utsignalen ges av faltningen mellan impuslsvaret och insignalen, har vi, h(n) = h(n) δ(n) s(n) = h(n) u(n) Bestäm nu sambandet mellan h(n) och s(n), dvs h(n) = h(n) δ(n) = {δ(n) = u(n) u(n 1)} = = h(n) u(n) h(n) u(n 1) = }{{}}{{} s(n) s(n 1) = s(n) s(n 1) = s(n) g(n) Där g(0) = 1 och g(1) = 1, dvs g(n) = [ 1 1 ]. 9