Tentamen i Reglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp

Transkript

1 KTH-ICT-ES Tentamen i eglerteknik. 7,5 hp varav tentamen ger 4,5 hp Kurskod: IE304 Datum: Tid: Examinatorer: Jan Andersson och Leif Lindbäck Tentamensinformation: Hjälpmedel: Bilagd formelsamling, dimensioneringsbilaga och miniräknare Miniräknare: Får användas Omfång: Tentamen består av 20 uppgifter och totalt 50 poäng. Poängkrav: För betyget E krävs minst 25 p, för D C B A 30 p 35 p 40 p 45 p Utförande: Namn och personnummer skall anges på varje inlämnat skrivpapper. Bladnr. och uppgiftsnr. skall anges på varje inlämnat skrivpapper Skriv endast på en sida. edovisade lösningar skall vara fullständiga och lätta att följa, egna antaganden skall motiveras.

2 . Hur karaktäriseras en process G(s) i vilken det förekommer transporttid? (2p) 2. Vad är BIBO-stabilitet? (2p) 3. Hur definieras normalt insvängningstid för ett reglersystem? (2p) 4. Vad är skillnaden mellan ett öppet och ett slutet system? (2p) 5. Ge ett alternativt namn på tidsdiskret reglering. (2p) 6. Hur kan man tänka sig att en typisk processreglering av P-typ ändras med förstärkningen K? (2p) 7. Hur avläses ett reglersystems stabilitetsmarginaler i ett Bode-diagram? (2p) 8. Vilka parametrar mäts då man tillämpar Ziegler-Nichols metod? (2p) 9. Hur definieras variabeln z för tidsdiskreta system? (2p) 0. Vad menas med en adaptiv regulator? (2p). Bestäm stegsvaret (enhetssteg) för ett system, som beskrivs med överföringsfunktionen G s = 3 +bs (2p) 2. Bestäm differentialekvationen för det elektriska filtret i figuren, där u = insignal y = utsignal = 000 kω C = μf L L = 500 H u C y (3p) 2

3 3 Figuren visar Bodediagrammet för kretsöverföringen (slingförstärkningen) G k (s) hos ett system. Bestäm Amplitudmarginalen A m Fasmarginalen ϕ m Approximativ stigtid t r vid stegformad börvärdesändring Det kvarvarande felet e o vid stegformad börvärdesändring 4 Bodediagrammet i förra uppgiften visar kretsöverföringen för ett system, som man vill reglera med en PI-regulator. Man önskar en fasmarginal på 38 o. Dimensionera regulatorns K p och T I. (3p) 5 En process med överföringsfunktionen G s = 4 5s ska småningom styras med en styckvis konstant insignal och samplingstiden ska vara 0,2 sekunder. Därför måste processen diskretiseras och beskrivas med en lineär differensekvation av följande typ: y k =a y k +b u k Bestäm denna differensekvation. (2p) (4p) 3

4 6 Det stabila tidsdiskretra systemet H z = 2z 3 z z+ 0,53 påverkas av en enhetspuls och y svänger småningom in mot sitt slutvärde. Vilket är slutvärdet? (2p) 7 Bestäm den tidsdiskreta motsvarigheten till den kontinuerliga överföringsfunktionen e -6s. Styrningen sker med en styckvis konstant insignal och samplingstiden är 3 sekunder. (2p) 8 a) För vilka positiva värden på K är systemet ovan stabilt? (3p) b) Vad blir det kvarstående felet, e 0, i systemet ovan om K = 0, och börvärdesändringen,, är ett enhetssteg. (2p) 9 a) En process med nedanstående överföringsfunktion ska regleras med en polplaceringsregulator. Alla poler ska ligga i z = 0.3. ita ett blockschema med uträknade värden för regulatorn. 2. 0z H z = z (3p) b) Bestäm differensekvationen som ska programmeras när ovanstående regulator implementeras. (p) 20 Ett system beskrivs med blockschemat nedan. Ställ upp systemet på tillståndsform. Välj utsignalerna från blocken som tillstånd. (3p) 4

5 Lösningsförslag till tentamen i eglerteknik Teorifrågor; se lärobok och laborationer. 3 3 b = => stegsvaret 3( ) s + bs s( + bs) e t 2. sl u sc y [ // C] = sc = + sc + sc [ // C] y = u = + sc u = u = u 2 2 sl + [ // C] sl + s LC + s LC + sl + sl + + sc LC && y + Ly& + y = u L LC && y + y& + y = u && y + y& + y = u C LC LC && y y& + y = 3 0,5 0 0,5 0 && y + y& + y = u 0,0005 0,0005 && y + y& y = 2000u + 3 rad rad 3 Bodediagrammet för slingförstärkningen G K : ( ω π 4,7 och ω c 2, ) => s s A m = 4,54ggr 4, 2dB och 0,22 o ϕ m 68,4 t r = 0, 67sekunder 2, e o = 0 u

6 o o o 4 2) P-regulator med ϕ m = 38 + = 49 A m =, 43ggr 0,7 => K =,43 (OBS! Bodediagrammets lutning vid låga frekvenser är dekad per dekad. Det finns alltså inget K LF ) 3) Efter förstärkning med,43 ggr => rad ω c 2, 55 sekund För PI-reglering: lämpligt rad ω b = 0,2 ωc = 0,2 2,55 = 0,5 = sekund TI T I =,96 sekund 2s 0,5 = K =,43 K p GPI = K p ( + ) =,43 ( + ) T s s 2 I

7 Uppgift 5 G(s) = 4 + 5s, h = 0.2s Differensekvationen, y(k) = ay(k ) + bu(k ), motsvarande den diskretiserade överföringsfunktionen. Lösning Enligt formelsamlingen har K + T s Vi har K = 4, T = 5, h = 0.2 vilket ger H(z) = Y (z) U(z) 0.6z 0.96z. h K( e T )z den steginvarianta diskretiseringen 0.2 4( e 5 )z = e z Detta ger Y = 0.6z 0.96z U ; Y ( 0.96z ) = 0.6z U ; Y = 0.96z Y + 0.6z U. Invers z-transformering ger y(k) = 0.96y(k ) + 0.6u(k ) y(k) = 0.96y(k ) + 0.6u(k ) Uppgift 6 H(z) = Slutvärdet Lösning 2z + 3 z 2, insignalen U = enhetspuls. 0.40z Enligt formelsamlingen har en enhetspuls z-transformen, vilket ger att 2z + 3 utsignalen, Y = z z Använd slutvärdessatsen: lim k y(k) = lim(z )Y (z) = lim (z ) 2z + 3 z z z 2 = lim 0.40z z 2 e h T z (z )(2z + 3) z z =

8 0 (2 + 3) = 0 Slutvärdet är 0 Uppgift 7 G(s) = e 6s, h = 3s Den diskretiserade överföringsfunktionen, H(z) Lösning Enligt formelsamlingen har fördröjningen e hs, där h är samplingsintervallet, den diskreta motsvarigheten z. Överföringsfunktionen e 6s motsvarar en fördröjning med två samplingsintervall ( 6 2 = 3), den diskreta motsvarigheten är alltså z 2. H(z) = z 2 Uppgift K /(z-0,5) Y 3

9 a) För vilka positiva värden på K är systemet ovan stabilt? b) Vad blir det kvarstående felet, e0, i systemet ovan om K = 0, och börvärdesändringen,, är ett enhetssteg. Lösning, deluppgift a Systemet har överföringsfunktionen H(z) = K z 0, 5 + K z 0, 5 = K z 0, 5 + K Den karakteristiska ekvationen är z 0, 5 + K = 0 z = 0, 5 K Systemet är stabilt om z <. Eftersom K måste vara positivt kan z inte bli större än. Gränsen för stabilitet sätts alltså av z = 0, 5 K > ; K > 0, 5 =, 5 ; K <, 5 Lösning, deluppgift b Använd slutvärdessatsen: lim k y(k) = lim(z )Y (z) = lim z (z ) K z z 0, 5 + K z z = [K = 0, ] = lim z 0, z z , = = 0, 0, 5 + 0, = 0, 0, 6 0, Det kvarstående felet, e 0 = lim y(k) = k 0, 6 = 0, 5 0, 83 0, 6 a) K <, 5 b) e 0 0, 83 Uppgift 9 H(z) = 2.0z 0.90z 4

10 En polplaceringsregulator enligt blockschemat nedan. Alla poler ska ligga i z = 0.3. Kr + E /C(z) U H(z) D(z) Lösning, deluppgift a H(z) = B(z) A(z) = 2.0z 0.90z A = ( 0.90z ), B = 2.0z Gradtalet för önskat karakteristiskt polynom, n p = n a +n b = + = Gradtalet för C(z), n c = n b = = 0 Gradtalet för D(z), n d = n a = = 0 Placera den enda polen i z = 0.3 önskat karaktristiskt polynom, P (z) = 0.3z Sätt systemets karakteristiska polynom lika med önskat karaktristiskt polynom: AC + BD = P ; ( 0.90z ) + 2.0z d 0 = 0.3z 2.0d 0 z 0.90z + = 0.30z 2, 0d 0 0, 90 = 0, 30 ; 2d 0 = 0, 60 ; d 0 = 0, 30 Slutligen bestäms K r = P () B() = 0.3 = Lösning, deluppgift b E = , 30Y e(k) = 0.35r(k) 0.30y(k) U = E u(k) = 0.35r(k) 0.30y(k) a) C(z) =, D(z) = 0.30, K r = 0.35, blockschema se ovan b) u(k) = 0.35r(k) 0.30y(k) 5

11 Uppgift 20 Systemet på tillståndsform. Utsignalerna från blocken ska användas som tillstånd. Lösning X = s U X 2 = 5 X (2 + s) = 3U 2x + x = 3U 4 + 2s U ; X 2 (4 + 2s) = 5U ; 4x 2 + 2x 2 = 5U X 3 (3 + s) = 4(X + X 2 ) 3x 3 + x 3 = 4x + 4x 2 X 3 = s (X + X 2 ) x = 2x + 3U x x x 3 2 = 2x 2 + 2, 5U ; x 2 = x 2 + 2, 5 U x 3 = 3x 3 + 4x + 4x 2 x x 3 0 x x 2 x 3 = x x 2 x , 5 0 U, Y = 3U 6