DT1120/DT1130 Spektrala transformer Tentamen

Transkript

1 DT/DT3 Spektrala transformer Tentamen 86 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel: räknare, formelblad (bifogat) Lycka till! En journalist följer en tävling i m sprint från åskådarplats. Under loppet tar journalisten snabbt en serie bilder med sin systemdigitalkamera med intervallet sekund. När journalisten granskar bilderna ser det ut som om vinnaren springer baklänges med en fjärdedels steg per bild, och steglängden uppskattas till meter. a Givet att löparen har samma hastighet under hela loppet, vilken tid fick vinnaren? (p) Ledning: Betrakta bilden i figur. En fots position i x-led kan approximeras med x = r sin πf. Då blir ett steg r meter långt och det går två steg på T = f. b Vad kallas fenomenet som gör att det ser ut som löparen springer baklänges? Vid vilken samplingsfrekvens uppstår detta rent generellt? Vad brukar man göra i ljuddomänen för att bli av med problemet? (p) I figur ser du ett antal filterscheman och ett antal impulssvar. Para ihop rätt schema med rätt impulssvar, med motivering. Observera att det blir ett impulssvar över. (p/ korrekt par) 3 Violetta är på Operan och gör en spontan bootleginspelning av sopranens stora aria på sin mobiltelefon. Samplingsfrekvensen är bara 8 Hz och efteråt tycker Violetta mest att det låter dåligt. Efter att ha mätt upp frekvenssvaret för mobiltelefonens mikrofon upptäcker Violetta en topp kring Hz. För att förbättra ljudkvaliteten bestämmer sig Violetta för att låta den inspelade signalen passera ett digitalt filter (se figur 3). Hjälp till att hitta de bästa värdena på filterkoefficienterna a, a och a 3, så att amplituden sänks med db vid Hz. För att undvika att filtret påverkar DC-nivån vill man även att amplituden är oförändrad vid Hz. OBS att det kan finnas flera lösningar. (4p) (6) DT/DT3 Spektrala transformer HT 8

2 Figur. En löpare i profil med vinklen v = π/4 för en fjärddels steg uppmärkt. a b c d e Figur. Filter och impulssvar för ihopparande (6) DT/DT3 Spektrala transformer HT 8

3 Figur 3. Violettas digitala operafilter (uppgift 3). 4 Signalen y(t) = cos 3πt + cos 3πt samplas med f s = 6Hz. Sedan skapas ett spektrum genom att beräkna N-punkters FFT av den samplade signalen. 5 a Vilken fönsterlängd N krävs om man vill kunna urskilja de två frekvenserna i spektrumet? (p) b FFT-spektrum av en ensam sinuston ger ofta vissa artefakter vid sidan om den förväntade frekvenstoppen - sk sidolober. Men för vissa frekvenser slipper man dessa, och får bara en spik omgiven av nollor. För vilka frekvenser gäller detta? Vad kan man göra för att undertrycka sidolober i ett FFT-spektrum? (p) Ett så kallat kamfilter beskrivs av ekvationen y(n) = x(n) + αx(n K) där K är ett positivt heltal, och α är ett reellt tal (kan vara negativt). a Beräkna uttrycket för frekvenssvaret H(ω) för filtret (p) b Betrakta beloppsfunktionen H(ω) - vad är det största och minsta värde beloppsfunktionen antar? Skissa H(ω) då α = och K = 4 (p) c Visa att filtrets nollställen ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien α K (med centrum i origo). (p) i z-planet 3 (6) DT/DT3 Spektrala transformer HT 8

4 Lösningar a Sampling ger: x(n) = r sin(π f f s n) Den observerade normerade vinkelfrekvensen är -/8, men eftersom löparen springer framlänges antas vikning och löparen tar alltså k + 7/8 steg per bild, där k =,,,... f/f s = k + 7/8 = (8k + 7)/8 /T = f = f s (8k + 7)/8 Löparen förflyttar sig: r meter på T/ sekunder (halv period, ett steg) 4r meter på T = 8 f s(8k+7) sekunder (hel period, ett steg med vardera fot) = 4r 4r meter på 8 f s(8k+7) 4r = rf sekunder s(8k+7) Sätt in r =, f s = och beräkna för olika k: k = ger tiden 8,6 s vilket motsvarar lågstadietävling eller handikapp OS k = ger tiden 3,3 s vilket motsvarar amatör- eller distriktnivå k = ger tiden 8,7 s vilket är s bättre än världsrekordet och anses orimligt b Fenomenet kallas vikningsdistortion och uppstår vid Nyquistfrekvensen f s /. Därför brukar man innan sampling filtera signalen med ett antiviknings/lågpass-filter som tar bort frekvenser högre än f s /. Impulssvaret för ett icke-återkopplat filter är lika med dess koefficienter h(n) = a n, vilket ger -b y(n) = x(n).75y(n ) ger H(z) = z z Det är en tvåpolsresonator med polerna z = ±j, vilket motsvarar vinkelfrekvensen ω = π/. Detta är en dämpad svängning med perioden 4 sampel, vilket stämmer på impulssvar a, c och e. vidare finns ytterligare två tvåpolsfilter: 3 och 4. Dock har polerna i detta största radien vilket ger långsammast avklingning, alltså -c. 3 som ovan men H(z) = z z + vilket ger poler i z = ±j. Samma vinkelfrekvens som filter 3 men snabbare avklingning, vilket stämmer på a och e. Filtret är dock identiskt med filter 4 sånär som på en extra fördröjning. För impulssvaren gäller att e är som a fördröjd ett steg, alltså måste paret bli 3-a 4 Resonemanget ovan ger 4-e 3 4 (6) DT/DT3 Spektrala transformer HT 8

5 3 Samplingsfrekvensen f s kan ses som ett varv kring enhetscirkeln. Då motsvaras Hz av vinkeln π eftersom samplingsfrekvensen är 8 Hz. Villkor. För att DC-nivån inte ska påverkas av filtret sätter man att H(ω) = då z = e. Villkor. En amplitudsänkning med db innebär att log A A = vilket leder till att A A =. =.794 (se formelsamlingen). Alltså ska H(ω) =.794 då z = e ± jπ, Man gör en ansats H(z) = k(z re jπ jπ )(z re ) z = k(z rj)(z+rj) z där k och r är två positiva reella tal. Villkor ger att k ( rj)( + rj) = och alltså blir k = +r Villkor ger att k (j rj)(j + rj) =, 8 och alltså blir k =,8 r De båda ekvationerna för k sätts lika med varandra och man får: +r =,794 r För r < fås: r =, 794 +, 794r ger r =.339 För r > fås: r =, 8 +, 8r ger r =.954 Vi kan alltså välja om vi vill ha nollställena innanför eller utanför enhetscirkeln. Om nollställena ligger innanför enhetscirkeln (r < ) fås en lösning som bättre undantrycker frekvenser kring Hz och därför väljer vi r =.339 (att välja andra lösningen på r ger dock inget poängavdrag), vilket ger att k =, 897. Ur filterschemat: a x[n] + a x[n ] + a 3 x[n ] = y[n] ger att 4 H(z) = a + a z + a 3 z Det ansatta filtret kan skrivas om som k(z rj)(z + rj) z = k(z + r ) z = k + kr z De båda filterekvationerna skall sammanfalla, dvs k + kr z = a + a z + a 3 z vilket ger att a = k =.897, a = och a 3 = kr =.3. Ett FFT-spektrum delar in frekvensskalan från till f s i N frekvenser, motsvarande basfunktionerna i DFT-transformen (se formelsamlingen). Avståndet mellan två närliggande frekvenser i FFT n blir då f s /N. a Signalen y(t) består av frekvenserna 5 Hz och 55 Hz. Avståndet mellan dessa, 5 Hz, måste vara minst lika med f s /N för att de ska kunna studeras separat i spektrum. Alltså: f s /N 5 vilket ger N 3 b Detta uppstår för frekvenser som sammanfaller med DFT s basfunktioner, dvs f = kfs N där k är ett heltal. För att undertrycka sidolober multiplicerar man signalen med en fönsterfunktion som avtar mot intervallets kanter. 5 (6) DT/DT3 Spektrala transformer HT 8

6 Figur 4. Kamfiltrets frekvenssvar då K = 4 och α = i belopp. 5 Överföringsfunktonen blir H(z) = + αz K = zk +α z K. a Sätt in z = e jω vilket ger H(ω) = + αe jωk b Skriv om H(ω) med eulers forlmer: H(ω) = + α cos ωk jα sin ωk Beloppet beräknas med pythagoras sats: H(ω) = Real + Imag = + α + α cos ωk cos-termen varierar mellan - och. Största värdet (cos = ) blir + α. Minsta värdet (cos = ) blir α. Se även figur 4 c H(z) = zk +α har nollställen då z K = α z K α > ger z K = α e jπ e jmπ vilket har rötterna z = α K e jπ(+m)/k där m är ett heltal. Om α < får vi istället z K = α e jmπ vilket har rötterna z = α K e jπm/k och konstant vinkel π/k sinse- I båda fallen ligger rötterna på en cirkel med radien α K mellan, vilket skulle bevisas. 6 (6) DT/DT3 Spektrala transformer HT 8