Signaler några grundbegrepp

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Signaler några grundbegrepp"

Transkript

1 Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett enkelt exempel på ett typiskt signalrekonstruktionsproblem. Exempel 2.1. I figur 2.1 är x(t) en signal som överförs över en kanal (t.ex. en telefonlinje), varvid den vid mottagaren blir förvrängd av systemet F, som representerar överföringskanalen. Dessutom påverkas signalen av ett brus e, som kommer in under överföringen. Vi önskar på basen av den mottagna signalen y(t) rekonstruera den ursprungliga signalen så väl som möjligt. För rekonstruktionen manipuleras signalen y med ett signalbehandlingssystem H. Problemet är att konstruera H så att felet x x r mellan den ursprungliga signalen x och den rekonstruerade signalen x r är möjligast litet. Systemet H kan givetvis vara ett digitalt signalbehandlingssystem av den typ som visas i figur 1.2, varvid den inkluderar A/D- och D/A-omvandlare, samt erforderliga analoga filter. Systemet F antas däremot bestå av ett fysikaliskt system, och är därför kontinuerligt. För att signalrekonstruktionsproblemet skall vara meningsfullt, bör man givetvis ha någon form av information om de ingående systemen (i detta fall F ), och signalerna. Systemet F kan bestämmas genom matematisk modellering av den aktuella fysikaliska processen i överföringskanalen eller genom att utföra identifieringsexperiment. Det är därför realistiskt att anta att systemet F är känt. Om bruset e vore noll, så skulle y = z gälla, och exakt rekonstruktion skulle uppnås med x r = F 1 y, förutsatt att systemet F har en invers som kan realiseras i praktiken. e x F z + + y H x r Figur 2.1: Signalrekonstruktion. 10

2 I praktiken finns det alltid bruskällor som påverkar signaler. I motsats till systemet F, vars inverkan på signalen kan antas vara känd, så kan bruset e inte direkt mätas; det enda man har tillgång till är den utkommande signalen y = z + e. Hur skall då den ursprungliga signalen x kunna bestämmas? Observera att y består av två komponenter: signalkomponenten z = F x och störningskomponenten e. Problemet är således ekvivalent med att separera de två komponenterna från varandra. För att kunna göra detta måste signalkomponenten z och bruset e ha egenskaper som i något avseende är olika och gör det möjligt att skilja komponenterna åt. Lyckligtvis är detta ofta fallet. En audiosignal t.ex. innnehåller frekvenskomponenter under 20 khz, medan brus ofta innehåller komponenter av högre frekvenser. En metod att skilja de två komponenterna åt kunde således bestå av att undersöka frekvenskomponenterna hos signalen y. Exempel 2.1 illustrerar behovet av att representera signaler i en form som t.ex. möjliggör separering av olika signalkomponenter. Detta kan kvantitativt utföras med hjälp av olika signaltransformer. I exemplet skulle rekonstruktionsfelet x x r göras möjligast litet. Felet kan emellertid göras litet på många olika sätt. Vid syntes av ett signalbehandlingssystem måste man besluta sig för ett kvantitativt mått för storleken hos felet x x r. Sådana kvantitativa mått ges av signalnormer. 2.1 Signaltransformer Signaler representeras matematiskt som funktioner x(t) av tiden (analoga signaler) eller som sekvenser {x(k)}, k =..., 1, 0, 1,... (diskreta signaler). Det visar sig att flera problemställningar och manipulationer kan förenklas avsevärt om signalen i stället för att representeras som en funktion av tiden (t respektive k) anges med hjälp av utvecklingar av givna funktioner, dvs x(t) = i c i ϕ i (t) (2.1) respektive x(k) = i c i ϕ i (k), k =..., 1, 0, 1,... (2.2) Om funktionsmängden {ϕ i } är tillräckligt generell, kan koefficienterna c i väljas så att likheterna (2.1) respektive (2.2) gäller för en bred klass av funktioner. Funktionen x(t) (respektive {x(k)}) kan i så fall representeras med hjälp av sekvensen {c i } = {c 0, c 1,..., }. Sekvensen {c i } säges vara en transform av signalen x, och funktionerna ϕ i i utvecklingen är s.k. basfunktioner. Den praktiska betydelsen hos dylika transformer är att representera signalen i en form som förenklar olika signalbehandlingsoperationer eller tolkning av signalen. Transformer är viktiga i flera sammanhang: 11

3 Kompression av data. Antag att vi har en diskret signal med N = 1000 punkter, x(0), x(1),..., x(n 1). Det kan synas som ett naturligt sätt att representera signalen i form av talen i sekvensen, {x(k)}. Emellertid är denna representation inte naturligare än andra. Observera att om vi definierar pulsfunktionerna { 1, om k = i ϕ i (k) = (2.3) 0, om k i så kan sekvensen skrivas i formen x(k) = i x(i)ϕ i (k), k = 0, 1,..., N 1 (2.4) I denna representation är alltså koefficienterna c i = x(i) och det krävs N = 1000 koefficienter för att representera signalen. Men valet av pulsfunktionerna (2.3) är inte naturligare än något annat val av funktioner ϕ i i utvecklingen. Tvärtom kan något annat val funktionerna visa sig naturligare. Om man t.ex. vet att signalen har genererats så att x(k) kan anges som en kombination av polynom av högst tredje ordning, så att x(k) = c 0 + c 1 k + c 2 k 2, k = 0, 1,..., N 1 (2.5) så vore det naturligt att välja basfunktionerna φ 0 (k) = 1, φ 1 (k) = k, φ 2 (k) = k 2 varvid hela sekvensen kan representeras med hjälp av de tre parametrarna c 0, c 1, c 2 i formen x(k) = c 0 φ 0 (k) + c 1 φ 1 (k) + c 2 φ 2 (k), k = 0, 1,..., N Detta möjliggör en avsevärd komprimering av den ursprungliga datamängden bestående av N = 1000 tal. I många sammanhang har man signaler som består av periodiska komponenter som kan uttryckas med hjälp av trigonometriska (sinus- och cosinus-) funktioner. Rena toner i audiosignaler är t.ex. sinusformade signaler. I sådana fall är det naturligt att utveckla signalen med sinus- och cosinusfunktioner som basfunktioner. Beräkning av utsignalen från linjära system. Beräkningen av utsignalen y(t) från ett linjärt system eller filter med insignalen x(t) är en numeriskt krävande operation. Man vet emellertid att om insignalen är en sinusformad signal, sin(ωt), så är utsignalen en annan sinusformad signal med samma frekvens ω, men i allmänhet med en annan amplitud och fas, y(t) = A sin(ωt + φ). Beräkningen av utsignalen blir därför trivial om man representerar signalen x(t) med hjälp av en utvecklingen av formen (2.1) där basfunktionerna ϕ i (t) är sinus- och cosinusfunktioner. Det är således naturligt att karakterisera system med avseende å deras effekt på de olika frekvenskomponenterna hos en signal. Man talar således om lågpassfilter, högpassfilter, bandpassfilter, filter med linjär fasförskjutning, osv. Observera att om systemet F i exempel 2.1 är linjärt, så kan signalen x inte innehålla andra frekvenser än de som finns i z. Systemet dämpar, förstärker och fasförskjuter de olika frekvenserna på olika sätt, men blandar ej ihop skilda frekvenser. 12

4 Tolking av signaler. Utvecklingar av formen (2.1) och (2.2) kan också utnyttjas för att förenkla tolkningen av signaler. Det är t.ex. vanligt med periodiska komponenter i signaler. Sådana kan vara svåra att uppfatta i tidsfunktionen x(t) eller {x(k)}. Om signalen utvecklas med hjälp av sinus- och cosinusfunktioner, framträder periodiska komponenter i signalen klart i form av stora värden för de koefficienter c i i utvecklingen som motsvarar sinus- och cosinusfunktioner med den aktuella perioden. I exempel 2.1 kan en transform av signalen y i periodiska funktioner möjliggöra en separering av komponenterna z och e, ty den intressanta signalen z är i allmänhet en lågfrekvent signal, medan bruset e ofta är högfrekvent. Signalen z beskrivs således av lågfrekventa periodiska signaler och e beskrivs av högfrekventa periodiska signaler. Det finns många olika sätt att utveckla en signal med hjälp av basfunktioner, men det överlägset viktigaste är den som utnyttjar periodiska sinus- och cosinusfunktioner. Såsom framgått ur diskussionen ovan förenklar en sådan utveckling analysen av ett filters inverkan på olika signaler, och är ett oumbärligt verktyg vid syntes av filter. Analysen av en funktions utveckling med hjälp av sinus- och cosinusfunktioner kallas frekvensanalys eller Fourieranalys. En sådan utveckling beskriver direkt frekvensinnehållet hos en signal. Frekvensanalys beskrivs mera detaljerat i kapitel Signalnormer I exempel 2.1 var problemet att rekonstruera signalen x ur den mottagna signalen y = z + e. En signal x r skall alltså beräknas ur y, som approximerar signalen x, dvs rekonstruktionsfelet x x r är möjligast litet. Det finns emellertid flera sätt att mäta storleken hos en signal x x r, och resultatet är beroende av hur signalens storlek definieras. Vid en matematisk representation av en signal x som en funktion x(t) är det naturligt att definiera signalens storlek med hjälp av en norm definierad för funktionen x(t). Normer betecknas med x. De inom signalbehandling vanligaste och mest användbara normerna är L p -normerna, som definieras för kontinuerliga signaler enligt och (för p = ) x p = ( x(t) p dt ) 1/p, p = 1, 2,... (2.6) x = max x(t) (2.7) t L p -normerna karakteriseras av talet p; för små värden på p påverkar alla signalvärden x(t) relativt jämnt till normens storlek, medan stora värden på p ger ökad vikt åt stora signalvärden, med fallet p = som extremfall. Viktiga specialfall av L p -normer är L 1 -normen, x 1 = x(t) dt (2.8) 13

5 samt L 2 -normen, x 2 = ( x(t) 2 dt ) 1/2 (2.9) I synnerhet L 2 -normen är speciellt användbar inom signalbehandlingen. Den visar sig vara enkel att beräkna och har ett antal speciella egenskaper som gör den attraktiv. L 2 -normen bevaras t.ex. vid Fouriertransformen, dvs en signal x(t) och dess Fouriertransform X(ω) har samma L 2 -norm (jämför Parsevals formel, avsnitt och 3.3.1). Detta gör normen enkel att utnyttja i samband med frekvensanalytiska metoder. L 2 - normen har också en naturlig fysikalisk tolkning som energin hos en signal. Detta beror på att den energi E(i) som t.ex. elektrisk ström i(t) förbrukar i ett motstånd R är proportionell mot integralen av strömmens (eller spänningens) kvadrat, E(i) = R i 2 2. För diskreta signaler {x(n)} definieras på ett analogt sätt l p -normerna, x p = ( x(n) p) 1/p, p = 1, 2,... (2.10) n och (för p = ) x = max x(n) (2.11) n Viktiga specialfall av l p -normer är l 1 -normen, x 1 = n x(n) (2.12) samt l 2 -normen, x 2 = ( x(n) 2 ) 1/2 (2.13) I analogi med det kontinuerliga fallet bevaras l 2 -normen vid Fouriertransformen (jämför avsnitt och 4.2.1). 2.3 Komplexa tal, trigonometriska funktioner och komplexa exponentialfunktionen För åskådlighetens skull ger vi en kort sammanfattning över de samband mellan komplexa tal, trigonometriska funktioner och komplexa exponentialfunktionen som utnyttjas inom signalbehandling. Betrakta ett komplext tal z = x + jy (2.14) där j = 1. De komplexa talen kan representeras med hjälp av det komplexa talplanet, som består av en reell talaxel och en imaginär talaxel, jfr figur 2.2. Det komplexa talet z motsvarar då en punkt med koordinaterna (x, y) i det komplexa talplanet (se figur 2.2). Talets magnitud eller absoluta belopp z definieras som avståndet från origo till punkten (x, y). Från figur 2.2 fås enligt Pythagoras sats z = x 2 + y 2 (2.15) 14

6 Im jy θ x = x + jy z z y x Re Figur 2.2: Det komplexa talet z = x + jy i det komplexa talplanet. Om man betecknar vinkeln mellan den reella talaxeln och vektorn från origo till punkten (x, y) med θ, gäller enligt standard trigonometriska samband Kombinering av (2.14) och (2.16) ger x = z cos θ y = z sin θ (2.16) z = z (cos θ + j sin θ) (2.17) Vi skall nedan visa att den komplexa faktorn i uttrycket (2.17) på ett bekvämt sätt kan karakteriseras med hjälp av den komplexa exponentialfunktionen genom att utnyttja Eulers formel e jθ = cos θ + j sin θ (2.18) Från (2.17) och (2.18) fås uttrycket z = z e jθ, θ = arg z (2.19) Representationen (2.19), eller (2.17), av det komplexa talet z kallas polär form. Den polära formen uttrycker det komplexa talet z med hjälp av dess absoluta belopp z och vinkeln θ. Vinkeln θ brukar kallas det komplexa talets argument, och betecknas θ = arg z (2.20) Argumentet hos ett komplext tal kan bestämmas som funktion av de reella och imaginära komponenterna genom att utnyttja sambandet (2.16), från vilket det följer att θ satisfierar tan θ = y (2.21) x 15

7 Eftersom tangent-funktionen har perioden π (dvs tan θ = tan(θ + π)), definierar (2.21) vinkeln θ endast i ett intervall av bredden π, vanligen π/2 < θ < π/2. För att definiera punkten (x, y) bör emellertid argumentet θ kunna bestämmas entydigt i ett intervall av bredden 2π, t.ex. 0 θ < 2π. Speciellt gäller till exempel, att tan θ hos punkterna (x, y) och ( x, y) har samma värde, eftersom y = y. För att bestämma x x argumentet θ entydigt, bör (2.21) kompletteras med information om i vilken kvadrant punkten (x, y) är. Om arctan-funktionen definieras så att den antar värden i intervallet ( π/2, π/2), får vi således arctan y, om x 0 x θ = (2.22) arctan y + π, om x < 0 x Det komplexa konjugatet z till z = x + jy defineras som z = x jy (2.23) Ur definitionen följer att z = z och arg z = arg z (jfr figur 2.2). Det följer att det kompexa konjugatet till z = z e jθ har den polära formen z = z e jθ, θ = arg z (2.24) Den komplexa exponentialfunktionen. Sambandet (2.18) mellan de trigonometriska funktionerna och den komplexa exponentialfunktionen kan härledas på följande sätt. Låt det komplexa talet e jθ ha den reella komponenten u(θ) och den imaginära komponenten jv(θ), e jθ = u(θ) + jv(θ) Komponenterna u(θ) och v(θ) kan bestämmas genom att observera att för θ = 0 gäller vilket ger Derivatan av e jθ ges av Vi har å andra sidan också e j 0 = 1 u(0) = 1, v(0) = 0 de jθ dθ = jejθ = ju(θ) v(θ) de jθ dθ = du(θ) + j dv(θ) dθ dθ varav följer att komponenterna u(θ) och v(θ) satisfierar du(θ) = v(θ), u(0) = 1 dθ dv(θ) = u(θ), v(0) = 0 dθ 16

8 1 = e j(π+2πn) e jθ Im 1 θ j = e j(π/2+2πn) 1 = e j2πn Re j = e j(3π/2+2πn) Figur 2.3: Den komplexa exponentialfunktionen e jθ i det komplexa talplanet. Det ses enkelt att de funktioner som uppfyller dessa samband är Vi har således visat, att u(θ) = cos(θ), v(θ) = sin(θ) e jθ = cos θ + j sin θ (2.25) En alternativ demonstration av sambandet ges i anmärkning 2.1 i slutet av kapitlet. Sambandet (2.25) mellan den komplexa exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna kallas Eulers formel. Omvänt kan de trigonometriska funktionerna cos θ och sin θ uttryckas med hjälp av av den komplexa exponentialfunktionen. Detta åstadkoms genom att observera att e jθ = cos( θ) + j sin( θ) = cos θ j sin θ (2.26) Addition och subtraktion av (2.25) och (2.26) samt lösning i avseende å cos θ respektive sin θ ger de inversa sambanden cos θ = 1 2 (ejθ + e jθ ) (2.27) sin θ = 1 2j (ejθ e jθ ) (2.28) 17

9 Vi skall ännu notera några nyttiga egenskaper hos den komplexa exponentialfunktionen e jθ. Från (2.25) följer e jθ = (cos θ) 2 + (sin θ) 2 = 1 (2.29) arg e jθ = θ (2.30) Den komplexa exponentialfunktionen definierar således alla de komplexa tal som ligger på enhetscirkeln i det komplexa talpanet, jfr figur 2.3. Speciellt gäller att e j 0 = 1 e jπ/2 = j e jπ = 1 e j3π/2 = j Eftersom sinus- och cosinusfunktionerna, och därmed även e jθ, är periodiska med perioden 2π, gäller dessutom e j2πn = 1 e j(π/2+2πn) = j e j(π+2πn) = 1 e j(3π/2+2πn) = j där n är ett godtyckligt heltal, n = 0, ±1, ±2,.... Anmärkning 2.1. Sambandet (2.25) kan också inses på följande sätt. Observera att de trigonometriska funktionerna kan Taylor-serieutvecklas enligt Det följer att cos θ = 1 1 2! θ ! θ4 + ( 1) k 1 (2k)! θ2k + sin θ = θ 1 3! θ ! θ5 + ( 1) k 1 (2k + 1)! θ2k+1 + (2.31) cos θ + j sin θ = 1 1 2! θ ! θ4 ( +j θ 1 3! θ3 + 1 ) 5! θ5 = 1 + jθ + 1 2! (jθ) ! (jθ) ! (jθ) ! (jθ)5 + (2.32) 18

10 Å andra sidan ger en Taylor-serieutveckling av den komplexa exponentialfunktionen e jθ, e jθ = 1 + jθ + 1 2! (jθ) ! (jθ)3 Funktionerna i (2.32) och (2.33) är således identiska ! (jθ) ! (jθ)5 + (2.33) 19

GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen

GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen 26.02013 kursens övningsuppgifter eller gamla tentamensuppgifter, eller Matlab-, Scilab- eller Octave- programmerbara kalkylatorer eller datorer. 1.

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

i(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)

i(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4) 2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2 ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns

Läs mer

Ulrik Söderström 20 Jan Signaler & Signalanalys

Ulrik Söderström 20 Jan Signaler & Signalanalys Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 20 Jan 2009 Signaler & Signalanalys Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt

Läs mer

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,... Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa

Läs mer

Bestäm uttrycken för följande spänningar/strömmar i kretsen, i termer av ( ) in a) Utspänningen vut b) Den totala strömmen i ( ) c) Strömmen () 2

Bestäm uttrycken för följande spänningar/strömmar i kretsen, i termer av ( ) in a) Utspänningen vut b) Den totala strömmen i ( ) c) Strömmen () 2 7 Elektriska kretsar Av: Lasse Alfredsson och Klas Nordberg 7- Nedan finns en krets med resistanser. Då kretsen ansluts till en annan elektrisk krets uppkommer spänningen vin ( t ) och strömmen ( ) Bestäm

Läs mer

Ulrik Söderström 19 Jan Signalanalys

Ulrik Söderström 19 Jan Signalanalys Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 9 Jan 200 Signaler & Signalanalys l Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt

Läs mer

Samtidig visning av alla storheter på 3-fas elnät

Samtidig visning av alla storheter på 3-fas elnät Samtidig visning av alla storheter på 3-fas elnät Med nätanalysatorerna från Qualistar+ serien visas samtliga parametrar på tre-fas elnätet på en färgskärm. idsbaserad visning Qualistar+ visar insignalerna

Läs mer

Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19

Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.

Läs mer

Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys

Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys Frekvensplanet och Bode-diagram Frekvensanalys Signaler Allt inom elektronik går ut på att manipulera signaler genom signalbehandling (Signal Processing). Analog signalbehandling Kretsteori: Nod-analys,

Läs mer

Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3

Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg oktober 009 kl. 4.00-8.00 lokal: Johanneberg Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag okt.

Läs mer

DT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen

DT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen DT Spektrala transformer för Media Tentamen 77 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: 3:9 p, 4: 3 p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare,

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

forts. Kapitel A: Komplexa tal

forts. Kapitel A: Komplexa tal forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab

Läs mer

Tillämpad Fysik Och Elektronik 1

Tillämpad Fysik Och Elektronik 1 FREKVENSSPEKTRUM (FORTS) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 ICKE-PERIODISKA FUNKTIONER Icke- periodiska funktioner kan betraktas som periodiska, med oändlig periodtid P. TILLÄMPAD FYSIK

Läs mer

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den definieras

Läs mer

Sammanfattning TSBB16

Sammanfattning TSBB16 Sammanfattning TSBB16 Frekvensfunktion =H(omega) Kombinationen av amplitud och faskarakteristik är unik. H(ω) = D(ω) e^jψ(ω)=y(t)/x(t). Detta är frekvensfunktionen. H(ω)=utsignal/insignal D(ω) = H(ω).

Läs mer

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

7. Sampling och rekonstruktion av signaler

7. Sampling och rekonstruktion av signaler Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid

Läs mer

Kapitel 3. Approximation av funktioner

Kapitel 3. Approximation av funktioner Kapitel 3. Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner. I allmänhet kan inte ens elementära funktioner såsom sinus- och cosinusfunktionerna

Läs mer

Elteknik. Komplexa tal

Elteknik. Komplexa tal Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa tal Revma utbildning KOMPLEXA TAL Komplexa eller imaginära tal kan användas för algebraiska växelströmsberäkningar på samma sätt som i likströmsläran. Den läsare

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3

Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg 19 oktober 2011 kl. 08.30-12.30 sal: Hörsalsvägen Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 1808 Lösningar: Anslås torsdag

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

FOURIERANALYS En kort introduktion

FOURIERANALYS En kort introduktion FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

AC-kretsar. Växelströmsteori. Lund University / Faculty / Department / Unit / Document / Date

AC-kretsar. Växelströmsteori. Lund University / Faculty / Department / Unit / Document / Date AC-kretsar Växelströmsteori Signaler Konstant signal: Likström och likspänning (DC) Transienta strömmar/spänningar Växelström och växelspänning (AC) Växelström/spänning Växelström alternating current (AC)

Läs mer

Signalanalys med snabb Fouriertransform

Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör

Läs mer

Inledning. Kapitel 1. 1.1 Signaler och system

Inledning. Kapitel 1. 1.1 Signaler och system Kapitel 1 Inledning 1.1 Signaler och system Temat för denna kurs är signaler och system. En kvantitativ behandling av signaler och system och deras växelverkan utgör grunden för den del av informationstekniken

Läs mer

Spektrala Transformer

Spektrala Transformer Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)

Läs mer

Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform

Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att

Läs mer

Signalbehandling, förstärkare och filter F9, MF1016

Signalbehandling, förstärkare och filter F9, MF1016 Signalbehandling, förstärkare och filter F9, MF1016 Signalbehandling, inledning Förstärkning o Varför förstärkning. o Modell för en förstärkare. Inresistans och utresistans o Modell för operationsförstärkaren

Läs mer

Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system

Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering

Läs mer

Datorövning: Fouriertransform med Python

Datorövning: Fouriertransform med Python Datorövning i Elektromagnetism och vågor (FK5019) Övningsledare: bart.pelssers@fysik.su.se & ashraf@fysik.su.se Datorövning: Fouriertransform med Python Skicka in individuellt skrivna rapporter på engelska

Läs mer

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel 070-674590. Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor.

Läs mer

3. Analytiska funktioner.

3. Analytiska funktioner. 33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL

Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska

Läs mer

Ellära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 5

Ellära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 5 Ellära och Elektronik Moment A-nät Föreläsning 5 Visardiagram Impendans jω-metoden Komplex effekt, effekttriangeln Visardiagram Om man tar projektionen på y- axeln av en roterande visare får man en sinusformad

Läs mer

Ellära 2, Tema 3. Ville Jalkanen Tillämpad fysik och elektronik, UmU. 1

Ellära 2, Tema 3. Ville Jalkanen Tillämpad fysik och elektronik, UmU. 1 Ellära 2, ema 3 Ville Jalkanen illämpad fysik och elektronik, UmU ville.jalkanen@umu.se 1 Innehåll Periodiska signaler Storlek, frekvens,... Filter Överföringsfunktion, belopp och fas, gränsfrekvens ville.jalkanen@umu.se

Läs mer

10. Kretsar med långsamt varierande ström

10. Kretsar med långsamt varierande ström 1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera

Läs mer

Komplexa tal. z 2 = a

Komplexa tal. z 2 = a Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Signal- och bildbehandling TSBB03

Signal- och bildbehandling TSBB03 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: 2004-06-0 kl. 8-2 Lokaler: Garnisonen Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 9.00 och 0.45. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa,

Läs mer

Spektrala Transformer

Spektrala Transformer Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Växelström K O M P E N D I U M 2 ELEKTRO

Växelström K O M P E N D I U M 2 ELEKTRO MEÅ NIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Sverker Johansson Johan Pålsson 999-09- Rev.0 Växelström K O M P E N D I M ELEKTRO INNEHÅLL. ALLMÄNT OM LIK- OCH VÄXELSPÄNNINGAR.... SAMBANDET MELLAN STRÖM

Läs mer

DT1130 Spektrala transformer Tentamen

DT1130 Spektrala transformer Tentamen DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Föreläsning 9. Absolutstabilitet Föreläsning 9 Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras

Läs mer

Signaler & Signalanalys

Signaler & Signalanalys Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se Jan 8 Signaler & Signalanals Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt enkla

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Igenkänning av bilddata med hjälp av Kohonen-nätverk, samt beskrivning av program

Igenkänning av bilddata med hjälp av Kohonen-nätverk, samt beskrivning av program Igenkänning av bilddata med hjälp av Kohonen-nätverk, samt beskrivning av program Jerker Björkqvist September 2001 1 Introduktion I detta arbete undersökts hur klassificering av bilddata kan göras med

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 1 den 21 oktober 2008 klockan 8:00 13:00

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 1 den 21 oktober 2008 klockan 8:00 13:00 Tentamen i Elektronik, ESS00, del den oktober 008 klockan 8:00 :00 Tekniska Högskolan i Lund Institutionen för Elektrovetenskap Tentamen i Elektronik, ESS00, del den oktober 008 klockan 8:00 :00 Uppgifterna

Läs mer

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 = MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna

Läs mer

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 hp, FK4009 Torsdagen den 21 augusti 2008 kl 9-15

FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 hp, FK4009 Torsdagen den 21 augusti 2008 kl 9-15 FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 hp, FK4009 Torsdagen den 1 augusti 008 kl 9-15 Hjälpmedel: handbok och räknare. Varje uppgift ger maximalt 4 poäng. Var

Läs mer

Signalbehandling. Andreas Fhager

Signalbehandling. Andreas Fhager Signalbehandling Andreas Fhager andreas.1ager@chalmers.se Innehåll Modellering av fysiskt fenomen Analoga/digitala signaler Nervsignaler Periodiska funkboner/fourierserie Frekvensspektrum Filter Faltning

Läs mer

Svängningar och frekvenser

Svängningar och frekvenser Svängningar och frekvenser Vågekvationen för böjvågor Vågekvationen för böjvågor i balkar såväl som plattor härleds med hjälp av elastiska linjens ekvation. Den skiljer sig från de ovanstående genom att

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Tentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30

Tentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30 Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20

Läs mer

Växelström i frekvensdomän [5.2]

Växelström i frekvensdomän [5.2] Föreläsning 7 Hambley avsnitt 5.-4 Tidsharmoniska (sinusformade) signaler är oerhört betydelsefulla inom de flesta typer av kommunikationssystem. adio, T, mobiltelefoner, kabel-t, bredband till datorer

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 26, 2015 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Diskreta signaler och system

Diskreta signaler och system Kapitel 7 Diskreta signaler och system I detta kapitel diskuteras grundläggande teori för diskreta signaler och system. För diskreta signaler introduceras z-transformen, som ligger som grund för representationen

Läs mer

Diskret representation av kontinuerliga signaler

Diskret representation av kontinuerliga signaler Kapitel 6 Diskret representation av kontinuerliga signaler I digital signalbehandling är det vanligt att en kontinuerlig signal representeras i form av en diskret sekvens, t.ex. för att överföras eller

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer