AC-kretsar. Växelströmsteori. Lund University / Faculty / Department / Unit / Document / Date

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "AC-kretsar. Växelströmsteori. Lund University / Faculty / Department / Unit / Document / Date"

Sebastian Lucas Sandberg
för 8 år sedan
Visningar:

1 AC-kretsar Växelströmsteori

2 Signaler Konstant signal: Likström och likspänning (DC) Transienta strömmar/spänningar Växelström och växelspänning (AC)

3 Växelström/spänning Växelström alternating current (AC) Varför sinussignal? Enkel att generera från en roterande generator. Enkel att hantera matematiskt» Är fortfarande en sinussignal efter derivering eller integrering» Är enkel att omvandla till det komplexa talplanet» Alla andra signaler går att skapa genom att summera ihop en specifik uppsättning sinussignaler (s.k. Fourier-serier)

4 Växelström/spänning Fyrkant-våg: Triangel-våg: Sinus-våg: x(t) = sin µ 2¼ T t ; 0 < t 6 T

5 Växelström/spänning Sinusvåg karakteriseras fullständigt av tre parametrar: ' A Amplitud, frekvens och fas. T f = 1 T s(t) = A sin (!t + ') ;! = 2¼ f

6 Växelström/spänning Spänningen/strömmen i ett visst tidsögonblick definieras av: Momentanvärdet: [V], [A], [W],... Amplituden: [V], [A], [W],... Periodtiden: Frekvens: Vinkelfrekvens: Fasvinkel: eller s(t) A = j max fs(t)gj T [s] )! = 2¼f [rad=s] '[rad] '[ ± ] f = 1 T [Hz]

7 Växelström/spänning Effekten som utvecklas i ett motstånd då man låter en växelström flyta genom det p(t) = u2 (t) R Medeleffekten över en period är: P avg = E T T = 1 T R T 0 p(t)dt

8 Växelström/spänning Beräknar man medeleffekten i motståndet får man: P avg = 1 T R T 0 u 2 (t) R dt = µq 1 T R T 0 u2 (t)dt R 2 = U2 rms R Vid beräkning av medeleffekter så används alltid effektivvärdet ( root mean square, rms-värdet) av spänning och ström. När man mäter växelspänning och växel-ström med en multimeter, så visas alltid effektiv-värdet.

9 Växelström/spänning Rms-spänning beräknas till: U rms = q 1 T R T 0 u2 (t)dt Så för en sinussignal får vi: q R T U rms = 0 (A sin(!t + '))2 dt = A 1 T q 1 T R T 0 sin2 (!t + ')dt = A p 2 Exempel: Spänningen 220 V i vägguttaget är en rmsspänning. Dvs. Amplituden är 311 V.

10 Växelström/spänning OBS!! Att, U rms = A p 2, gäller endast för sinusvågor. För en fyrkantvåg så är effektivvärdet, För en triangelvåg är effektivvärdet, U rms = A U rms = A p 3

11 Fas-vektorer (Phasors) Om man antar att frekvensen är given, och man är endast intresserad av steady-state. För att förenkla beskrivningen av sinussignaler så beskriver man dem ofta som en amplitud och fasvinkel: A 6 ' En storhet som har storlek kallas för: skalär En storhet som har storlek och riktning: vektor En storhet som har storlek och flera riktningar: tensor Ett annat sätt att beskriva A 6 ' z = x + jy = Ae j' = A 6 ' är med komplexa tal:

12 Fas-vektorer (Phasors) Eftersom, så kan vi beskriva A 6 ' i det komplexa tal-planet där j = p 1 Vi vet också att och så Från detta får vi då att z = x + jy = Ae j' = A 6 ' x = Acos (') y = A sin (') z = x + jy = A(cos (') + j sin (')) = Ae j'

13 Fas-vektorer (Phasors) Det betyder att vi kan skriva: Men eftersom Ae j' består av en storlek och en riktning så kan vi skriva det som en vektor. A Ae j' e j!t = Ae j!t är signalens komplexa fas-vektor (phasor)

14 j! -metoden Vid induktans är spänningen: u L (t) = di(t) dt Om vi har strömmen i(t) = I sin (!t + ') kan vi skriva om den som i(t) = I e j!t. Spänningen över induktansen blir då: u L = L di(t) dt = L d (Ie j!t ) dt U = j!l I = j!l Ie j!t = Ue j!t

15 j! -metoden Detta kan man skriva om som: U = j!li ) U I = j!l U Men förhållandet I är lika med elektriskt motstånd, så är spolens elektriska växelströms-motstånd och kallas induktiv reaktans: j!l U I = jx L(!); X L (!) =!L [ ]

16 j! -metoden Om vi nu utför samma härledning för strömmen genom en kondensator: i C (t) = du(t) dt Så får vi fram den kapacitiva reaktansen: I = j!cu ) U I = 1 j!c = j 1!C U I = jx C(!); X C (!) = 1!C [ ]

17 j! -metoden Reaktanser är imaginära tal och eftersom den imaginära tallinjen är vriden 90 grader från den reella tallinjen så betyder j och +j en -90 grader och +90 grader fasskillnad mellan spänning och ström. Spole: spänning är +90 från strömmen Kondensator: spänning är -90 från strömmen

18 j! -metoden Om vi kombinerar reell resistans med imaginär reaktans: Z(!) = R + j (X L X C ) = R + j!l 1!C Z(!) kallas Impedans, och är det komplexa växelströmsmotståndet. U I = Z [ ]

19 j! -metoden Sammanfattning: Fördelar: Nackdelar: Man slipper ekvationer med derivator, vilket förenklar avsevärt vid komplicerade kretsar. Alla komponenter behandlas som motstånd. Medel-effekten i kretsen beräknas på samma sätt som vid DC. Fungerar endast för en sinussignal. Fungerar endast vid steady-state signaler Frekvensen får inte ändra sig under analysen

20 j! -metoden j! transformen: ds(t) dt! j!s(!) Vid andra signaler än sinus, används Fourier-transformen istället. S(!) = R 1 1 s(t)e j!t dt Vid icke-stationära signaler, används Laplace-transformen (s-transformen). F(s) = R 1 1 f(t)e st dt; s = ¾ + j!

21 j! metoden vid kretsanalys Om vi har en krets, beräkna strömmen: L=0.3 H 100 cos(500t + 30 ) R = 100 Ω Först omvandla till impedanser: C = 40 µf X L =!L = 2¼fL = 500 0:3 = 150 X C = 1!C = = 50 6

22 j! metoden vid kretsanalys Skriv om spänningen på komplex form: Beräkna strömmen: U = ± I = U Z = U R+jX L jx C = ± 100+j150 j50 = p 30 ± = p ± 2 15 ± Omvandla tillbaka till reella värden: i(t) = 1 p 2 cos (!t 15 ± )

23 j! metoden vid kretsanalys Beräkna spänningen över motståndet: U R = R 100 R+jX L jx C U = 100+j150 j ± = = 1 p ± ± = 100 p ± u R (t) = 100 p 2 cos (!t 15 ± )

Relevanta dokument

Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar

Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar Spolen och kondensatorn motverkar förändringar, tex vid inkoppling eller urkoppling av en källa till en krets. Hur går det då om källan avger en sinusformad