Fö 2 - TMEI01 Elkraftteknik Trefas effektberäkningar

Transkript

1 Fö 2 - TMEI01 Elkraftteknik Trefas effektberäkningar Per Öberg 16 januari 2015

2 Outline 1 Trefaseffekt 2 Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor 3 Beräkningsexempel Beräkningsexempel 1.22d 5 Faskompensering 6 Beräkningsexempel Mätning av effekt

3 Trefaseffekt: Y-koppling Betrakta en symmetrisk Y-koppling (lika stora laster i varje gren) Linjeström = Fasström P Y /3 Ū F L 1 Ī L1 L 2 Ī L2 L 3 Ī L3 En tredjedel av effekten utvecklas i varje resistans/kretselement Spänningen över lasterna är fas-spänningen U F Strömmen genom lasterna är linjeströmmen I L,Y P Y,3fas = 3 U F I L,Y cos(ϕ) = 3 U H I L cos(ϕ)

4 Trefaseffekt: D-koppling Betrakta en symmetrisk D-koppling (lika stora laster i varje gren) L 1 Ī L Ū H Ī Ū H L 2 Ū H L 3 P.s.s. som för Y-koppling utvecklas en tredjedel av effekten i varje gren Spänningen över lasterna är huvud-spänning U H Strömmen genom lasterna är fasströmmen I P,3fas = 3 U H I cos(ϕ) = 3 U H IL 3 cos(ϕ) = 3 U H I L cos(ϕ) Slutsats: Trefaseffekten för både Y- och D-kopplingar skrivs P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ)

5 Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor Effektbegrepp - (vad är egentligen komplex effekt?) Momentan effekt skrivs: p(t) = u(t) i(t) = û sin(ωt) î sin(ωt ϕ) P = Aktiv effekt, dvs medelvärdet av den momentant utvecklade effekten Vi har att P = U I cos(ϕ). Härledning: P = T 1 T p(t)dt = û î T sin(ωt) [sin(ωt) cos(ϕ) cos(ωt) sin(ϕ)] dt = 0 T / 0 T / sin(ωt) cos(ωt) = 0 = û î T 0 T cos(ϕ) sin 2 (ωt)dt = û î T 0 T cos(ϕ) 1 cos(2ωt) dt = 0 2 û î T2 cos(ϕ) = û î cos(ϕ) = U I cos(ϕ) T 2 2 Q = Reaktiv effekt, en hjälpstorhet som håller reda på effekt som flödar fram och tillbaka S = P + j Q - Komplex effekt Komplex effekt P är medelvärde, Q - mängden som flödar fram och tillbaka, S - den skenbara effekten

6 Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor Betrakta en krets bestående av en spänningskälla, Ū = 1 V, och en komplex last = j 0.6, dvs Ī = 1 A, ϕ 37. Den momentana effekten är p(t) = u(t) i(t) = û sin(ωt) î sin(ωt ϕ) = 2 sin(ωt) sin(ωt 37 ) = /Se t.ex. härledning ovan/ = p A (t) + p R (t) p A (t) = cos(ϕ) (1 cos(2ωt)) p R (t) = sin(ϕ) sin(2ωt) Notera: cos och sin är fasförskjutna 90 = vi representerar P och Q som visare med 90 vinkelskillnad. Power Motsvarar reaktiv effekt Motsvarar skenbar effekt Motsvarar aktiv effekt Angle [deg] Momentan Aktiv Reaktiv

7 Trefaseffekt: Sammanfattning Total aktiv effekt: P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ) W reaktiv effekt: Q 3fas = 3 U H I L sin(ϕ) VAr skenbar effekt: S 3fas = 3 U H I L VA Im S Q Alternativ: Antag att = R +j X P Re P 3fas = 3 R I 2 Q 3fas = 3 X I 2 S 3fas = 3 I 2

8 Beräkningsexempel 1.7 Till ett symmetriskt trefassystem med huvudspänningen 220 V anslutes via korta ledningar en Y-kopplad last med impedanserna = 6 + j 8 [Ω] Ū 1 Ū 1 L 1 Ī L1 Beräkna: a) Linjeströmmen I L i varje fas Ū 2 L 2 Ī L2 b) Den i lasten utvecklade effekten P Ū 3 L 3 Ī L3 c) Effektfaktorn cos(ϕ)

9 Beräkningsexempel 1.7 Givet: Ū 1 Ū 1 L 1 Ū 2 L 2 Ī L1 Ī L2 = 6 + j 8 Ω Z = 10, dvs 345-triangel U H = 220 V U F = 127 V Symmetrisk last Ū 3 L 3 Ī L3 Sökt: a) I L, b) P 3fas,Q 3fas,S 3fas, c) cos(ϕ) Lösning: a) I L = U F = U H/ 3 R2 + X = 220/ 3 = 12.7 A 2 10 b) P 3fas = 3 R I 2 L P 3fas = = 2903 W c) Q 3fas = 3 X IL 2 Q 3fas = = 3871 VAr S 3fas = P3fas 2 + Q2 3fas = 4839 VA (alt.s 3fas = 3 Z I 2 ) cos(ϕ) = P 3fas S =

10 Beräkningsexempel 1.7 Alternativ lösning: a) Lös på samma sätt c) och b) P 3fas = S 3fas cos(ϕ), med / S 3fas = 3 U F I L = U F = U / H = 3 U H I L 3 ( ) X ϕ = arctan = 53.1 cos(ϕ) = 0.6 R P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ) = = 2903 W

11 Beräkningsexempel 1.22 d Till ett 380/220 V, 50Hz nät anslutes följande: Mellan fas och nolledaren en resistans på 44 Ω. Mellan fas 2 och nolledaren en spole med induktansen 0,0955 H och cos(ϕ) = 0, 8 ind. Mellan fas 3 och nolledaren en resistans på 30 Ω och en kondensator med kapacitansen 79,6 µf Uppgifter: L 1 Ī L1 1 a) Beräkna linjeströmmarna L 2 Ī L2 2 d) Beräkna den från nätet uttagna totala aktiva och reaktiva effekten L 3 N Ī L3 Ī 0 3

12 Beräkningsexempel 1.22d a) I L,1 = 5 A; I L,2 = 4, 4 A; I L,3 = 4, 4 A (från Fö 1) d) Beräkna totala aktiva och reaktiva effekten från nätet (Observera att I och Ī betecknar samma sak) P Tot = R 1 I R 2 I R 3 I 2 3 = = = = = 2.5 kw Q Tot = ωl Ī2 2 1 ωc Ī 3 2 = = = = 194VAr

13 Faskompensering Strömvärmeförluster dimensionerar den maximala överföringskapaciteten hos t.ex. en ledare eller transformator. Dessa beror på strömmens storlek. För ett visst effektbehov hos slutkunden (Aktiv effekt) är det därför önskvärt att minimera den reaktiva effekten så att strömmens storlek minimeras. (Vi har ju P = U I cos(ϕ)) Enligt tidigare svenska normer gällde att Q 0.75P. Man brukar säga att induktanser förbrukar reaktiv effekt medan kapacitanser genererar kapacitiv effekt. Följaktligen har vi Kapacitans: Q < 0, (Vi har ju = j ωc Induktans: Q > 0 för en kapacitans) (Om tecknen känns konstiga: Notera att P > 0 oftast betyder att effekt förbrukas i en last)

14 Faskompensering Faskompensering För att minska den reaktiva effekten hos en förbrukare kan effekten genereras på plats. Detta kallas faskompensering. När man vill påverka cos(ϕ) används parallellkopplade kondensatorer, eller shunt-kondensatorer. När man vill förbättra spänningsfallet hos en ledare används serie-kondensatorer.

15 Faskompensering: Exempel på parallellkopplad kondensator Före kompensering Efter kompensering Im Im S Q ind. S Q kond. Q ind. P cos(ϕ) = 0.8 Re P Re Induktiv last Kondensator Induktiv last Parallellkopplad kondensator Vid parallellkoppling påverkas inte den aktiva effektförbrukningen P eftersom spänningen över den induktiva lasten är densamma

16 Beräkningsexempel 5.8 I en maskinanläggning som matas från ett 50Hz, 380 V trefasnät förbrukas 80 kw. De drivande maskinernas resulterande effektfaktor är 0,72 ind. Parallellt med dessa finns också installerat ett kondensatorbatteri bestående av tre lika stora D-kopplade kondensatorer på vardera 480 µf. Man vill sätta in ytterligare en maskin som kommer att kräva en effekt på 14 kw och med effektfaktorn 0,6 ind. Hur stor ström kommer anläggningen att dra från nätet och vad blir effektfaktorn för hela anläggningen? U H = 380 V f = 50 Hz Förenklat ritsätt Ī L P 1 = 80 kw cos(ϕ) = 0.72ind. L 1 L 2 L 3 P 2 = 14 kw cos(ϕ) = 0.6ind. Faktiskt koppling P 3 = 0 C = 480 µf D-koppl.

17 Beräkningsexempel 5.8 Givet: P 1, P 2, U H, o.s.v. (se figur) Sökt: Beräkna I L och cos(ϕ Tot ) Lösning: Vi har att P Tot,3fas = P 1 + P 2 + P 3 = = = 94 kw U H = 380 V f = 50 Hz Förenklat ritsätt Q Tot,3fas = Q 1 + Q 2 + Q 3 = sin(ϕ 1) Q 1 = P 1 cos(ϕ = 80 2 = 77.1 kvar 1) 0.72 sin(ϕ 2) 0.8 Q 2 = P 2 = 14 = kvar cos(ϕ 2) 0.6 L 1 L 2 L 3 Ī L Faktiskt koppling Q 3 = 3 U 2 H ωc = π = 65.3 kvar = kvar = 30.6 kvar S Tot,3fas = PTot,3fas 2 + Q2 Tot,3fas = 98.8 kvar Vi får därför S = 3 U F I L I L = S Tot,3fas 3 UH cos(ϕ Tot ) = P Tot,3fas S Tot,3fas = = ind. = 150 A och P 1 = 80 kw cos(ϕ) = 0.72ind. P 2 = 14 kw cos(ϕ) = 0.6ind. P 3 = 0 C = 480 µf D-koppl.

18 Mätning av effekt: Tvåwattmetermetoden Trick för att slippa 3 wattmetrar - 3 wattmerar, en för varje fas, fungerar alltid! - 1 wattmeter räcker om lasten är symmetrisk. (Vi kan ju multiplicera med 3) Metoden fungerar även i osymmetriskt belastade system vid allmän kurvform (dvs även vid icke-sinus). Kräver att nolledare saknas i systemet. Härledning: Kom ihåg definitionen av momentan effekt p(t) = u(t) i(t). För tre faser har vi p 3fas (t) = u 1 i 1 + u 2 i 2 + u 3 i 3 = /Vilket kan skrivas som/ = = (u 1 u 2 ) i 1 + (u 3 u 2 ) i 3 + u 2 (i 1 + i 2 + i 3 ) }{{}}{{}}{{} u 12 u 32 =0 om nolla saknas = u 12 i 1 + u 32 i 3 =

19 Mätning av effekt: Tvåwattmetermetoden L 1 Ī 1 Ū 12 P I 3-fas Last cos ϕ L 2 P I = U 12 I 1 cos(30 + ϕ) P II = U 32 I 3 cos(30 ϕ) P I + P II = U H I L (cos(ϕ) cos(30 ) sin(ϕ) sin(30 )+ L 3 Ū 32 + cos(ϕ) cos(30 ) + sin(ϕ) cos(30 ) ) = = 3 U H I L cos(ϕ) = P 3fas P II P I = = U H I L sin(ϕ) = Q 3fas 3 tan(ϕ) = Q 3fas = 3 PII P I P 3fas P II + P I Överkurs: Vid användning av tvåwattmeter-metoden kan ibland P I eller P II bli negativt. Alla wattmetrar kan inte hantera detta utan visar siffror utan tecken. Ibland måste därför tecknet på P I eller P II kastas om för att få rätt värden. Ī 3 P II