Andra ordningens kretsar

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Andra ordningens kretsar"

Mats Danielsson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Andra ordningens kretsar Svängningskretsar

2 LCR-seriekrets U L (t) U s U c (t) U R (t) L di(t) dt + Ri(t) + 1 C R t0 i(t)dt + u c (0) = U s

3 LCR-seriekrets För att undvika integralen i ekvationen, så deriverar vi båda sidorna: d 2 i(t) dt 2 + R L di(t) dt + LC 1 i(t) = L 1 du s dt Resultatet blir en andra ordningens differential-ekvation. Från fysiken så vet vi att ett svängande system har en ekvation enligt: d 2 x(t) dt dx(t) dt +! 2 0x(t) = f(t)

4 LCR-seriekrets Jämför man de två ekvationerna får man fram koefficienterna Systemets odämpade egenfrekvens! 0 = 1 p LC Dämpningskonstanten = R L Drivande signalen i systemet f(t) = 1 L du s dt

5 LCR-seriekrets Homogen lösning av diff-ekvationen ger den karakteristiska ekvationen: s 2 + R L s + 1 LC = 0! 0 Man beräknar också förhållandet mellan och : ³ =! 0 = R 2 qc L

6 LCR-seriekrets Det finns tre lösningar på det homogena systemet: Överdämpat system (³ 1) i h (t) = K 1 e s1t + K 2 e s 2t Kritiskt dämpat system Svagt dämpat system (³ = 1) i h (t) = (K 1 + K 2 t)e s 1t (³ 1) Komplexa rötter s 1 = + j! 0 ; s 2 = j! 0 i h (t) = K 1 e t cos(! 0 t) + K 2 e t sin(! 0 t)

7 LCR-seriekrets System-svar: En viktig metod för att få fram hur systemet uppför sig är Steg-svaret. Man lägger på en steg-funktion på ingången till kretsen I fallet med LCR-seriekretsen så lägger vi på en stegspänning, dvs. att spänningen går från noll volt till U s volt vid en viss tidpunkt.

8 LCR-seriekrets Stegsvar för LCR-seriekrets Snabb stigtid är önskvärd ³ > 1 : C > 4L R 2 ³ = 1 : C = 4L R 2 ³ < 1 : C < 4L R 2

9 LCR-seriekrets Uppförandet i ett LCR-nätverk bestäms av dämpningskonstantsomen anger hur snabbt den lagrade energin försvinner som värme i motståndet R Självsvängningarna är möjliga pga det finns två energilagrande komponenter i kretsen

10 LCR-seriekrets Olika dämpningskonstanter

11 LCR-seriekrets Både överstyrning och självsvänging kan vara skadligt för en krets, och kan orsaka att en signal feltolkas. Så man får kompromissa mellan snabb stigtid och säker funktion

12 LCR-parallellkrets KCL: Skriv ner nod-ekvationen i L (t) i R (t) i C (t) I s C du(t) dt + 1 R u(t) + 1 L R t0 u(t)dt + i L (0) = i s (t)

13 LCR-parallellkrets För att undvika integralen i ekvationen, så deriverar vi båda sidorna: d 2 u(t) dt 2 + RC 1 du(t) dt + LC 1 u(t) = C 1 di s dt Resultatet blir en andra ordningens differential-ekvation. Egenfrekvensen är densamma som för seriekretsen:! 0 = 1 p LC Dämpningskonstant: = 1 2RC Drivande signal: f(t) = 1 C di s Dämpningsförhållandet: dt q ³ =! 0 = 1 2R L C

14 LCR-parallellkrets Stegsvar för LCR-seriekrets Snabb stigtid är önskvärd ³ > 1 : C > L 4R 2 ³ = 1 : C = L 4R 2 ³ < 1 : C < L 4R 2

15 LC-Oscillatorer Genom att LCR-parallell krets vid överstyrning endast släpper igenom växelströmmar med frekvensen! 0 Detta kan man använda för att generera sinusvågor av en viss frekvens bestämd av f = 1 2¼ q 1 LC

16 LC-oscillator Ett exempel på en oscillator som genererar sinussignaler är en Hartley-oscillator:

17 Lab 3: Integrerande RC-nät Eftersom spänningen över kondensatorn är integralen av strömmen, så kommer inga snabba förändringar av strömmen att påverka utsignalen. Endast långsamma förändringar slipper igenom integratorn.

18 Lab 3: Integrerande RL-nät Då spolens ström är integralen av spänningen över spolen, så kommer endast långsamma förändringar i strömmen att passera spolen.

19 Integrerande RC- och RL-nät Om endast långsamma förändringar i signalen går igenom nätet, så betyder det att för periodiska signaler passerar endast signaler med låg frekvens. Detta kallas då för ett lågpass-filter.

20 Lab 3: Deriverande RC-nät Enligt KVL så är v(t) + u c (t) + u R (t) = 0. Eftersom spånningen över kondensatorn endast kan ändras långsamt så kommer alla snabba förändringar att hamna över motståndet R, dvs på utgången. Kretsen kallas deriverande pga, i(t) = dv c(t) dt

21 Lab 3: Deriverande RL-nät Strömmen som flyter genom spolen kan inte ändras snabbt eftersom spolen måste bygga upp ett magnetfält. Så för ett kort tid vid förändringar fungerar spolen som ett avbrott vilket betyder att snabba förändringar i signalen kommer att ligga som utsignal.

22 Lab 3: Deriverande RC- och RL-nät Då deriverande nät släpper igenom snabbt varierande signaler, men inte långsamma så betyder det att vid periodiska signaler går endast signaler med hög frekvens igenom. Så deriverande kretsnät är så kallade högpassfilter.

Relevanta dokument

Sammanfattning av kursen ETIA01 Elektronik för D, Del 1 (föreläsning 1-10)

Sammanfattning av kursen ETIA0 Elektronik för D, Del (föreläsning -0) Kapitel : sid 37 Definitioner om vad laddning, spänning, ström, effekt och energi är och vad dess enheterna är: Laddningsmängd q mäts