10. Kretsar med långsamt varierande ström

Transkript

1 . Kretsar med långsamt varierande ström För en normalstor krets kan vi med andra ord använda drivande spänningar med frekvenser upp till 7 Hz, förutsatt att analysen sker med de metoder som vi nu kommer att behandla. [RMC] Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund. Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.3.. Villkor för långsamt varierande.2. Transient och stationärt beteende I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar med långsamt varierande ström. En ström är långsamt varierande om den inte ger upphov till signifikanta energiförluster p.g.a. strålning. Detta villkor är ekvivalent med att kräva att kretsens linjära dimension L är mycket mindre än våglängden λ i vakuum för den drivande spänningens vinkelfrekvens ω i enheter av /s): Då en krets kopplas till en periodisk eller konstant spänning uppkommer en varierande transient ström, som så småningom stabiliseras till en periodisk eller konstant ström. Detta stabila tillstånd kalls också stationärt eng. steady state). Vi kommer i det följande att behandla transient beteende i kretsar med konstant drivande spänning och stationärt beteende för harmoniska drivande spänningar. L λ = 2π ω c c ν.) där ν är frekvensen i enheter av hertz Hz). Om vi använder L = λ/ som villkor, får vi följande linjära maximidimensioner: Frekvens Hz) λ/ m) AM) 3 6 3, 6 FM, TV), 3 9 mobiltelefoni), 3 mikrovågor), 3 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.2 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.4

2 .3. Transient beteende för konstanta drivspänningar Tidskonstanten för denna krets är alltså Vi granskar nu det transienta beteendet hos några elementära kretsar, som drivs av en konstant spänning..3.. RL-krets t c = L R.3.2. RLC-krets.8) Kirchhoffs II lag ger E + V = RI.2) Kirchhoffs II lag: V = RI + LI t) + Q C = RI + LI t) + C där vi betecknat I t) = di/dt. dtit).9) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.5 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.7 Lösningen till denna differentialekvation är där I är en konstant. V = RI + L di dt Vid starten t = t sluts kretsen, så It = t ) = : Detta ger.3) It) = V R I e t/l/r) V R I e t/tc.4) = V R I e t /tc.5) I = V R et /tc.6) Derivera en gång med avseende på tiden: eftersom spänningen är konstant. Vi får Lösningen är där dv dt = RI t) + LI t) + I C =.) It) = I t) + R L I t) + LC I =.) Ae iωt + Be iωt) e t/2l/r).2) ω = LC R2.3) 4L 2 så att vi får Vi bör nu ta reda på värdet på de komplexvärda) konstanterna A, B. It) = V R [ e t t )/tc ].7) Vid t = gäller It = ) = : = A + B = B = A.4) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.6 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.8

3 så att It) = A e iωt e iωt) e t/2l/r) = A2i sinωt)e t/2l/r).5) Strömmen är reell, så A måste vara imaginär. Definiera D = 2Ai så att vi får It) = D sinωt)e t/2l/r).6) D är fortfarande okänd. För att bestämma det återgår vi till det ursprungliga uttrycket för V, vilket ger: V = RIt) + LI t) + C dtit).7) Då t = gäller I = så man får med att derivera It) som just bestämts ovan: så att V = LI t) = LDω cosωt) sinωt) 2L/R )e t/2l/r) = LDω.8) t=.4. Stationärt beteende för harmoniska drivspänningar Vi granskar nu det stationära beteendet hos några elementära kretsar, som drivs av en harmonisk sinusoidal) spänning. I dylika räkningar är det mycket enklare att räkna med komplexvärda spänningar och strömmar, eftersom de trigonometriska funktionerna då ersätts med exponentialfunktioner, som är lättare att manipulera. Om vi använder den drivande spänningen får vi ut en komplexvärd ström V t) = V e iωt.2) It) = I e iωt.22) För att få den fysikaliska strömmen måste vi först besluta om vår fysikaliska spänning är real- eller imaginärdelen av V e iωt. Om vi väljer imaginärdelen har vi D = V ωl = V L/C R2 /4.9) V P t) = Im[V t)] = V sinωt).23) Vi måste nu göra samma val för att få den fysikaliska strömmen: Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.9 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund. Vi har nu fått en oskillerande krets, trots att den drivande spänningen är konstant. Dock avtar amplituden med tiden, så denna oskillation dör bort efter några tidskonstanter t c. Denna är I P t) = Im[It)].24) t c = 2L R.2) Oftast väljer man att V är reell, men detta betyder inte att I är det. I själva verket inkorporerar man en eventuell fasförskjutning mellan spänning och ström i den komplexa konstanten I..4.. RLC-krets Kirchhoffs II lag: Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund. Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.2

4 Derivera med avseende på t: V = RI + LI t) + C dtit).25) Strömmen är nu It) = V t) Z = V t) Z e iφ = V Z eiωt iφ.33) dv dt = RI t) + LI t) + I C.26) Den verkliga strömmen är Detta ger nu iωv e iωt = iωri e iωt ω 2 LI e iωt + I C eiωt.27) där vi har skrivit strömmen som It) = I e iωt. I P t) = Im[It)] = Im[ V t) Z ] = V Z Im[eiωt φ) ] = V sinωt φ).34) Z Dividera nu med iωe iωt : V = R + iωl + iωc )I ZI.28) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.3 I denna krets kommer strömmen att variera harmoniskt, så att den är före eller efter spänningen, beroende på tecknet för fasvinkeln φ. Låt oss se hur resistansen, induktansen och kapacitansen kan påverka strömmens styrka var för sig. Vi har ju Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.5 där Z kallas impedans. För denna seriekopplade krets har vi att Z = R + iωl i ωc R + ix L + X C ).29) där X L är den induktiva reaktansen och X C den kapacitiva reaktansen. X L = ωl X C /ωc) = ω2 /LC) Från detta får vi två huvudsakliga asymptotiska fall: ) Om X L X C så gäller ω / LC och.35) Impedansen kan alltid skrivas Z R 2 + ω 2 L 2.36) Z Z e iφ.3) tan φ ωl R.37) där Z är impedansens storlek och φ en fasförskjutning. a) Om nu R ωl så gäller ω R/L och Det gäller i detta fall ur grundläggande komplexalgebra att Z = R 2 + tan φ = ωl ωc R ωl ) 2.3) ωc.32) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.4 Z ωl.38) tan φ φ π/2.39) I det här fallet ges strömmens amplitud alltså av V /ωl). Om vinkelfrekvensen är tillräckligt stor men så att den uppfyller villkoret för långsamt varierande ström) så blir strömmen liten. Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.6

5 b) Om istället R ωl så gäller ω R/L och Z R.4) tan φ φ.4) I P t) = V R sinω Rt).49) Strömmen ser alltså ut som strömmen i en ren R-krets, och spänning och strömmen sägs vara i resonans. 2) Om X L X C så gäller ω / LC och Z tan φ ωrc R 2 + /ω 2 C 2 ).42).43) 2 a) Om nu R /ωc) så gäller ω /RC) och Z /ωc).44) tan φ φ π/2.45) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.7 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.9 Strömmens amplitud blir nu ωcv, d.v.s. ju större kapacitans och vinkelfrekvens vi använder, desto starkare blir strömmen..5. Serie- och parallellkoppling av impedanser 2 b) Om istället R /ωc) så gäller ω /RC) och I föegående sektion fick vi att för en krets där R, L, C är kopplade i serie kan den drivande spänningen skrivas Z R.46) tan φ φ.47) Resonans Om den drivande spänningen har en sådan vinkelfrekvens ω R att φ =, kommer ström och spänning att vara i fas fall b och 2b ovan). Detta betyder att Z = R så att: V = V e iωt = ZI e iωt = ZI = R + iωl + iωc )I Z R + Z L + Z C )I.5) ω R = LC.48) eftersom R, L, C är i serie. Detta ger Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.8 Vi har ni visat att impedanserna för en resistor, induktor och kondensator är Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.2

6 Exempel : R och C parallellkopplade. Bestäm strömmarna. Z R = R.5) Z L = iωl.52) Z C = iωc = i ωc.53) Impedansen för en seriekoppling av N impedanser är alltså Z = N Z i.54) i= Kirchhoffs II lag: Om impedanserna är kopplade parallellt så har vi att spänningen över dem är densamma, V i = V j, så att där V t) = V e iωt = RI t) = C dti 2 t).59) Men totalströmmen är V = V i = V j Z i I i = Z j I j.55) Vi får It) = I t) + I 2 t).6) I = V Z = I i + I j = V + ) Z i Z j.56) I t) = V R eiωt.6) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.2 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.23 så att och Z = + ) Z i Z j Impedansen för en parallellkoppling av N impedanser ges alltså av uttrycket.57) Derivera med avseende på tiden: V e iωt = C dti 2 t).62) Z = N i= Z i.58) Vi får iωv e iωt = C I 2t).63) Totala strömmen är I 2 t) = iωcv e iωt = ωcv e iωt+π/2).64) It) = V R + ωceiπ/2 ) e iωt.65) Om den fysikaliska drivspänningen är V t) P = V sinωt) fås nu strömmarna I,P t) = V /R) sinωt).66) I 2,P t) = ωcv sinωt + π/2).67) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.22 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.24

7 Med ν = Hz, R = Ω, C = 6 F och V = V fås följande graf:.6. Effektfaktor.5. I I 2 I total Den momentana effekt som konsumeras av en belastning eng. load) eller belastande komponent/krets i en växelströmskrets är Strom A) P t) = I P t)v P t).68) -. För en harmonisk drivande spänning gäller jfr. ekvationerna.23 och.34): Fas, t P t) = V I sinωt) sinωt φ).69) Observera att denna effekt kan vara både positiv och negativ. Negativ effekt betyder att kretsen ger effekt tillbaka till spänningskällan. Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.25 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.27 Om kapacitansen höjs med en faktor till C = 5 F:.5..5 Strom A). -.5 I I 2 I total Momentan effekt, Pt)/V I ) = - 9 = - 6 = - 3 = Fas, t Momentan effekt, Pt)/V I ) = = 3 = 6 = Fas, t -. Tidsmedelvärdet över en period T = /ν = 2π/ω är Fas, t P t) = V I T T T = V I T = V I T dt sinωt) sinωt φ) dt sinωt)sinωt) cos φ cosωt) sin φ) cos φ T ) T dt sin 2 ωt) sin φ dt sinωt) cosωt) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.26 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.28

8 = V I T cos φ T = V I T T cos φ dt sin 2 ωt) dt sin 2 ωt) sin φ 2ω sin2 ωt) = 2 V I cos φ.7) eftersom sinωt ) = sin2πνt ) = sin2π) =. Den trigonometriska integralen kan lättast utföras genom att skriva om sinωt) med exponentialfunktioner. I ekvationen ovan kallas cos φ för effekt-faktorn. Observera att formeln ovan gäller endast för sinusoidala drivspänningar och strömmar. t=t t= ) I rms = I 2.75) Den konsumerade effekten är maximal om impedansen är en ren resistans, eller om spänningen och strömmen är i resonans p.g.a. lämplig kombination av induktiv och kapacitiv reaktans. I båda fallen fås φ =. För att effekten i en ström berör på fasskillnaden φ mellan V och I, och denna inte alltid är lätt att bestämma i praktiska fall, använder man i praktiskt bruk ofta också enheten VA volt-ampere) för att beskriva växelström. Denna storhet, som betecknas helt enkelt VA, definieras som V A = V rms I rms.76) och är alltså lika med effekten P endast ifall φ =. Oftast anges VA som kilo-va och betecknas KVA notera det stora K :et!) Skillnaden mellan effekt och VA är alltså effektfaktorn och definieras i praktiskt bruk som P F = P V A.77) Uppenbart gäller att P F = cos φ.78) [ Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.29 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.3 Exempel : För en RLC-krets där resistansen dominerar över reaktansen gäller Om den induktiva reaktansen dominerar: P t) = 2 V 2 R cos = 2 V 2 R P t) = 2 V 2 Om den kapacitiva reaktansen dominerar fås igen p.g.a. fasvinkeln..7) ωl cos π 2 =.72) Exempel : Typiskt används KVA i reservströmkällor som UPS:ar uninterrupted power source ). För att tillverkaren av dessa omöjligen kan i förväg veta vad fasfaktorn i maskinerna som UPS:en kopplas till är, anger de gärna istället kapaciteten som KVA, som alltså anger hur mycket effekt UPS:en ger ifall den kopplas till ett rent resistiv system med φ =. För alla andra fall ges mindre effekt, och användaren måste veta sin effektfaktor för att veta UPS:ens kapacitet. Vanlig nätström i Finland anges ju ha spänningen 22 V. Detta är i själva verket just rms-spänningen, maximispänningen är alltså högre, ung. 3 V. Man definierar också effektiv- eller rms-värden för spänning V eff och ström I eff så att rms är förkortning för root-mean-square. Ekvationen ovan ger P t) = 2 V I cos φ = V rms I rms cos φ.73) V rms = V 2.74) Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.3 Elektrodynamik, vt 23, Kai Nordlund.32