Sven-Bertil Kronkvist. Elteknik. Komplexa metoden j -metoden. Revma utbildning

Transkript

1 Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa metoden j -metoden evma utbildning

2 KOMPEXA METODEN Avsnittet handlar om hur växelströmsproblem kan lösas med komplexa metoden, jω - eller symboliska metoden som den också kallas. Komplexa kretsberäkningar mpedans i seriekretsar Betrakta den induktiva seriekretsen med tillhörande impedanstriangel inplacerad i det komplexa talplanet. Benämningen, jω - metoden Både den induktiva och kapacitiva serieimpedansen kan således representeras av visare i det komplexa talplanet, med en reell komposant, (Ω, och en imaginär komposant, jx respektive (-jx, där X 2 π f och X 2 π f j-axeln Vinkelhastigheten ( 2πf brukar anges med den grekiska bokstaven omega, ( ω 2πf. nförs detta skrivsätt i de komplexa reaktansuttrycken ser de ut så här: j X jω ( j X ( j ω j ω e-axeln Av bilden framgår att impedansen kan skrivas som ett komplext tal: j X På motsvarande sätt kan en kapacitiv serieimpedans anges som ett komplext tal: De induktiva och kapacitiva reaktansuttrycken får därav ett utseende som förklarar benämningen jω-metoden. jx jω ( j X ( j X e-axeln För en -seriekretsen nedan tecknas den komplexa impedansen, när ω införs, så här: jω X j-axeln X X (-j-axeln X X e-axeln

3 Ström och spänning i seriekretsar Bilden visar en induktiv seriekrets ansluten till en spänningskälla och kretsens spänningstriangel inlagd i det komplexa talplanet. För en kapacitiv seriekrets ser motsvarande samband ut så här: j-axeln e-axeln jω jω Sambandet mellan den pålagda spänningen och delspänningarna och kan därvid anges i komplex form: j (. utgör realdelen med och i fas. (. jω är den imaginära delen med fasförskjutna 90º före. Eftersom multiplikation med ( j medför 90º posistiv fasvridning i det komplexa talplanet kan sambandet mellan spänningar skrivas så här: jω Divideras båda leden med känner vi igen högerledet som den induktiva seriekretsens impedans. jω Exempel Bestäm impedansen, strömmen och delspänningen för den induktiva kretsen. jω 68 j ,Ω 00 tanϕ ϕ 55,8 68 Eftersom division är enklast i polär form utför vi strömberäkningen i denna form efter omvandling. Spänningen tilldelas därvid vinkeln 0º j 00 20, 55, ( 0 558, 92, 558, º 20, 2

4 Strömmen är,92a och ligger 55,8º efter spänningen ur fasvinkelsynpunkt, men det går också att säga att spänningen ligger 55,8º före strömmen om man önskar ange som referens. Delspänningen Med som referens (,92A 0º blir uppställningen så här: jω, 92 0º 00 90º, ( 0º 90º 92 90º jω Delspänningen är 92V och ligger 90º före mpedans och ström i parallellkretsar Exempel Härled ett impedansuttryck för i kretsar enligt föregående bild. Beräkna därefter och vinkelargumentet. tgå från jω jω jω jω jω jω jω jω jω jω jω Beräkning av storlek och vinkel görs efter omvandling till polär form. j00 68 j º ( 90º 55, 8º 2 55,º , 2Ω 34, 2º Exempel Beräkna för kretsen ovan jω ,, 68 j00 j 34 23, j, 34, j23, j j , 23, 4, A, tanϕ 23 ϕ 34,º 34, 3

5 Exempel Beräkna,,, och S i kretsen nedan vid frekvensen f 600kHz. Delströmmen j 2π j8,8 8,8mA och ligger 90º före eftersom multiplikation med j innebär 90º positiv fasförskjutning. Delströmmen S mpedansen Jämför uppställningen nedan med beräkning av två parallellkopplade resistanser. ( jω ( jω Hyfsa impedansuttrycket så att nämnare och täljare får en real- och en imaginärdel. 2 jω ( ω jω där ω 2π f Sätter man in de ritningen angivna värdena kan efter omvandling till polär form beräknas till 30Ω 42º. S S jω 0 S 3 00 j 2π , 0 0 0º ,º ( 0º 75,º 25,6 75, º S är 25,6mA och ligger 75,º efter. Av de visade exemplen kan konstateras att komplexa växelströmsberäkningar kan göras på samma sätt som likströmsberäkningar. Strömmen 0 0º 30 42º 0 30 ( 0º 42º 8,8mA och ligger 42º efter spänningen 4

6 Komplexa effektberäkningar På samma sätt som impedans-, spänningsoch strömtrianglar, kan också effekttrianglar placeras i det komplexa talplanet j-axeln Effektsambanden kan därmed också skrivas som en komplex ekvation. S P j Q e-axeln Exempel Beräkna den skenbara effekten S och cos ϕ i kretsen här under. SAMMANFATTNNG. Växelströmsberäkningar med komplexa metoden, jω-metoden, görs som vid likströmsberäkningar. 2. Allmänt gäller att. har därvid olika utseende beroende på den aktuella kretsen. Enbart resistans Enbart induktans j X eller jω Enbart kapacitans - j X eller jω -seriekrets j X jω -seriekrets ( j X -seriekrets j X - (-j X jω - jω -parallellkrets jx jx jω Betecknas de två grenarnas skenbara effekter med S respektive S 2 kan följande uppställning göras. S ( P j Q ( P2 j Q2 ( 20 j 35 ( 5 j 0 S S S2 S S 25 j S ,2VA P P2 25 cosϕ 0,85 S 29,2 3. Vid beräkning av serie- och parallellkopplade komplexa impedanser görs på samma sätt som vid serie- och parallellkoppling av resistanser i likströmskretsar. Seriekopplad komplex impedans n Parallellkopplad komplex impedans n 5

7 Två parallellkopplade komplexa impedanser. 6. Bestäm om 230V vid a 50Hz? b 500Hz? c 5kHz? Vid komplex effektberäkning gäller S P j Q S P j (Q Q 7. Bestäm om 230V vid a 50Hz? b 500Hz? c 5kHz? ÖVNNGSPPGFTE. Beräkna spolens komplexa reaktans vid frekvensen a 300Hz? b 600Hz? c 6kHz? 2. Beräkna kondensatorns komplexa reaktans vid frekvensen a 50Hz? b 500Hz? c5khz? 8. Beräkna vid f khz för en seriekrets bestående av,0kω, 0,0μF,,2kΩ och 2,2H 9. Beräkna strömmen genom en seriekrets bestående av 80Ω och 0,5μF 330Ω och 47mH vid en påtryckt spänning av 24,0V och f 2kHz. 0. ita en seriersonanskrets med, och. Härled därefter ett allmänt uttryck för beräkning av resonansfrekvensen f Hur stor är kretsens komplexa impedans vid f khz?. Beräkna,,, och 4. Bestäm,, och om f 60Hz. 2. Beräkna,,,, och 5. Bestäm,, och om f 50Hz. 3. Beräkna, och 6

8 b f 500Hz; 55 j34ω eller 39 80,º (Ω; 0,72 80,º (A c f 5000Hz; 55 j342 (Ω eller ,0º (Ω; 73 89,0º (ma 4. Beräkna och 7 a f 50Hz; 55 - j3830ω eller ,9º (Ω; Ι 7,2 89,9º (ma b f 500Hz; 55 - j383 (Ω eller ,0º (Ω; 72,3 89,0º (ma c f 5000Hz; 55 - j38 (Ω eller ,0º (Ω; ,2º (ma 8 f khz - jx jx eller FAT KOMPEXA METODEN a jω. j. 2πf. j37,7ω b jω. j. 2πf. j75,4ω b jω. j. 2πf. j754ω 2 a b c j20 (Ω eller t ex 776 5º (Ω j26,5 (Ω. 0,35 0º. 50 7,5V. (-jx 0,35 0º. 26,5 90º 9,3 90º (V. 0,35 0º. 56,6-27,9º 9,8-27,9º (V 5 4 j3, (Ω eller 5, 38,º (Ω 4 0º (V 3, 90º (V 5, 38,º (V 6 a f 50Hz; 55 j3,4ω eller 63,3 29,7º (Ω; Ι 3,6 29,9º (A j j j209 (Ω eller 4,6-43,5º (Ω 9 f 2kHz - jx jx 50 j60 (Ω eller 53,5 6,7º (Ω 46,7-6,7º (ma 0 esonans inträffar då imaginärdelen är noll,37-90º (A ; 4,8 90º (A 3,4 90º (A ; j4 (Ω 2 2,4 0º (Ω ;,37-90º (A ; 4,8 90º (A ; 4,2 55º (A ;,5-53º (Ω 7

9 ( j ( j 2, 2 5, 3 ( Ω 24 0 ( A 57, , º,, ( j ( j 46, 9 3, 9 ( Ω 24 0 ( A 05, , º,, 5 S P jq P jq jq 2 2 Q Q 2 cos 08, sin 06, P 24, sinϕ Q 06, 8, kvar cosϕ 08, cos 06, sin 08, P2 6, sinϕ2 Q2 08, 2, kvar cosϕ 06, 2 S 24, j8, 6, j2, j2, S 4 j8, S 44, kva S S 44, kva 9, 9A 220V 8