Ellära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 5

Transkript

1 Ellära och Elektronik Moment A-nät Föreläsning 5 Visardiagram Impendans jω-metoden Komplex effekt, effekttriangeln Visardiagram Om man tar projektionen på y- axeln av en roterande visare får man en sinusformad signal. ägger man till ytterligare en visare som roterar före eller efter den andra får man en sinussignal som är fasförskjuten i förhållande till den första signalen. 2

2 sin epetition: definition av sinus y ϕ y vertikal koordinat cosϕ tanϕ x y x horisontell koordinat vektorns lutning ϕ x Tangens är definierat för -π < ϕ < π För ϕ > π använd arctan ( ϕ - 2π ) arctanϕ 3 Sinusformade strömmar och spänningar kan representeras av roterande visare. otationen tillför ingen information utan det viktiga är övriga fasvinklar i förhållande till en referensfas. Visardiagram 4 2

3 Komplex representation Visardiagram kan beskrivas med komplexa tal. Beteckningen j används i ellära för att inte blanda ihop strömmen med den imaginära enheten. ektangulär form Z a+jb Polär form Z ϕ e jϕ bim{z} Kan skrivas som naturlig logarimt eftersom deriveringsreglerna är identiska. Im Z ϕarg Z Z ae{z} e 5 Impendans Impendansen (komplex form) beskriver både reaktansen och fasförskjutningen. Z X ϕ För våra tre huvudkomponenter får vi: î û uˆ iˆ U I î uˆ X iˆ iˆ ω û uˆ ωi ˆ X ˆ i U I U jωi jω û î 6 3

4 Impendans Seriekoppling av impendanser Z tot Z + Z Z N Analogi med seriekoppling av resistanser 7 Impendans Parallellkoppling av impendanser /Z tot / Z + / Z / Z N Analogi med parallellkoppling av resistanser 8 4

5 jω-metoden Exempel från tentamen Figuren beskriver en krets med en induktiv last i serie med en resistiv last kopplat parallellt med en kondensator. a) Vad är strömmen och spänningen U in. Strömmen I genom resistorn och dess frekvensen f är kända. b) Beräkna aktiv effekt P, reaktiv effekt Q, skenbar effekt S och effektfaktorn cos ϕ för hela kretsen. 2 Ω 0,65 mf,0 mh I 3,0 A (effektivvärde) f 00/2π Hz Uin Iin I 9 jω-metoden - iktfas Vi vet att: Vinkelfrekvensen ω 2πf 00 rad/s. Komponentvärden. U in I Vi kan beräkna impendanser Strömmen I 3 A. Välj strömmen som riktfas, dvs ϕ I 0 0 5

6 jω-metoden - Ohms lag Spänningsfallet över resistansen är U I 6 V. Strömmen I går även genom induktansen. Spänningsfallet över induktansen är U I jω j0,3v. U in U är alltså fasförskjuten π/2 radianer före spänningen U I jω-metoden - Spänningsdelning Spänningen U in är summan av U och U dvs U in 6,0 + j0,3 V. I polära koordinater blir I U in 6,0e j0,050 U in V. Spänningen U in är identisk med spänningen U över kondensatorn. 2 6

7 jω-metoden - Ström Strömmen genom kondensatorn är I Uin jω ju in ω U in I j 3 ( 6,0 + j0,3) 00 0,65 0-0,095 + j0,39 A I polära koordinater blir I 0,390e j,62 A. 3 jω-metoden - Strömdelning Den totala strömmen in i kretsen är I + I 3,0 + (-0,095+j0,39) 2,9805+j0,39 A I polära koordinater 3,006e j0,3 A. U in I 4 7

8 jω-metoden - Alternativ beräkning För kretsen gäller: U in 6,0e j0,050 V. 3,006e j0,3 A. Vad blir impendansen? U in I Z U in / (6,0/3,006)e j(0,050-0,3),999e -j0,080 Ω Stämmer det? 5 jω-metoden - Impendans Beräkna impendansen med parallellkoppling. Z X (X + ) Z jω jω ( jω + ) ( jω + ) ( + jω) ( + jω) + jω jω + jω + jω jω + 2 ( ω + jω) 6 8

9 Z jω-metoden - Impendans ( + jω) 2 ( ω + jω) 3 ( 2 + j 00,0 0 ) ( 00,0 0 0, j ,65 0 ) ( 2 + j0,) 3 ( 6,5 0 + j0,3) j0,050 ( 2,002e ) j0,30 (,002e ),999e ( 2 + j0,) ( 0, j0,3) j0,080 Det stämmer!! 7 Komplex effekt ite mer avancerade lösningsmetoder 8 9

10 Komplex effekt Exempel från tentamen Figuren beskriver en krets med en induktiv last i serie med en resistiv last kopplat parallellt med en kondensator. a) Vad är strömmen och spänningen U in. Strömmen I genom resistorn och dess frekvensen f är kända. b) Beräkna aktiv effekt P, reaktiv effekt Q, skenbar effekt S och effektfaktorn cos ϕ för hela kretsen. 2 Ω 0,65 mf,0 mh I 3,0 A (effektivvärde) f 00/2π Hz Uin Iin I 9 Komplex effekt - Polära storheter För kretsen gäller enligt uppg a: U in 6,0e j0,050 V 3,006e j0,3 A Z,999e -j0,080 Ω U in I 20 0

11 Komplex effekt - Komplexkonjugat Den komplexa effekten definieras S U in * * betyder komplexkonjugat U in Komplexa effekten blir 6,0e j0,050 3,006e-j0,3 8,06e -j0,080 W. Komplexkonjugat är (a+jb)* (a-jb) Kan även skrivas 8-j,446 W. I 2 Komplex effekt - Skenbar effekt Om vi bara mäter upp effektivvärdena U in 6,0 V & 3,006 A och beräknar effekten med I P U in så erhålls värdet 8,06 VA. Denna storhet kallas skenbar effekt. U in Den skenbara effekten är absolutvärdet av den komplexa effekten och betecknas S. 22

12 Komplex effekt - Aktiv effekt Effekten genom resistansen blir I W. Detta är den aktiva effekten eller den effekt som verkligen erhålls i kretsen. U in Den aktiva effekten är realdelen av den komplexa effekten P e{s} 8 W. I 23 Komplex effekt - eaktiv effekt Imaginärdelen av den komplexa effekten kallas reaktiv effekt. U in Den reaktiva effekten pendlar mellan spolen och kondensatorn och gör ingen nytta. Q Im{S} -,45 VAr I 24 2

13 Komplex effekt - Effekttriangel Den komplexa effekten kan illustreras med ϕ en effekttriangel. P Den aktiva effekten beräknas ur P UI cosϕ där UI är skenbar effekt och cosϕ ofta kallas effektfaktorn. Motorer märks ofta med en effektfaktor. Här är cosϕ P/ S 8/8,06 0,997 S Q 25 Komplex effekt För uppgiften gällde U in 6,0 V, 3,006 A, Z,999e -j0,080 Ω Vinkeln ϕ blir arg{z} -0,080 rad. Vi kan kontrollräkna P U in cosϕ 8 W Q U in sinϕ -,45 VAr S U in 8,06 VA cosϕ 0,997 Det stämmer!! 26 3