Referens :: Komplexa tal version
|
|
- Mona Danielsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer av typen E:ekv4komplexatal x = 0 x 2 = 1 (1) Denna ekvation är olöslig om man bara känner till de reella talen. Vi ser ju att ekvationen leder till att vi måste hitta tal sådana att dess kvadrat blir negativ. Om x är reellt tal så gäller ju att x 2 0 vilket betyder att vi måste hitta en ny typ av tal för att kunna lösa (??). Man använder sin fantasi (Eng: imagination) och definierar därför den imaginära 1 enheten i som det tal som uppfyller E:i i = 1 vilket ska tolkas som att i 2 = 1 (2) och därigenom har man fått en lösning till (??). Mha denna imaginära enhet så kan man sedan vidga vårt talsystem enligt vad vi säger i följande Definition av komplexa tal. Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen z = x + iy, där x, y R och i 2 = 1. x kallas för realdelen till z, Re z = x och y kallas för imaginärdelen till z och betecknas Im z = y. Notera att den imaginära enheten inte är en del av imaginärdelen. Imaginärdelen är det som står tillsammans med i men inte i själv. Mängden av alla komplexa tal skriver vi som C = {z : z = x + iy, x, y R} Notera att denna definition är utvidgning av de reella talen eftersom de reella talen är de komplexa tal vars imaginärdel y är noll. Exempel 1. Låt z = 5 + 3i då har vi att ex:realochimaginardel Re z = 5, och Im z = 3 Notera alltså att imaginär delen inte är 3i, vilket man lätt leds att tro när man stöter på komplexa tal för första gången. Komplexa tal i Elkretsteknik Komplexa tal har som vi såg ett ursprung i matematikens önskan att kunna lösa alla typer av polynomekvationer, något som möjligen endast tilltalar matematiker. Man kan därför lätt få uppfattningen att komplexa tal ska vara något abstrakt och oandvändbart. Men faktum är att komplexat tal dyker upp i en mängd tillämpningar. Inte minst inom Elektricitetsläran och speciellt inom elkretsteknik så används komplexa tal flitigt. 1 I den matematiska traditionen så är det naturligt att beteckna den imaginära enheten med i. I Elektrisk Kretsteori däremot, där man i följer traditionerna i Elektromagnetisk teori och betecknar elektrisk ström med i så betecknar man den imaginära enheten istället med j för att slippa risken för förväxling. 1
2 Ohms lag, impedans och admittans Ohmś lag uttrycker sambandet mellan spänning och ström genom en ren resistans: u(t) = i(t) R, där u(t) är spänningen, i(t) är strömmen och R resistansen. För en spole med ren induktans L och en kondensator med kapacistans C har vi i stället de respektive sambanden u L (t) = L i (t) i(t) = Cu C(t). Sambanden involverar alltså ett beroende av spänningen eller strömmens derivator när det gäller spolar och kondensatorer. Men, genom att introducera komplexa tal och använda dem för att modellera spänningar och strömmar kan man beskriva alla tre fallen i ovan på ett gemensamt sätt som direkt påminner oss om Ohmś lag u(t) = i(t) Z, där Z är kretskomponentens impedans. Impedansen är ett komplext tal som beror av spänning och strömsignalernas vinkelfrekvens dω och vi har Byt R mot Z i Ohm s lag så får vi denna. Z = R(ω) +j X(ω), resistans reaktans Impedansen för våra tre kretskomponenter modelleras enligt De fyra räknesätten Z = R + j 0 = R när vi har en ren resistans Z = 0 + j ωl = jωl ren induktans Z = 0 j 1 ωc = j 1 när vi har en ren kapacitans ωc För komplexa tal gäller samma räkneregler som för reella tal. Det är i princip att räkna precis som vanligt bara man kommer ihåg göra bytet i 2 = 1 varje gång i 2 dyker upp. Addition, subtraktion: Låt z = x + iy och w = u + iv vara två komplexa tal. Då adderas/subtraheras de på följande sätt: z + w = (x + iy) + (u + iv) = x + u + i(y + v), z w = (x + iy) (u + iv) = x u + i(y v) dvs realdel och imaginärdel adderas/subtraheras för sig. Multiplikation: Två komplexa tal multipliceras: z w = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i 2 yv = xu yv + i(xv + yu). Observera att vi använde i 2 = 1 i den sista likheten! Division: Vid division handlar det ofta att skriva om ett bråk så att bråket har ett reellt tal i nämnaren i stället för ett komplext. Låt oss se hur vi gör i fallet z/w: z w = x + iy (x + iy)(u iv) xu + yv + i(yu xv) = = u + iv (u + iv)(u iv) u 2 + v 2, m.a.o. vi förlänger med vad vi kommer kalla för konjugatet till w = u+iv, dvs med w = u iv. Konjugatet är viktigt och vi behandlar detta i nästa avsnitt. Exempel 2. Förenkla följande uttryck: 3 + 2i (1 i)(2 + i): ex:summaprodukt 3 + 2i [2 + i 2i i 2 ] = 3 + 2i [3 i] = 3i = i = 1 2
3 z c Mikael Forsberg 4 februari 2013 Exempel 3. Förenkla kvoten 3+i 2 i : ex: 3 + i 2 i = =5+5i {}}{ (3 + i)(2 + i) (2 i)(2 + i) } {{ } =4+1 = 1 + i Exempel 4. I den elektriska kretsteorin arbetar man även med den så kallade admittansen Y ex:admittans som definieras som Y = 1 Z = 1 R + jx = R jx (R + jx)(r jx) = R R 2 + X 2 j =G X R 2 + X 2 = B = G + jb, där vi använt oss av konjugattricket vi använde vid division. G kallas komponentens konduktans och B dess suseptans Konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal Vi definierade konjugatet z till ett komplext tal z = x + iy genom z = x iy. Geometriskt är detta en spegling av z i den reella axeln, dvs x-axeln. Se figur 1. y z = x + iy x _ z = x - iy Figur 1: Komplexa konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal Absolutbeloppet eller bara beloppet z av ett komplext tal är längden av sträckan mellan origo och vårt tal. I figur?? ser vi att vi kan använda Pythagoras sats och få följande uttryck för beloppet: Vi noterar också att z 2 = x 2 + y 2. x 2 + y 2 = (x + iy)(x iy) = z z, och detta blir utgångspunkten för definitionen: Beloppet till det komplexa talet z = x+iy definieras som z = z z, 3
4 z = x + iy= r ( cos φ + isin φ ) r = z y = r sin φ φ x = r cos φ Figur 2: Rektangulär och polär beskrivning av komplexa tal Räkneregler för konjugat och belopp Räkneregler för konjugat: 1. (z + w) = z + w 2. zw = zw 3. z w = z w 4. z = z Räkneregler för absolutbelopp: 1. z 2 = zz 2. zw = z w 3. z w = z w 4. z = z Rektangulära och polära koordinater Det finns framförallt två olika sätt att beskriva komplexa tal; på rektangulär form och på polär form. Den rektangulära formen är den beskrivning vi hittills använt. Den polära formen går ut på att beskriva ett komplext tal mha avståndet till origo samt med den vinkel som linjen mellan origo och det komplexa talet bildar till den reella axeln. Detta illustreras i följande figur I figur två ser vi att vi kan gå mellan de två olika representationerna: Från rektangulär till polär beskrivning: Utgångspunkten är här ett komplext tal på formen z = x + iy och vi vill beskriva z mha beloppet och vinkeln ϕ. Vi kan utnyttja vår triangeltrigonometri och få z = x 2 + y 2 ϕ = arctan( y x ) 4
5 Exempel 5. Skriv det komplexa talet z = 3 + i på polär form. Vi har att beloppet blir ex:rektopol z = ( 3) = = 4 = 2 För argumentet så har vi att tan ϕ = 1 3 = ϕ = arctan 1 3 = π/6 = 30 På miniräknaren står arctan som tan 1 Från polär beskrivning till rektangulär beskrivning: Här ges ett komplext tal mha absolutbelopp z och en vinkel ϕ och vi vill återfå vår rektangulära beskrivining. Vi har att x och y kan uttryckas mha z och ϕ på följande sätt: x = r cos ϕ y = r sin ϕ Då gäller att z = r(cos ϕ + i sin ϕ), som är vår polära form. Men detta ska ses som en formel för att överföra från polär till rektangulär form: sätter vi in den aktuella radien r och det aktuella argumentet ϕ och utför räkningarna så har vi ett tal på rektangulär form Exempel 6. Ett komplext tal z har absolutbelopp r = z = 3 och argument ϕ = 30 = π/6rad. ex:poltorekt Beräkna talets rektangulära uttryck. Vi har att z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = 3(cos π/6 +i sin π/6) = 3 2 ( 3 + i) =1/2 = 3/2 Polär form och exponentialfunktionen I komplex analys visar man att exponentialfunktionen kan vidgas så att den gäller för komplexa tal, dvs så att e z har betydelse för z C och att de vanliga räknereglerna för exponentialfunktionen fortsätter att gälla. Detta innebär att för z = x + iy så ger potensräknereglerna att e z = e x+iy = e x e iy. Den sista faktorn e iy är speciellt intressant eftersom man också kan visa likheten e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ Vi kan nu skriva ett komplext tal z = x + iy som z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e iϕ, som är mycket trevligt att räkna med tack vare exponentialfunktionens många räkneregler. En viktig observation är också att beloppet av e iϕ är lika med ett, tack vare den s.k. trigonometriska ettan : e iϕ 2 = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ i sin ϕ) = = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ + i(sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ) = =sin ϕ cos ϕ =0 = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 5
6 c rr R b γ=α+β r α a β Figur 3: Geometrisk tolkning av komplex multiplikation: När de två komplexa talen a = re iα och b = Re iβ multipliceras som får man ett nytt komplext tal, betecknat med c = r Re i(α+β). c s belopp är produkten av a s och b s belopp. Argumentet för c är summan av a s och b s argument. Geometrisk tolkning av multiplikation av komplexa tal Låt oss betrakta två komplexa tal a och b och låt dem vara givna på polär form: a = re α b = Re β Multiplicerar vi dessa tal så får vi ett nytt komplext tal, c säg, och för detta gäller c = ab = re iα r 2 e iβ = r 1 r 2 e i(α+β) Eftersom vi har den trigonometriska ettan så har vi att c = rr γ = α + β, dvs produktens vinkel är summan av faktorernas vinklar och produktens belopp är produkten av faktorernas belopp! Vi illustrerar detta i figur 3. Exempel 7. För reella tal har vi att roten ur x, x, där x > 0 är det positiva tal a som ex:rotenavkomplext ta har egenskapen att a 2 = x. Vi ska nu använda den geometriska tolkningen av multiplikation med komplexa tal för att ge en idé om vad roten ur ett komplext tal ska vara. Om a = z så måste gälla att a 2 = z. Detta betyder att a 2 har samma belopp och samma argument som z. Tar vi beloppet av båda led i likheten a 2 = z så har vi att a 2 = a 2 = z. Dtenna ekvation handlar om de ickenegativa reella talen a och z och våra kunskaper om den reella roten ger oss att a = z. För argumentet så har vi att argumentet för a 2 är lika med argumentet för z och tack vare tolkningen av produkten av två komplexa tal så har vi att arg a 2 = arg a+arg a = 2 arg a vilket alltså ger att 2 arg a = arg z, dvs arg a = 1 2 arg z. Sammanfattar vi detta så har vi att roten ur ett komplext tal är ett tal vars argument är hälften av talets argument och har ett belopp som är roten ur talets belopp. a 2 = z = z = a = z e (i arg z)/2 6
7 Exempel 8. Ett exempel på föregående exempel: Beräkna i. Vi har att i = 1 och arg i = π/2. ex:rotenur-i Föregående exempel ger oss därför att i = 1 e (i arg 2 i)/2 = e iπ/4 = cos π/4 + i sin π/4 = (1 + i) 2 = 2/2 = 2/2 De Moivres formel De Moivres formel säger (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin ϕ Om man tänker på binomialsatsen så förstår man att denna formell inte är självklar. Däremot när vi nu vet att det som står i parantesen till vänster är e iϕ så följer detta lätt av räknereglerna för exponentialfunktionen: (e iϕ ) n = e iϕn = cos nϕ + i sin nϕ Nollställen till andragradspolynom Nu ska vi lära oss hitta nollställena till ett polynom som har komplexa koefficienter. Låt oss titta på ett exempel: Exempel 9. Vi låter p(z) = z 2 + (1 + i)z (6 + 2i). För att hitta nollställena kan vi inte använda den gamla formeln eftersom vi inte vet vad roten ur ett komplext tal innebär. (se Komplex Analys) Däremot kan vi kvadratkomplettera i ekvationen p(z) = 0: (z (1 + i))2 1 4 (1 + i)2 = (6 + 2i), som blir (z (1 + i))2 = i. Genom att göra substitutionen w = z (1 + i) så får vi den enkla ekvationen Sätt nu w = x + iy så ger ekvationen att w 2 = i. x 2 y 2 = 6, och 2xy = 5 2. Det finns också en tredje ekvation som är väldigt användbar här; Att två komplexa tal är lika betyder att deras belopp också är lika. Vi får: w 2 = w 2 = ww = x 2 + y 2, i = = = Följande ekvationssystem ger lätt lösningar för x 2 och y 2 : x 2 + y 2 = 13 2 x 2 y 2 = 6. 7
8 Man får alltså x 2 = 25 4 och y2 = 1 4 Den tredje ekvationen visar att x och y har samma tecken vilket ger att w = ±( i 1 2 ). Nu var det ju z vi sökte och vi har att z = w 1 2 (1 + i) så vi får att { z = 1 2 (1 + i) ± (5 2 + i1 2 ) = 2 3 i. Den binomiska ekvationen Ett binom är ett polynom med två termer: b(z) = a 1 z m +a 2 z n, m n. Antag (WLOG) 2 att m > n. När man ska hitta nollställen till denna ekvation kan man faktorisera binomet: z n (a 1 z m n + a 2 ) Den första faktorn ger nollstället 0, medan den andra faktorn ger andra nollställen. När vi i fortsättningen talar om ett binom menar vi ett polynom av typen p(z) = az n b, ty de intressanta nollställena till ett allmänt binom kommer alltid från ett sådant binom, vilket vi visade i ovan. Exempel 10. Alltså, den binomiska ekvationen ser ut som följer: z n = a, och denna ska vi nu lösa! Tricket här är att utrycka allt på polär form. När vi skriver a på polär form har vi uppräkneligt många val av argument. Om vi väljer en vinkel α 0 i principalområdet (α 0 ( π, π]) så kan vi skriva alla andra möjliga vinklar som Med a = r så får vi Skriver vi z = Re iφ, så får vi ekvationen α = α 0 + 2πN, N = 0, ±1, ±2,.... a = re i(α+2πn), N = 0, ±1, ±2,.... R n e inφ = re i(α+2πn) Detta leder till ett system av två ekvationer, en för beloppet och en för argumentet: R n = r (beloppen lika) nφ = α 0 + 2πN, N = 0, ±1, ±2,.... Den första ekvationen leder till att R = r 1 n. Den andra leder till att φ = α 0 n + 2π N, N = 0, ±1, ±2,.... n Notera att eftersom e iθ+2mπ = e iθ, m Z (e iθ är 2π periodisk eftersom cosinus och sinus är det) så gäller att endast n stycken av ovanstående vinklar är olika. Därför får vi n stycken olika lösningar till vår binomekvation: z = r 1 n e i( α 0 n + 2π n N), N = 0, 1,..., n 1. 2 WLOG står för Without Loss Of Generality som betyder utan förlust av allmängiltighet och används för att ange att ett antagande inte ger ett svagare resultat, bara enklare räkningar. I detta fall gäller att vi har två hela tal m n och då kan vi alltid låta m beteckna det större heltalet. 8
Referens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.8 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merComplex numbers. William Sandqvist
Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merden reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merFöreläsning 9: Komplexa tal, del 2
ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merKompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den definieras
Läs merKomplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna.
Komplexa tal Komplexa tal stötte vi på redan i kurs 2 i samband med lösningar till andragradsekvationer. Detta är startpunkten för denna ganska omfattande aktivitet om komplexa tal, som behandlas i kurs
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merA-del. (Endast svar krävs)
Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merSpolen och Kondensatorn motverkar förändringar
Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar Spolen och kondensatorn motverkar förändringar, tex vid inkoppling eller urkoppling av en källa till en krets. Hur går det då om källan avger en sinusformad
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............
Läs merVäxelström i frekvensdomän [5.2]
Föreläsning 7 Hambley avsnitt 5.-4 Tidsharmoniska (sinusformade) signaler är oerhört betydelsefulla inom de flesta typer av kommunikationssystem. adio, T, mobiltelefoner, kabel-t, bredband till datorer
Läs merElteknik. Komplexa tal
Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa tal Revma utbildning KOMPLEXA TAL Komplexa eller imaginära tal kan användas för algebraiska växelströmsberäkningar på samma sätt som i likströmsläran. Den läsare
Läs merVäxelström i frekvensdomän [5.2]
Föreläsning 7 Hambley avsnitt 5.-4 Tidsharmoniska (sinusformade) signaler är oerhört betydelsefulla inom de flesta typer av kommunikationssystem. adio, T, mobiltelefoner, kabel-t, bredband till datorer
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merLösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 26, 2015 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merKomplexa tal. z 2 = a
Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga
Läs merIE1206 Inbyggd Elektronik
E1206 nbyggd Elektronik F1 F3 F4 F2 Ö1 Ö2 PC-block Dokumentation, Seriecom Pulsgivare,, R, P, serie och parallell KK1 LAB1 Pulsgivare, Menyprogram Start för programmeringsgruppuppgift Kirchoffs lagar Nodanalys
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merVIII. Om komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok VIII. Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com VIII. Om komplexa tal och funktioner 1 (15) Introduktion De komplexa
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs mer= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)
Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4
Läs merRepetitionsmaterial för kompletteringskurs i matematik (5B1114)
Institutionen för matematik KTH petitionsmaterial för kompletteringskurs i matematik (5B4) Innehåll. Potenser och logaritmer. Trigonometriska funktioner. Komplexa tal 4. Polynom 0 5. Derivator 6 6. Differentialekvationer
Läs merSpolen och Kondensatorn motverkar förändringar
Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar Spolen och kondensatorn motverkar förändringar, tex vid inkoppling eller urkoppling av en källa till en krets. Hur går det då om källan avger en sinusformad
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM79 016-09-6 1 a) Vi isolerar x + och kvadrerar ekvationen observera att det då bara blir en implikation!): + x + = x x + = x ) x + = x ) = x 1x + 1 x 1 x + 10 = 0 x = 1 6 ± 7 6 Eftersom
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merKAPITEL 5. Komplexa tal. 1. Introduktion.
KAPITEL 5 Komplexa tal. Your momma thinks square roots are vegetables (förolämpning i ett Calvin och Hobbesalbum) 1. Introduktion. 1.1. Bakgrund. Att något är ett tal innebär löst sagt att det ska gå att
Läs merDugga 2 i Matematisk grundkurs
Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merInociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson
Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd
Läs merSven-Bertil Kronkvist. Elteknik. Komplexa metoden j -metoden. Revma utbildning
Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa metoden j -metoden evma utbildning KOMPEXA METODEN Avsnittet handlar om hur växelströmsproblem kan lösas med komplexa metoden, jω - eller symboliska metoden som
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merRadien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL a + b, där a, b R (rektangulär form r(cosθ + snθ (polär form θ re (potensform Om a + b och a, b R då gäller: a kallas realdelen av och betecknas Re( b kallas magnärdelen
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merSignaler några grundbegrepp
Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merAnalys 2 M0024M, Lp
Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 Lektion 1 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet 4 april 2013 Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 1 / 17 Kursinformation m.m. Examinator: Lennart
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I
Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merSommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper
Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs mer3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Läs merPlanering för Matematik kurs E
Planering för Matematik kurs E Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs E Antal timmar: 60 (0 + 0) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att E-kursen studeras på 60 klocktimmar.
Läs merLäsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö
Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag
Hans Thunberg KTH Matematik SF66 Perspektiv på matematik Tentamen 0 oktober 0 kl 08.00.00 Svar och lösningsförslag () Bestäm ekvationen för den cirkel som passerar genom punkten (, 4) och har sin medelpunkt
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merTisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar
1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger
Läs merExperimentversion av Endimensionell analys 1
Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker
Läs mer2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merÖvningstenta 001. Alla Linjär Algebra. TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg. 1. x 2y z + v = 0 z + u + v = 3 x + 2y + 2u + 2v = 4 z + 2u + 5v = 0
TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg Alla Linjär Algebra Övningstenta. x z + v z + u + v 3 x + + u + v 4 z + u + 5v. (a) Bestäm storleken (absolutbeloppet) och argumentet till z i. (b) Uttrck på formen
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera
Läs merFö 2 - TMEI01 Elkraftteknik Trefas effektberäkningar
Fö 2 - TMEI01 Elkraftteknik Trefas effektberäkningar Christofer Sundström 23 januari 2019 Outline 1 Trefaseffekt 2 Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor 3 Beräkningsexempel 1.7 4 Beräkningsexempel
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merVäxelström K O M P E N D I U M 2 ELEKTRO
MEÅ NIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Sverker Johansson Johan Pålsson 999-09- Rev.0 Växelström K O M P E N D I M ELEKTRO INNEHÅLL. ALLMÄNT OM LIK- OCH VÄXELSPÄNNINGAR.... SAMBANDET MELLAN STRÖM
Läs merTATM79: Matematisk grundkurs HT 2017
TATM79: Matematisk grundkurs HT 017 Föreläsningsanteckningar för Y, Yi, MED, Mat, FyN, Frist Johan Thim, MAI y 1 y = 1/x 1 x x TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merTATM79: Matematisk grundkurs HT 2016
TATM79: Matematisk grundkurs HT 016 Föreläsningsanteckningar för Y, Yi, MED, Mat, FyN, Frist Johan Thim, MAI y 1 y = 1/x 1 x x TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim
Läs merExponentialform av komplexa tal Postad av Michell Andersson - 06 dec :27
Exponentialform av komplexa tal Postad av Michell Andersson - 06 dec 2014 00:27 Jag bestämde för en vecka sedan att det kan vara praktiskt att lära sig ω-metoden. Jag har fastnat på något och det är exponentialformen
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs mer