Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL"

Roger Månsson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska funktioner och e elementära funktionerna me sina inverser. Låt S vara ett områe i et komplexa talplanet. Om et för varje punkt,, i S finns en tillela punkt för variabeln ω, så är ω en funktion av en komplexa variablen i områet S: ω = f() (39) S kallas funktionen ωs efinitionsområe och alla komplexa tal som funktionen f antar å alla i S genomlöpes kallas funktionen ωs väremäng eller väreområe. Låt = x+ iy och f ( ) = u( ) + iv( ) = u( x, y) + iv( x, y) är x och y är reella och u och v är reella funktioner av e reella variablerna x och y. Vi ser att vi kan relatera funktionen till funktioner av reella variabler. Derivatan Derivatan av en komplexvär funktion av en komplexa variabel efinieras som ' f ( 0 )= lim 0 ( ) ( ) f 0 + f 0 (40) Att funktionen är eriverbar, vs. att erivatan existerar är ett strängt krav. Det räcker t.ex. inte me att funktionen är kontinuerlig. Analytiska funktioner En funktion f() är analytisk i en punkt 0 om ess erivata existerar inte bara i punkten 0 utan också i en omgivning till punkten. Analytiska funktioner är mycket viktiga i samban me konform avbilning och vi kommer att återväna till e egenskaper som följer av att

2 Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 6 funktionerna är analytiska i kursen elektromagnetisk fältteori och vågutbrening. Vi nämner bara några egenskaper här. Om en funktion är analytisk i ett områe av et komplexa talplanet så är ess real och imaginärel konjugerae harmoniska funktioner i etta områe. Viare gäller att en analytisk funktion av en analytisk funktion är analytisk, vs. om g() är analytisk så är F()=f(g()) analytisk för såana -vären att tillhör et områe är g är analytisk och g() tillhör et områe är f() är analytisk. Ofta är en funktion analytisk i elar av et komplexa talplanet. Inom fysiken så är e analytiska egenskaperna hos e funktioner som beskriver hur ett system svarar på en yttre störning, s.k. responsfunktioner eller tiskorrelationsfunktioner, mycket viktiga. Man kan ra långtgåene slutsatser från essa egenskaper. Vi kommer tillbaka till etta senare. Nu ska vi stuera elementära funktioner och eras analytiska egenskaper.

3 Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel:Elementära Funktioner 7 Elementära funktioner Kraven man kan ställa på en funktion av komplex variabel är els att en är entyig,.v.s. att en bara har ett väre för varje punkt i ess efinitionsområe, els att en är ientisk me motsvarane funktion av en reell variabel på en el av reella axeln som utgör ess efinitionsområe.. Exponentialfunktionen Definition: x exp()= e cos y+ isin y ; x iy ( ) = + (4) e är basen för en naturliga logaritmen och y är i raianer. Vi kommer senare att kunna skriva exponentialfunktionen som e men kan inte göra et nu å vi ännu enast har efinierat reella exponenter. Exponentialfunktionen är analytisk i hela komplexa talplanet. Viare gäller att exp()= exp() (42) och att om ω är analytisk i ett områe D så gäller i etta områe att ω exp( ω)= exp( ω) (43) Vi ser att (4) innebär et komplexa talet exp() på polär form är absolutväret är e x och argumentet y. Av etta följer att exp( ) exp( 2)= exp( + 2), (44) ( ) exp 2 ( ) = ( ) (45) exp exp 2

4 Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel:Elementära Funktioner 8 och för positiva heltal m och n gäller n [ exp() ] = exp( n) (46) [ ] = + [ ] = mn exp() exp m n ( 2πki) ; k 0,, 2, K, n (47) Viare gäller att exponentialfunktionen är perioisk me perioen 2πi. Vi har också att exp( * )= exp() * [ ] (48) Vi kan nu uttrycka ett komplext tal på polär form m.h.a. exponentialfunktionen: = [ ( )+ ( )]= ( )= r cos θ isin θ rexp iθ re i θ. (49) Exponentialfunktionen kan anta alla vären i et komplexa talplanet utom origo. Inversen till exponentialfunktionen av en reell variabel är logaritmfunktionen. Låt oss beteckna enna reellvära funktion av en reell variabel me Log och låta log() beteckna motsvarane komplexvära funktion av en komplex variabel. Denna är nästa funktion vi tänker behanla. Exponentialfunktionen av en reell variabel är en monoton funktion och ess invers är entyig. Problemet me exponentialfunktionen av en komplex variabel är att en är perioisk och alltså antar samma väre flera gånger inom sitt efinitionsområe. Dess invers blir ärför inte entyig.

5 Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel:Elementära Funktioner 9 2. Logaritmfunktionen Definition: iθ log()= log( re )= Log ()+ r iθ (50) Vi kan me hjälp av et speciella argument Θ till såant att π < Θ π, skriva = rexp[i(θ ± 2nπ)], är n = 0,, 2,... och iθ log()= log ( re )= Log()+ r i Θ ± 2nπ ; n 0,, 2, K (5) ( ) = Funktionen log() har multipelvären me oänligt många vären. Vi kallar väret av (5) när n = 0 för principalväret av log() och skriver et som Log (). Log()= Log()+ r iθ ; r > 0, π < Θ π (52) Denna funktion är inte kontinuerlig för Θ = π men Log()= Log()+ r iθ ; r > 0, π < Θ< π (53) vars efintionsområe är alla tal i komplexa talplanet utom origo och negativa realaxeln är analytisk i sitt efinitionsområe och erivatan är Log( )= ; 0, π < arg()< π (54) Vi hae kunnat göra funktionen log () entyig och kontinuerlig på anra sätt genom att begränsa r och θ log ()= Log()+ r iθ ; r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π (55)

6 Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel:Elementära Funktioner 20 log () är analytisk i etta områe och log( )= ; 0, θ0 < arg()< θ0 + 2π (56) Varje val av θ 0 ger en gren av logaritmfunktionen och en är θ 0 = -π kallas principalgrenen. Oavsett vilken gren av logaritmen som har valts så gäller att exp[ log() ]= (57) För rätt val av gren av logaritmen så fås att log[ exp() ]= (58) Alltså är funktionerna exp och log varanras inverser. y Grensnitt (branch cut) π θ π x Förgreningspunkt (branch point)

7 Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel:Problem C 2 Problem C. Finn alla vären för så att exp()= Finn alla vären för så att exp( 2 )=. 3. När har en polära representationen = rexp( iθ ), visa att * = rexp( iθ ). 4. När har en polära representationen = rexp( iθ ), visa att exp( logr+ iθ )=. 5. Visa att exp( 0)= Visa att exp( 2 ± 3πi)= e. 7. Visa att exp( 2 π i )= i. 8. Visa att exp 2 + πi + ( 4 )= e i Visa att exp( + π i)= exp(). 0. Finn alla rötter till ekvationen log()= 2 π. i. Visa att Log( ei)= 2 π i 2. Visa att Log( i)= 2 Log( 2) 4 π i. 3. Visa att log ()=± 2nπi ; n= 0,, 2, K 4. Visa att log ( )=± ( 2n+ ) πi ; n= 0,, 2, K 5. Visa att log ()= i 2 πi± 2nπi ; n= 0,, 2, K 6. Visa att log i2 = i 4 n i ; n 02,,,

Relevanta dokument

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa