Komplexa tal. z 2 = a

Transkript

1 Moment 3., , , 3.3. Viktiga exempel , 3.9,3.20 Handräkning , 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga det reella talsystemet till systemet av de komplexa talen. I äldre tider betraktade man de komplexa talen som overkliga hjälpstorheter, som man visserligen kunde räkna med, men som man försökte befria sig från, då räkningen slutförts. Härav förklaras namnen reell = verklig och imaginär = inbillad. En liknande uppfattning existerade för övrigt ända intill 400-talet om de negativa talen som overkliga hjälpstorheter. De positiva, rationella talen har man däremot haft lättare att acceptera på grund av deras samband med praktiska delningsproblem. Införande av de komplexa talen De reella talen räcker inte till! Här nedan betecknar vi alltid a,b,c,d som reella tal. Vi har problemet: Låt a vara ett reellt tal och sök ett tal z, sådant att = a Om a 0, vet vi redan att detta problem har lösningen z = ± a, där a 0. Men eftersom för ett reellt tal z alltid gäller att 0, så finns det ingen reell lösning z till = a, om a < 0, till exempel om a =. Vi försöker därför införa en klass av ett nytt slags tal, som skall omfatta de reella men också innehålla ett tal i, för vilket vi fordrar, att det skall gälla i 2 = Enligt vad som ovan sagts, kan då inte i vara ett tal i den mening vi hittills lagt i ordet, nämligen ett reellt tal. Vi skall se, att vi kan definiera operationerna + och för de nya talen, så att addition och multiplikation av de reella talen blir bestående. Definitionerna skall naturligtvis göras så, att addition och multiplikation av reella tal får samma betydelse som förut. Först och främst är det klart att vi bör fordra, att den nya klassen blir sluten med avseende på operationerna + och. Detta medför, att eftersom såväl talet i som ett godtyckligt reellt Håkan Strömberg KTH Syd

2 tal b tillhör klassen, så skall denna innehålla alla tal i b. Additionens slutenhet medför härefter, att den nya klassen skall innehålla alla tal a+i b, där a och b är reella. Antag nu att z = a +ib och = a 2 +ib 2 är två tal i den nya klassen, och att vi kan räkna med talen a,a 2,b,b 2 men även med i enligt de vanliga räknelagarna för reella tal. Enligt associativa och kommutativa lagarna för addition skulle vi då få z + = a +ib +a 2 +ib 2 = a +a 2 +ib +ib 2 Nu kan vi bryta ut i (enligt distributiva lagen), så att vi får z + = (a +a 2 )+i(b +b 2 ). För multiplikationen skulle vi få z = (a +ib )(a 2 +ib 2 ) = a a 2 +ia b 2 +ia 2 b +i 2 b b 2 Vi har tidigare krävt att i 2 = och får då formeln för multiplikation z = (a a 2 b b 2 )+i(a b 2 +a 2 b ) Ovanstående är endast en vägledande inledning, i vilken vi gjort några helt formella räkningar med odefinierade symboler a + ib. Vi ska nu visa, hur man med hjälp av de reella talen kan definiera de nya talen och räkneoperationerna addition och multiplikation för dem. Därefter undersöker vi vilka räknelagar, som gäller för de nya talen. Eftersom bildningen a+ib innehåller två reella tal a och b är det naturligt att vid definitionen av de nya talen arbeta med par av reella tal. Det finns ingenting som hindrar, att man för paret av reella tal a och b från början använder beteckningen a+ib. För att emellertid inte förledas till missbruk av detta skrivsätt till exempel genom att från början lägga in någon inte definierad betydelse i tecknet + eller i symbolen ib, använder vi nedan till att börja med ett annat skrivsätt. Införande av de komplexa talen genom par av reella tal. Betrakta mängden av alla par (a,b), där a och b är reella tal givna i en viss ordning. Vi betecknar mängdens element med z = (a, b) och definierar operationerna addition och multiplikation av två element z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) i mängden på följande sätt: I Addition: z + = (a +a 2,b +b 2 ) II Multiplikation: z = (a a 2 b b 2,a b 2 +a 2 b ) Talparen z = (a, b), för vilka vi definierat addition och multiplikation enligt I och II, kallar vi komplexa tal. Två komplexa tal z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) är lika, då och endast då a = a 2 och b = b 2. Vi skall nu granska definitionen ovan. Först undersöker vi, hur räkningarna med de komplexa talen fungerar, om vi endast betraktar komplexa tal av formen z = (a,0) det vill säga sådana, där det andra av de båda reella talen i paret är 0. Vi får enligt I, att z + = (a,0)+(a 2,0) = (a +a 2,0) och enligt II, att z = (a a 2 0,a 0+a 2 0) = (a a 2,0). Vi ser härav, att om vi vid addition och multiplikation av talpar av formen (a,0) ersätter dessa med reella tal a, så får vi oförändrat resultat. Vi identifierar därför det komplexa Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 talet (a,0) med det reella talet a och skriver a = (a,0). Speciellt identifieras alltså det komplexa talet (0,0) med 0 och det komplexa talet (,0) med. Vi övergår nu till att undersöka vilka räknelagar som gäller för komplexa tal i allmänhet. Räknelagar för de komplexa talen Man verifierar lätt, att samtliga räknelagar för reella tal även gäller för de komplexa talen. Vi nöjer oss med att utföra beviset för ett par av dem. Kommutativa lagen för addition av komplexa tal. Vi har enligt I z + = (a +a 2,b +b 2 ) = (a 2 +a,b 2 +b ) = +z varför kommutativa lagen gäller. Observera att det enda, som använts vid beviset, är definitionen och kommutativa lagen för addition av reella tal. Annulleringslagen för addition av komplexa tal. Vi sätter z 3 = (a 3,b 3 ) och finner, att z + = z +z 3 betyder, att (a +a 2,b +b 2 ) = (a +a 3,b +b 3 ), det vill säga a +a 2 = a +a 3 och b +b 2 = b +b 3. Detta är detsamma som a 2 = a 3 och b 2 = b 3, varför = z 3. z = z, där z är ett godtyckligt komplext tal. Vi finner enligt II z = (a,b )(,0) = (a b 0,a 0+b ) = (a,b ) = z Subtraktion av komplexa tal. Låt z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) vara två komplexa tal. Då finns ett komplext tal z, sådant att +z = z Direkt insättning avz = (a a 2,b b 2 ) ger enligti, att +z = (a 2,b 2 )+(a a 2,b b 2 ) = (a,b ) = z, varmed existensen är klar. Vi skriver z = z Om speciellt z = 0, skriver vi z = och har alltså i detta fall +( ) = 0. De vanliga teckenreglerna gäller naturligtvis, eftersom allt, som utnyttjades vid beviset av dem, visats vara uppfyllt för komplexa tal. Annulleringslagen för multiplikation av komplexa tal. Vi skall visa, att om z = z z 3 och z 0, så är = z 3. Vi kan skriva förutsättningen i formen z ( z 3 ) = 0. Det är därför klart, att det räcker att bevisa följande Sats. Om z = 0, där z och är komplexa tal, så är minst ett av talen z och lika med 0. Innan vi övergår till att visa, att ekvationen z = z för 0 är lösbar i z, är det lämpligt, att vi introducerar talet i. Talet i och framställning av de komplexa talen i formen a+ib. Bland de komplexa talen är talet z = (0, ) av särskilt intresse. Enligt II gäller = (0,)(0,) = (0 0,0 + 0) = (,0) =. Vi har därför funnit ett komplext tal z, som uppfyller ekvationen =. Vi kallar det komplexa talet (0, ) för i, alltså i = (0,) Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 och har i 2 = Talet i = (0, ) löser också ekvationen =. Med hjälp av talet i och de reella talen kan alla komplexa tal framställas. Låt nämligen z = (a,b) vara ett godtyckligt komplext tal. Vi kan då enligt I skriva z = (a,0) + (0,b). Enligt II är emellertid (0, b) = (0, )(b, 0) = i b = ib. Sammanfattas detta, har vi alltså z = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(0,)(b,0) = a+ib. Ett godtyckligt komplext tal z = (a, b) kan alltså framställas därigenom, att man multiplicerar det reella talet b med talet (0,) = i och därefter adderar det reella talet a till produkten. Denna framställning är entydig, ty om a+(0,)b = c+(0,)d, där a,b,c,d är reella tal, följer att (a,b) = (c,d), det vill säga a = c och b = d. Vi har alltså a+ib = c+id då och endast då a = c och b = d (a,b,c,d reella) och speciellt a+ib = 0 då och endast då a = 0 och b = 0 (a,b reella). Om z = a+ib, där a och b är reella, kallas a realdelen av z och b imaginärdelen av z. Vi skriver a =Re z, b =Im z men också (a = R z och b = I z). Två komplexa tal är lika då realdelarna och imaginärdelarna i båda leden lika. Talet i kallas den imaginära enheten. Med hjälp av detta tal kan definitionerna I och II skrivas (a +ib )+(a 2 +ib 2 ) = a +a 2 +i(b +b 2 ) (a +ib )(a 2 +ib 2 ) = a a 2 b b 2 +i(a b 2 +a 2 b ) Detta innebär, att man får addera och multiplicera de komplexa talen som om a,a 2,b,b 2 och i vore vanliga reella tal, om man endast ersätter i 2 med. I fortsättningen skriver vi alltid ett komplext tal i formen a+ib i stället för (a,b). Vi påpekar emellertid inte varje gång, att vi avser, att a och b skall vara reella, utan detta får framgå av sammanhanget. Låt a,b och c vara reella tal. Ur z = a + ib följer enligt de bevisade räknelagarna cz = ca+icb. Multiplikation av ett komplext tal med ett reellt innebär alltså att såväl real- som imaginärdelen multipliceras med det reella talet. Talen a + ib kallas komplexa. Talen a + ib, b 0 kallas icke-reella. Talen 0+i b = ib, b 0 kallas rent imaginära. Vi definierar z n, där n är ett naturligt tal, som produkten av n stycken faktorer z. Övningar Visa att i 3 = i och att i 4 = 2 Visa att de enda lösningarna till ekvationen + = 0 är z = +i och z = i Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 3 Beräkna i 4n+k där n är ett icke-negativt heltal och k = Skriv på formen a + ib uttrycket ( 2 + i 2 ) 8n+k där n är ett icke-negativt heltal och k =...8 Konjugerat komplexa tal Om z = a+ib, där a och b är reella, är ett komplext tal, så kallas talet a ib det till z konjugerat komplexa talet. Vi betecknar detta med z, så att z = a ib Av definitionen följer omedelbart, att om z är konjugerat till, så är konjugerat till z. Vi kan också uttrycka detta så att z = z, det vill säga att operationen konjugering tillämpad två gånger på talet z ger tillbaka talet z. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att z = z det vill säga a+ib = a ib är att i 2b = 0, det vill säga b = 0. Relationen z = z utgör därför ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att z skall vara reellt. Om z = a+ib, gäller z z = (a+ib)(a ib) = a 2 i 2 b 2 = a 2 +b 2, alltså z z = a 2 +b 2 Övning 6. Bevisa formlerna Rez = z+z Imz = z z 2 2i Sats 2. Om z och är godtyckliga komplexa tal, är z + = z + och z = z Vi ser alltså, att man erhåller det konjugerade talet till en summa (produkt) genom att konjugera varje term (faktor) för sig. Övning Vilka komplexa tal z uppfyller följande likheter a) z+2z = 2 i b) 2z+iz = 2+3i c) z+z( i) = 2+i Division med ett komplext tal. Låt z = a + ib och = a 2 + ib 2 vara två komplexa tal och antag, att 0, det vill säga att a 2 och b 2 ej båda är 0. Vi vill lösa ekvationen z = z Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 med avseende på z. Om det finns ett tal z, som löser ekvationen, följer efter multiplikation av båda leden med, att z = z. Nu är emellertid = a 2 2 +b2 2 ett reellt tal, och detta tal är skilt från 0, eftersom a 2 och b 2 ej båda är 0. Vi kan därför multiplicera ekvationen z = z med och erhåller z = z Omvänt finner vi, att detta värde på z verkligen satisfierar ekvationen. Insättning ger nämligen ( ) z = z = z = z Vi har därmed visat att ekvationen z = z har en entydigt lösning och skriver lösningen z = z Den entydiga lösbarheten av denna ekvation kan nu användas för att bevisa följande räkneregler där 0 och w 2 0 z = w w 2 då och endast då z w 2 = w z + w = z w 2 + w w 2 w 2 z w = z w w 2 w 2 Om vi i den sista regeln speciellt väljer w = w 2, finner vi, att förlängning är en tillåten operation vid räkning med komplexa tal. Exempel Skriv talet a+ib c+id på formen ξ+iη. Lösning: Genom förlängning med nämnarens konjugatkvantitet c id får vi a+ib c+id = (a+ib)(c id) (c+id)(c id) = ac+bd+i(bc ad) c 2 +d 2 = ac+bd c 2 +d 2 +ibc ad c 2 +d 2 Om z = a+ib 0, kallas talet z inversen talet till z. Vi har z = z zz = a ib a 2 +b 2 Observera att lösningen z till ekvationen z = z kan skrivas z = z Om z 0, definierar vi z 0 = och z n = z n där n är ett naturligt tal. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Övningar 8 Bringa följande uttryck på formen a + ib, a och b reella a) d) i 4+i +2i + 3 i 2+i b) 4 i 2+3i c) e) (2 i) 3 f) +i ( i 2 + i 3 2 ) 3 d) 3+4i 9 Visa att för 0 gäller ( z ) = z 0 Om vi sätter z = a + ib, = a 2 + ib 2 och z = ξ + iη, är ekvationen z = z ekvivalent med ekvationssystemet { a2 ξ b 2 η = a b 2 ξ a 2 η = b vars determinant är a b2 2. Visa detta. Använd härefter systemet ovan för att visa existens och entydighet vid division. Absolutbelopp av ett komplext tal Om z = a + ib, där a och b är reella, kallas det reella, icke-negativa talet a 2 +b 2 för absoluta beloppet av z. Vi skriver z = a 2 +b 2 Man kallar också ibland z för modulen av z. Man har alltid z 0. Det gäller z = 0, då och endast då både a = 0 och b = 0, det vill säga då och endast då z = 0. Observera speciellt att om z = a är ett reellt tal, är z = (a 2 ) 2 = a varför definitionen i detta fall överensstämmer med den definition av absolutbelopp vi gjort för reella tal. Om åter z = ib är rent imaginärt, finner man z = b. Vidare är z = z. Två viktiga satser om absolutbelopp. Sats 3. Det gäller, att z 2 = z z det vill säga att kvadraten på absoluta beloppet av z är lika med z gånger dess konjugerade värde. Sats 4. Det gäller, att z = z det vill säga att absoluta beloppet av en produkt av två faktorer är lika med faktorernas absoluta belopp. Av denna sats sluter vi också, att för 0 gäller z 3 z = z 3 z = z Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 det vill säga att z = z Övningar Beräkna absolutbeloppet av ( ) i 00 a) 5i+2 b) c) 2 a+ib d) a ib e) i + +i (3i 4)( i) 2+i Triangelolikheten för komplexa tal. Sats 5. Triangelolikheten: Om z och är komplexa tal, är z + z + Lösning av en andragradsekvation med komplexa koefficienter. Vi betraktar först ekvationen = a+ib där a och b är reella. Om vi sätter z = ξ+iη får vi som ger ekvationssystemet ξ 2 η 2 +2iξη = a+ib { ξ 2 η 2 = a 2ξη = b Om vi kvadrerar och adderar dessa ekvationer får vi ξ 4 +η 4 +2ξ 2 η 2 = a 2 +b 2 (ξ 2 +η 2 ) 2 = a 2 +b 2 ξ 2 +η 2 = a 2 +b 2 Detta leder till ξ = ± a 2 +b 2 +a 2 η = ± a 2 +b 2 a 2 där vi måste kombinera tecknen så att vi får rätt tecken i 2ξη = b Övning Bestäm på formen ξ+iη a) 3 4i b) +3i c) d i 2 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Låt nu w och w 2 vara två komplexa tal. Andragradsekvationen övergår genom kvadratkomplettering i +2w z+w 2 = 0 och är därigenom återförd på = a+ib. (z+w ) 2 = w 2 w 2 Övning Lös andragradsekvationerna a) +2z+4 = 0 b) +(3+2i)z++3i = 0 c) (+i) +(2 i)z i = 0 Det är omöjligt att definiera en ordning för komplexa tal, så att de vanliga lagarna blir bestående. Ty om relationerna > och < vore definierade för komplexa tal, så att ordningslagarna skulle gälla, skulle till exempel talet i antingen vara > 0 eller < 0. I båda fallen skulle vi kunna sluta oss till = i 2 > 0, som är en motsägelse. Däremot uppträder olikheter av typen z <, men då handlar det ju om vanliga reella tal. Geometrisk representation av de komplexa talen Inledning. Eftersom ett komplext tal a + ib är ett talpar, kan man representera det geometriskt på följande sätt: Betrakta ett vanligt, rätvinkligt koordinatsystem. Vi representerar nu det komplexa talet z = a + ib, a och b reella, med den punkt P i planet, som har koordinaterna (a, b). Det första talet i talparet, realdelen, avsätts på x-axeln som kallas den reella axeln och den andra talet i talparet, imaginärdelen, avsätts på y-axeln som kallas den imaginära axeln. I det följande talar vi omväxlande om talet z och punkten z. Vi skriver också ibland P = z. Man säger, att man representerat de komplexa talen i det komplexa talplanet. Vi skall nu undersöka den geometriska motsvarigheten till de operationer och begrepp vi infört och börjar med Geometrisk tolkning av addition av komplexa tal. Vektorrepresentation av komplexa tal. Låt z = a + ib och = a 2 + ib 2 vara två komplexa tal och P respektive P 2 punkterna med koordinaterna (a,b ) och (a 2,b 2 ). Talet z + = a + a 2 + i(b + b 2 ) motsvarar punkten P med koordinaterna (a +a 2,b +b 2 ). Vi kan nu erhålla punkten P på följande, Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 geometriskt åskådliga sätt: Med utgångspunkt från P ritas en sträcka, som är lika riktad och lika lång som sträckan från 0 till P 2. Dess ändpunkt blir då P. Men vi kan också med utgångspunkt från P 2 rita en sträcka, som är lika riktad och lika lång som OP. Även i detta fall blir ändpunkten P. Vi observerar nu, att figuren visar den från vektoradditionen bekanta parallellogrammen. Vektorn OP är summan av vektorerna OP och OP 2. På grund härav är det också lämpligt att representera de komplexa talen med vektorer på sådant sätt att det komplexa talet a+ib representeras av vektorn OQ, där Q är punkten med koordinaterna (a,b). Ty om talen z och representeras av vektorerna OP och OP 2, så representeras enligt ovan det komplexa talet z l + av vektorn OP = OP + OP 2. Med en vektor menar vi här sammanfattningen av alla lika riktade och lika långa sträckor i planet. Vilken som helst av dessa sträckor representerar vektorn och alltså också ett visst komplext tal. I figuren representeras talet z både av den riktade sträckan från O till P och av den riktade sträckan från P 2 till P. Båda dessa riktade sträckor markeras därför i figuren med z. Ofta kommer emellertid den riktade sträcka, som representerar ett komplext tal z = a + ib att väljas speciellt, nämligen så att begynnelsepunkten är origo. Slutpunkten blir då den punkt, som har koordinaterna (a,b). Om det komplexa talet z representeras av vektorn A A 2, så representeras talet cz av vektorn ca A 2, om c är ett reellt tal. Speciellt representeras talet z av vektorn A 2 A. Geometrisk tolkning av subtraktion av komplexa tal. Låt z och vara två komplexa tal samt P och P 2 motsvarande punkter. Det komplexa talet z = z utgör den entydiga lösningen till ekvationen +z = z. Om vi därför frågar vilken vektor z representeras av, blir svaret den vektor, som skall läggas till OP 2, för att vi skall få OP. Denna vektor är P 2 P, och vi har alltså visat, att talet z representeras av vektorn från punkten P 2 till punkten P. Observera att de punkter P = (a,b) och P = ( a, b), som svarar mot talen z och z, kan sägas ha uppkommit ur varandra genom spegling i punkten 0. Vi kan slutligen även framställa talet z med hjälp av relationen z = z +( ). Geometrisk tolkning av konjugering och absolutbelopp av komplexa tal. Låt z = a + ib vara ett komplext tal och P punkten med koordinaterna (a,b). Det konjugerade talet z = a ib Håkan Strömberg 0 KTH Syd

11 representeras då av punkten P med koordinaterna (a, b), det vill säga den punkt, som erhålles ur P genom spegling i reella axeln. Absolutbeloppet z svarar mot längden av vektorn OP, alltså z = OP = a 2 +b 2 De komplexa tal z, som uppfyller z =, ligger på en cirkel med medelpunkten i origo och radien. Denna cirkel kallas enhetscirkeln. Omvänt gäller för varje punkt z på enhetscirkeln, att z =. Enhetscirkelns ekvation är alltså z = Observera att den geometriska betydelsen av uttrycket z är avståndet mellan de båda punkterna z och. Övningar Tolka geometriskt följande relationer a) z 2 = 3 b) z+i 2 c) 2 z+ i < 4 d) z+3i+ + z+i 3 < e) z = 2 z 2i f) z+ i = z 2+3i +3 Som vi ovan sett är operationerna addition och subtraktion av komplexa tal fullständigt analoga med addition och subtraktion av vektorer i planet. Denna analogi gäller emellertid inte för multiplikation och division, och vi vill uttryckligen varna läsaren för att förväxla produkt av komplexa tal med skalär produkt av vektorer. Vad division beträffar existerar ju denna operation inte för godtyckliga vektorer i planet. Emellertid har både multiplikationen och divisionen av komplexa tal en viktig geometrisk betydelse. Innan vi diskuterar denna, är det dock lämpligt att införa ett nytt skrivsätt för de komplexa talen. De komplexa talen på polär form Håkan Strömberg KTH Syd

12 Framställning av de komplexa talen på formen z = r(cosv+i sinv. Låt z = a+ib vara ett komplext tal och P punkten med koordinaterna (a,b). Längden z av vektorn OP betecknar vi nedan med r. Observera att r 0. Vi har då a = r cosv b = r sinv. Om vi inför detta i z = a+ib, får vi z = r(cosv+i sinv) Vi kallar detta för den polära framställningen av z. Vi skriver också upp de formler, som bestämmer r och v ur z. Det gäller r = a 2 +b 2 = z och om z 0 cosv = a a 2 +b = R z 2 z sinv = b a 2 +b = I z 2 z Ur detta framgår, att om ett komplext tal z 0 är skrivet på polär form, så är talet r entydigt bestämt och v bestämt bortsett från multiplar av 2π. Vi uttalar också detta på följande sätt. Om z = r(cosv+i sinv) = r (cosv +i sinv ) där r,r > 0 och v,v är reella, så gäller att r = r och v = v+2nπ där n är ett heltal. I z = r(cosv + i sinv) är r absolutbeloppet av z. Vilket som helst av talen v + 2nπ kallas argumentet av z och betecknas med argz. Om z = 0 är r = 0, medan v är obestämt. Om z = r(cosv+i sinv) är z = (cosv i sinv) = r(cos( v)+i sin( v)), varför? z = z argz = argz Observera den viktiga relationen cosv+i sinv = cos 2 v+sin 2 v =. Punkten z = cosv + i sinv ligger alltså på enhetscirkeln, och omvänt kan varje punkt på enhetscirkeln framställas i denna form, eftersom för en sådan punkt r = z =. Speciellt har vi = cos0+i sin0 = cosπ+i sinπ i = cos π 2 +i sin π 2 i = cos 3π 2 +i sin 3π 2 Övning Skriv på formen a+ib talet 6 ( cos π 3 +i sin π 3 Geometrisk tolkning av multiplikation av två komplexa tal. Låt z = r (cosv +isinv ) och = r 2 (cosv 2 +i sinv 2 ) vara två komplexa tal. Vi har då z = r r 2 (cosv +i sinv )(cosv 2 +i sinv 2 ) = = r r 2 (cosv cosv 2 sinv sinv 2 +i(sinv cosv 2 + cosv sinv 2 )) ) Håkan Strömberg 2 KTH Syd

13 eller efter utnyttjande av de vanliga trigonometriska formlerna z = r r 2 (cos(v +v 2 )+i sin(v +v 2 )) Från detta får vi den redan tidigare bevisade relationen samt den nya Vi uttrycker också detta i ord z = z arg(z ) = argz + arg Sats 6. Absoluta beloppet av produkten av (två) komplexa tal är lika med produkten av faktorernas absoluta belopp. Argumentet av produkten av (två) komplexa tal är summan av argumenten av faktorerna. Man kan också formulera dessa två formler på följande (osymmetriska) sätt: Att multiplicera talet z med talet innebär, att man skall förstora vektorn z i skalan och därefter vrida den vinkeln arg. Speciellt betyder multiplikation med ett reellt tal a endast förstoring i skalan a om a > 0 och förstoring och omkastning av riktningen om a < 0. Övningar z och är två komplexa tal. Visa att triangeln med hörnen 0,,z är likformig med triangeln med hörnen 0,,z Geometrisk tolkning av division av komplexa tal. Låt z och 0 vara komplexa tal. Vi har redan visat, att z = z Eftersom det gäller, att arg + arg z z2 = arg z z2 = argz finner vi vidare arg z = argz arg Dessa två formler visar, att om z = r (cosv +i sinv ) och = r 2 (cosv 2 +i sinv 2 ), så är I ord kan vi uttrycka detta: z = r r 2 (cos(v v 2 )+i sin(v v 2 ) Sats 7. Absoluta beloppet av kvoten mellan två komplexa tal är lika med kvoten mellan talens absoluta belopp. Argumentet av kvoten mellan två komplexa tal är skillnaden mellan talens argument. Om speciellt z = och = z = r(cosv+i sinv), gäller z = z arg z = argz Håkan Strömberg 3 KTH Syd

14 det vill säga z = r (cos( v)+i sin( v)) = r (cosv sinv) Geometriskt betyder detta, att vi erhåller vektorn z axeln och därefter ändrar dess längd från z till z om vi speglar vektorn z i den reella Övningar Vilket område i det komplexa talplanet definieras av 2 π < arg(z ) 2 Vilket område i det komplexa talplanet definieras av arg 0(z+i) 3(z i) = π 6 Visa att tre olika tal z,,z 3 ligger på en rät linje då och endast då ( ) z I = 0 z 3 z och z 3 z 4 är fyra komplexa tal. Visa att sammanbindningslinjen mellan z och är vinkelrät mot sammanbindningslinjen mellan z 3 och z 4 då och endast då ( ) z R = 0 z 3 z4 z i,i =,2,3,4 är fyra olika punkter på en godtycklig cirkel. Visa att talet är reellt. z z 3 z z 4 : z 3 z 4 de Moivres formel Vi har tidigare visat formeln (cosv +i sinv )(cosv 2 +i sinv 2 ) = cos(v +v 2 )+i sin(v +v 2 ) Genom upprepad användning av formeln finner vi ( n k ( k ) (cosv k +i sinv k ) = cos v k )+i sin v k k= Om vi här sätter alla v k = v får vi k= (cosv+i sinv) n = cosnv+i sinnv där n är ett naturligt tal. Att formeln gäller för godtyckliga heltal n inses på följande sätt: Om z 0, har vi definierat z 0 = och där z k =, där n är ett naturligt tal. Det är då z k omedelbart klart, att formeln gäller för n = 0. Vi får nu för negativa heltal n = m (cosv+i sinv) m = (cosv+i sinv) m = = cos( mv)+i sin( mv) cosmv+i sinmv Vi har därmed bevisat formeln även för negativa heltal n = m och har alltså: k= Håkan Strömberg 4 KTH Syd

15 Sats 8. de Moivres formel Det gäller (cosv+i sinv) n = cosnv+i sinnv för godtyckliga heltal n. Observera speciellt att argz n = n argz Övningar Bestäm ( 3+3i) 8 på formen a+ib Bestäm (i ) på formen a+ib Håkan Strömberg 5 KTH Syd