Komplexa tal. z 2 = a

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Komplexa tal. z 2 = a"

Transkript

1 Moment 3., , , 3.3. Viktiga exempel , 3.9,3.20 Handräkning , 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga det reella talsystemet till systemet av de komplexa talen. I äldre tider betraktade man de komplexa talen som overkliga hjälpstorheter, som man visserligen kunde räkna med, men som man försökte befria sig från, då räkningen slutförts. Härav förklaras namnen reell = verklig och imaginär = inbillad. En liknande uppfattning existerade för övrigt ända intill 400-talet om de negativa talen som overkliga hjälpstorheter. De positiva, rationella talen har man däremot haft lättare att acceptera på grund av deras samband med praktiska delningsproblem. Införande av de komplexa talen De reella talen räcker inte till! Här nedan betecknar vi alltid a,b,c,d som reella tal. Vi har problemet: Låt a vara ett reellt tal och sök ett tal z, sådant att = a Om a 0, vet vi redan att detta problem har lösningen z = ± a, där a 0. Men eftersom för ett reellt tal z alltid gäller att 0, så finns det ingen reell lösning z till = a, om a < 0, till exempel om a =. Vi försöker därför införa en klass av ett nytt slags tal, som skall omfatta de reella men också innehålla ett tal i, för vilket vi fordrar, att det skall gälla i 2 = Enligt vad som ovan sagts, kan då inte i vara ett tal i den mening vi hittills lagt i ordet, nämligen ett reellt tal. Vi skall se, att vi kan definiera operationerna + och för de nya talen, så att addition och multiplikation av de reella talen blir bestående. Definitionerna skall naturligtvis göras så, att addition och multiplikation av reella tal får samma betydelse som förut. Först och främst är det klart att vi bör fordra, att den nya klassen blir sluten med avseende på operationerna + och. Detta medför, att eftersom såväl talet i som ett godtyckligt reellt Håkan Strömberg KTH Syd

2 tal b tillhör klassen, så skall denna innehålla alla tal i b. Additionens slutenhet medför härefter, att den nya klassen skall innehålla alla tal a+i b, där a och b är reella. Antag nu att z = a +ib och = a 2 +ib 2 är två tal i den nya klassen, och att vi kan räkna med talen a,a 2,b,b 2 men även med i enligt de vanliga räknelagarna för reella tal. Enligt associativa och kommutativa lagarna för addition skulle vi då få z + = a +ib +a 2 +ib 2 = a +a 2 +ib +ib 2 Nu kan vi bryta ut i (enligt distributiva lagen), så att vi får z + = (a +a 2 )+i(b +b 2 ). För multiplikationen skulle vi få z = (a +ib )(a 2 +ib 2 ) = a a 2 +ia b 2 +ia 2 b +i 2 b b 2 Vi har tidigare krävt att i 2 = och får då formeln för multiplikation z = (a a 2 b b 2 )+i(a b 2 +a 2 b ) Ovanstående är endast en vägledande inledning, i vilken vi gjort några helt formella räkningar med odefinierade symboler a + ib. Vi ska nu visa, hur man med hjälp av de reella talen kan definiera de nya talen och räkneoperationerna addition och multiplikation för dem. Därefter undersöker vi vilka räknelagar, som gäller för de nya talen. Eftersom bildningen a+ib innehåller två reella tal a och b är det naturligt att vid definitionen av de nya talen arbeta med par av reella tal. Det finns ingenting som hindrar, att man för paret av reella tal a och b från början använder beteckningen a+ib. För att emellertid inte förledas till missbruk av detta skrivsätt till exempel genom att från början lägga in någon inte definierad betydelse i tecknet + eller i symbolen ib, använder vi nedan till att börja med ett annat skrivsätt. Införande av de komplexa talen genom par av reella tal. Betrakta mängden av alla par (a,b), där a och b är reella tal givna i en viss ordning. Vi betecknar mängdens element med z = (a, b) och definierar operationerna addition och multiplikation av två element z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) i mängden på följande sätt: I Addition: z + = (a +a 2,b +b 2 ) II Multiplikation: z = (a a 2 b b 2,a b 2 +a 2 b ) Talparen z = (a, b), för vilka vi definierat addition och multiplikation enligt I och II, kallar vi komplexa tal. Två komplexa tal z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) är lika, då och endast då a = a 2 och b = b 2. Vi skall nu granska definitionen ovan. Först undersöker vi, hur räkningarna med de komplexa talen fungerar, om vi endast betraktar komplexa tal av formen z = (a,0) det vill säga sådana, där det andra av de båda reella talen i paret är 0. Vi får enligt I, att z + = (a,0)+(a 2,0) = (a +a 2,0) och enligt II, att z = (a a 2 0,a 0+a 2 0) = (a a 2,0). Vi ser härav, att om vi vid addition och multiplikation av talpar av formen (a,0) ersätter dessa med reella tal a, så får vi oförändrat resultat. Vi identifierar därför det komplexa Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 talet (a,0) med det reella talet a och skriver a = (a,0). Speciellt identifieras alltså det komplexa talet (0,0) med 0 och det komplexa talet (,0) med. Vi övergår nu till att undersöka vilka räknelagar som gäller för komplexa tal i allmänhet. Räknelagar för de komplexa talen Man verifierar lätt, att samtliga räknelagar för reella tal även gäller för de komplexa talen. Vi nöjer oss med att utföra beviset för ett par av dem. Kommutativa lagen för addition av komplexa tal. Vi har enligt I z + = (a +a 2,b +b 2 ) = (a 2 +a,b 2 +b ) = +z varför kommutativa lagen gäller. Observera att det enda, som använts vid beviset, är definitionen och kommutativa lagen för addition av reella tal. Annulleringslagen för addition av komplexa tal. Vi sätter z 3 = (a 3,b 3 ) och finner, att z + = z +z 3 betyder, att (a +a 2,b +b 2 ) = (a +a 3,b +b 3 ), det vill säga a +a 2 = a +a 3 och b +b 2 = b +b 3. Detta är detsamma som a 2 = a 3 och b 2 = b 3, varför = z 3. z = z, där z är ett godtyckligt komplext tal. Vi finner enligt II z = (a,b )(,0) = (a b 0,a 0+b ) = (a,b ) = z Subtraktion av komplexa tal. Låt z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) vara två komplexa tal. Då finns ett komplext tal z, sådant att +z = z Direkt insättning avz = (a a 2,b b 2 ) ger enligti, att +z = (a 2,b 2 )+(a a 2,b b 2 ) = (a,b ) = z, varmed existensen är klar. Vi skriver z = z Om speciellt z = 0, skriver vi z = och har alltså i detta fall +( ) = 0. De vanliga teckenreglerna gäller naturligtvis, eftersom allt, som utnyttjades vid beviset av dem, visats vara uppfyllt för komplexa tal. Annulleringslagen för multiplikation av komplexa tal. Vi skall visa, att om z = z z 3 och z 0, så är = z 3. Vi kan skriva förutsättningen i formen z ( z 3 ) = 0. Det är därför klart, att det räcker att bevisa följande Sats. Om z = 0, där z och är komplexa tal, så är minst ett av talen z och lika med 0. Innan vi övergår till att visa, att ekvationen z = z för 0 är lösbar i z, är det lämpligt, att vi introducerar talet i. Talet i och framställning av de komplexa talen i formen a+ib. Bland de komplexa talen är talet z = (0, ) av särskilt intresse. Enligt II gäller = (0,)(0,) = (0 0,0 + 0) = (,0) =. Vi har därför funnit ett komplext tal z, som uppfyller ekvationen =. Vi kallar det komplexa talet (0, ) för i, alltså i = (0,) Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 och har i 2 = Talet i = (0, ) löser också ekvationen =. Med hjälp av talet i och de reella talen kan alla komplexa tal framställas. Låt nämligen z = (a,b) vara ett godtyckligt komplext tal. Vi kan då enligt I skriva z = (a,0) + (0,b). Enligt II är emellertid (0, b) = (0, )(b, 0) = i b = ib. Sammanfattas detta, har vi alltså z = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(0,)(b,0) = a+ib. Ett godtyckligt komplext tal z = (a, b) kan alltså framställas därigenom, att man multiplicerar det reella talet b med talet (0,) = i och därefter adderar det reella talet a till produkten. Denna framställning är entydig, ty om a+(0,)b = c+(0,)d, där a,b,c,d är reella tal, följer att (a,b) = (c,d), det vill säga a = c och b = d. Vi har alltså a+ib = c+id då och endast då a = c och b = d (a,b,c,d reella) och speciellt a+ib = 0 då och endast då a = 0 och b = 0 (a,b reella). Om z = a+ib, där a och b är reella, kallas a realdelen av z och b imaginärdelen av z. Vi skriver a =Re z, b =Im z men också (a = R z och b = I z). Två komplexa tal är lika då realdelarna och imaginärdelarna i båda leden lika. Talet i kallas den imaginära enheten. Med hjälp av detta tal kan definitionerna I och II skrivas (a +ib )+(a 2 +ib 2 ) = a +a 2 +i(b +b 2 ) (a +ib )(a 2 +ib 2 ) = a a 2 b b 2 +i(a b 2 +a 2 b ) Detta innebär, att man får addera och multiplicera de komplexa talen som om a,a 2,b,b 2 och i vore vanliga reella tal, om man endast ersätter i 2 med. I fortsättningen skriver vi alltid ett komplext tal i formen a+ib i stället för (a,b). Vi påpekar emellertid inte varje gång, att vi avser, att a och b skall vara reella, utan detta får framgå av sammanhanget. Låt a,b och c vara reella tal. Ur z = a + ib följer enligt de bevisade räknelagarna cz = ca+icb. Multiplikation av ett komplext tal med ett reellt innebär alltså att såväl real- som imaginärdelen multipliceras med det reella talet. Talen a + ib kallas komplexa. Talen a + ib, b 0 kallas icke-reella. Talen 0+i b = ib, b 0 kallas rent imaginära. Vi definierar z n, där n är ett naturligt tal, som produkten av n stycken faktorer z. Övningar Visa att i 3 = i och att i 4 = 2 Visa att de enda lösningarna till ekvationen + = 0 är z = +i och z = i Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 3 Beräkna i 4n+k där n är ett icke-negativt heltal och k = Skriv på formen a + ib uttrycket ( 2 + i 2 ) 8n+k där n är ett icke-negativt heltal och k =...8 Konjugerat komplexa tal Om z = a+ib, där a och b är reella, är ett komplext tal, så kallas talet a ib det till z konjugerat komplexa talet. Vi betecknar detta med z, så att z = a ib Av definitionen följer omedelbart, att om z är konjugerat till, så är konjugerat till z. Vi kan också uttrycka detta så att z = z, det vill säga att operationen konjugering tillämpad två gånger på talet z ger tillbaka talet z. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att z = z det vill säga a+ib = a ib är att i 2b = 0, det vill säga b = 0. Relationen z = z utgör därför ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att z skall vara reellt. Om z = a+ib, gäller z z = (a+ib)(a ib) = a 2 i 2 b 2 = a 2 +b 2, alltså z z = a 2 +b 2 Övning 6. Bevisa formlerna Rez = z+z Imz = z z 2 2i Sats 2. Om z och är godtyckliga komplexa tal, är z + = z + och z = z Vi ser alltså, att man erhåller det konjugerade talet till en summa (produkt) genom att konjugera varje term (faktor) för sig. Övning Vilka komplexa tal z uppfyller följande likheter a) z+2z = 2 i b) 2z+iz = 2+3i c) z+z( i) = 2+i Division med ett komplext tal. Låt z = a + ib och = a 2 + ib 2 vara två komplexa tal och antag, att 0, det vill säga att a 2 och b 2 ej båda är 0. Vi vill lösa ekvationen z = z Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 med avseende på z. Om det finns ett tal z, som löser ekvationen, följer efter multiplikation av båda leden med, att z = z. Nu är emellertid = a 2 2 +b2 2 ett reellt tal, och detta tal är skilt från 0, eftersom a 2 och b 2 ej båda är 0. Vi kan därför multiplicera ekvationen z = z med och erhåller z = z Omvänt finner vi, att detta värde på z verkligen satisfierar ekvationen. Insättning ger nämligen ( ) z = z = z = z Vi har därmed visat att ekvationen z = z har en entydigt lösning och skriver lösningen z = z Den entydiga lösbarheten av denna ekvation kan nu användas för att bevisa följande räkneregler där 0 och w 2 0 z = w w 2 då och endast då z w 2 = w z + w = z w 2 + w w 2 w 2 z w = z w w 2 w 2 Om vi i den sista regeln speciellt väljer w = w 2, finner vi, att förlängning är en tillåten operation vid räkning med komplexa tal. Exempel Skriv talet a+ib c+id på formen ξ+iη. Lösning: Genom förlängning med nämnarens konjugatkvantitet c id får vi a+ib c+id = (a+ib)(c id) (c+id)(c id) = ac+bd+i(bc ad) c 2 +d 2 = ac+bd c 2 +d 2 +ibc ad c 2 +d 2 Om z = a+ib 0, kallas talet z inversen talet till z. Vi har z = z zz = a ib a 2 +b 2 Observera att lösningen z till ekvationen z = z kan skrivas z = z Om z 0, definierar vi z 0 = och z n = z n där n är ett naturligt tal. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Övningar 8 Bringa följande uttryck på formen a + ib, a och b reella a) d) i 4+i +2i + 3 i 2+i b) 4 i 2+3i c) e) (2 i) 3 f) +i ( i 2 + i 3 2 ) 3 d) 3+4i 9 Visa att för 0 gäller ( z ) = z 0 Om vi sätter z = a + ib, = a 2 + ib 2 och z = ξ + iη, är ekvationen z = z ekvivalent med ekvationssystemet { a2 ξ b 2 η = a b 2 ξ a 2 η = b vars determinant är a b2 2. Visa detta. Använd härefter systemet ovan för att visa existens och entydighet vid division. Absolutbelopp av ett komplext tal Om z = a + ib, där a och b är reella, kallas det reella, icke-negativa talet a 2 +b 2 för absoluta beloppet av z. Vi skriver z = a 2 +b 2 Man kallar också ibland z för modulen av z. Man har alltid z 0. Det gäller z = 0, då och endast då både a = 0 och b = 0, det vill säga då och endast då z = 0. Observera speciellt att om z = a är ett reellt tal, är z = (a 2 ) 2 = a varför definitionen i detta fall överensstämmer med den definition av absolutbelopp vi gjort för reella tal. Om åter z = ib är rent imaginärt, finner man z = b. Vidare är z = z. Två viktiga satser om absolutbelopp. Sats 3. Det gäller, att z 2 = z z det vill säga att kvadraten på absoluta beloppet av z är lika med z gånger dess konjugerade värde. Sats 4. Det gäller, att z = z det vill säga att absoluta beloppet av en produkt av två faktorer är lika med faktorernas absoluta belopp. Av denna sats sluter vi också, att för 0 gäller z 3 z = z 3 z = z Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 det vill säga att z = z Övningar Beräkna absolutbeloppet av ( ) i 00 a) 5i+2 b) c) 2 a+ib d) a ib e) i + +i (3i 4)( i) 2+i Triangelolikheten för komplexa tal. Sats 5. Triangelolikheten: Om z och är komplexa tal, är z + z + Lösning av en andragradsekvation med komplexa koefficienter. Vi betraktar först ekvationen = a+ib där a och b är reella. Om vi sätter z = ξ+iη får vi som ger ekvationssystemet ξ 2 η 2 +2iξη = a+ib { ξ 2 η 2 = a 2ξη = b Om vi kvadrerar och adderar dessa ekvationer får vi ξ 4 +η 4 +2ξ 2 η 2 = a 2 +b 2 (ξ 2 +η 2 ) 2 = a 2 +b 2 ξ 2 +η 2 = a 2 +b 2 Detta leder till ξ = ± a 2 +b 2 +a 2 η = ± a 2 +b 2 a 2 där vi måste kombinera tecknen så att vi får rätt tecken i 2ξη = b Övning Bestäm på formen ξ+iη a) 3 4i b) +3i c) d i 2 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Låt nu w och w 2 vara två komplexa tal. Andragradsekvationen övergår genom kvadratkomplettering i +2w z+w 2 = 0 och är därigenom återförd på = a+ib. (z+w ) 2 = w 2 w 2 Övning Lös andragradsekvationerna a) +2z+4 = 0 b) +(3+2i)z++3i = 0 c) (+i) +(2 i)z i = 0 Det är omöjligt att definiera en ordning för komplexa tal, så att de vanliga lagarna blir bestående. Ty om relationerna > och < vore definierade för komplexa tal, så att ordningslagarna skulle gälla, skulle till exempel talet i antingen vara > 0 eller < 0. I båda fallen skulle vi kunna sluta oss till = i 2 > 0, som är en motsägelse. Däremot uppträder olikheter av typen z <, men då handlar det ju om vanliga reella tal. Geometrisk representation av de komplexa talen Inledning. Eftersom ett komplext tal a + ib är ett talpar, kan man representera det geometriskt på följande sätt: Betrakta ett vanligt, rätvinkligt koordinatsystem. Vi representerar nu det komplexa talet z = a + ib, a och b reella, med den punkt P i planet, som har koordinaterna (a, b). Det första talet i talparet, realdelen, avsätts på x-axeln som kallas den reella axeln och den andra talet i talparet, imaginärdelen, avsätts på y-axeln som kallas den imaginära axeln. I det följande talar vi omväxlande om talet z och punkten z. Vi skriver också ibland P = z. Man säger, att man representerat de komplexa talen i det komplexa talplanet. Vi skall nu undersöka den geometriska motsvarigheten till de operationer och begrepp vi infört och börjar med Geometrisk tolkning av addition av komplexa tal. Vektorrepresentation av komplexa tal. Låt z = a + ib och = a 2 + ib 2 vara två komplexa tal och P respektive P 2 punkterna med koordinaterna (a,b ) och (a 2,b 2 ). Talet z + = a + a 2 + i(b + b 2 ) motsvarar punkten P med koordinaterna (a +a 2,b +b 2 ). Vi kan nu erhålla punkten P på följande, Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 geometriskt åskådliga sätt: Med utgångspunkt från P ritas en sträcka, som är lika riktad och lika lång som sträckan från 0 till P 2. Dess ändpunkt blir då P. Men vi kan också med utgångspunkt från P 2 rita en sträcka, som är lika riktad och lika lång som OP. Även i detta fall blir ändpunkten P. Vi observerar nu, att figuren visar den från vektoradditionen bekanta parallellogrammen. Vektorn OP är summan av vektorerna OP och OP 2. På grund härav är det också lämpligt att representera de komplexa talen med vektorer på sådant sätt att det komplexa talet a+ib representeras av vektorn OQ, där Q är punkten med koordinaterna (a,b). Ty om talen z och representeras av vektorerna OP och OP 2, så representeras enligt ovan det komplexa talet z l + av vektorn OP = OP + OP 2. Med en vektor menar vi här sammanfattningen av alla lika riktade och lika långa sträckor i planet. Vilken som helst av dessa sträckor representerar vektorn och alltså också ett visst komplext tal. I figuren representeras talet z både av den riktade sträckan från O till P och av den riktade sträckan från P 2 till P. Båda dessa riktade sträckor markeras därför i figuren med z. Ofta kommer emellertid den riktade sträcka, som representerar ett komplext tal z = a + ib att väljas speciellt, nämligen så att begynnelsepunkten är origo. Slutpunkten blir då den punkt, som har koordinaterna (a,b). Om det komplexa talet z representeras av vektorn A A 2, så representeras talet cz av vektorn ca A 2, om c är ett reellt tal. Speciellt representeras talet z av vektorn A 2 A. Geometrisk tolkning av subtraktion av komplexa tal. Låt z och vara två komplexa tal samt P och P 2 motsvarande punkter. Det komplexa talet z = z utgör den entydiga lösningen till ekvationen +z = z. Om vi därför frågar vilken vektor z representeras av, blir svaret den vektor, som skall läggas till OP 2, för att vi skall få OP. Denna vektor är P 2 P, och vi har alltså visat, att talet z representeras av vektorn från punkten P 2 till punkten P. Observera att de punkter P = (a,b) och P = ( a, b), som svarar mot talen z och z, kan sägas ha uppkommit ur varandra genom spegling i punkten 0. Vi kan slutligen även framställa talet z med hjälp av relationen z = z +( ). Geometrisk tolkning av konjugering och absolutbelopp av komplexa tal. Låt z = a + ib vara ett komplext tal och P punkten med koordinaterna (a,b). Det konjugerade talet z = a ib Håkan Strömberg 0 KTH Syd

11 representeras då av punkten P med koordinaterna (a, b), det vill säga den punkt, som erhålles ur P genom spegling i reella axeln. Absolutbeloppet z svarar mot längden av vektorn OP, alltså z = OP = a 2 +b 2 De komplexa tal z, som uppfyller z =, ligger på en cirkel med medelpunkten i origo och radien. Denna cirkel kallas enhetscirkeln. Omvänt gäller för varje punkt z på enhetscirkeln, att z =. Enhetscirkelns ekvation är alltså z = Observera att den geometriska betydelsen av uttrycket z är avståndet mellan de båda punkterna z och. Övningar Tolka geometriskt följande relationer a) z 2 = 3 b) z+i 2 c) 2 z+ i < 4 d) z+3i+ + z+i 3 < e) z = 2 z 2i f) z+ i = z 2+3i +3 Som vi ovan sett är operationerna addition och subtraktion av komplexa tal fullständigt analoga med addition och subtraktion av vektorer i planet. Denna analogi gäller emellertid inte för multiplikation och division, och vi vill uttryckligen varna läsaren för att förväxla produkt av komplexa tal med skalär produkt av vektorer. Vad division beträffar existerar ju denna operation inte för godtyckliga vektorer i planet. Emellertid har både multiplikationen och divisionen av komplexa tal en viktig geometrisk betydelse. Innan vi diskuterar denna, är det dock lämpligt att införa ett nytt skrivsätt för de komplexa talen. De komplexa talen på polär form Håkan Strömberg KTH Syd

12 Framställning av de komplexa talen på formen z = r(cosv+i sinv. Låt z = a+ib vara ett komplext tal och P punkten med koordinaterna (a,b). Längden z av vektorn OP betecknar vi nedan med r. Observera att r 0. Vi har då a = r cosv b = r sinv. Om vi inför detta i z = a+ib, får vi z = r(cosv+i sinv) Vi kallar detta för den polära framställningen av z. Vi skriver också upp de formler, som bestämmer r och v ur z. Det gäller r = a 2 +b 2 = z och om z 0 cosv = a a 2 +b = R z 2 z sinv = b a 2 +b = I z 2 z Ur detta framgår, att om ett komplext tal z 0 är skrivet på polär form, så är talet r entydigt bestämt och v bestämt bortsett från multiplar av 2π. Vi uttalar också detta på följande sätt. Om z = r(cosv+i sinv) = r (cosv +i sinv ) där r,r > 0 och v,v är reella, så gäller att r = r och v = v+2nπ där n är ett heltal. I z = r(cosv + i sinv) är r absolutbeloppet av z. Vilket som helst av talen v + 2nπ kallas argumentet av z och betecknas med argz. Om z = 0 är r = 0, medan v är obestämt. Om z = r(cosv+i sinv) är z = (cosv i sinv) = r(cos( v)+i sin( v)), varför? z = z argz = argz Observera den viktiga relationen cosv+i sinv = cos 2 v+sin 2 v =. Punkten z = cosv + i sinv ligger alltså på enhetscirkeln, och omvänt kan varje punkt på enhetscirkeln framställas i denna form, eftersom för en sådan punkt r = z =. Speciellt har vi = cos0+i sin0 = cosπ+i sinπ i = cos π 2 +i sin π 2 i = cos 3π 2 +i sin 3π 2 Övning Skriv på formen a+ib talet 6 ( cos π 3 +i sin π 3 Geometrisk tolkning av multiplikation av två komplexa tal. Låt z = r (cosv +isinv ) och = r 2 (cosv 2 +i sinv 2 ) vara två komplexa tal. Vi har då z = r r 2 (cosv +i sinv )(cosv 2 +i sinv 2 ) = = r r 2 (cosv cosv 2 sinv sinv 2 +i(sinv cosv 2 + cosv sinv 2 )) ) Håkan Strömberg 2 KTH Syd

13 eller efter utnyttjande av de vanliga trigonometriska formlerna z = r r 2 (cos(v +v 2 )+i sin(v +v 2 )) Från detta får vi den redan tidigare bevisade relationen samt den nya Vi uttrycker också detta i ord z = z arg(z ) = argz + arg Sats 6. Absoluta beloppet av produkten av (två) komplexa tal är lika med produkten av faktorernas absoluta belopp. Argumentet av produkten av (två) komplexa tal är summan av argumenten av faktorerna. Man kan också formulera dessa två formler på följande (osymmetriska) sätt: Att multiplicera talet z med talet innebär, att man skall förstora vektorn z i skalan och därefter vrida den vinkeln arg. Speciellt betyder multiplikation med ett reellt tal a endast förstoring i skalan a om a > 0 och förstoring och omkastning av riktningen om a < 0. Övningar z och är två komplexa tal. Visa att triangeln med hörnen 0,,z är likformig med triangeln med hörnen 0,,z Geometrisk tolkning av division av komplexa tal. Låt z och 0 vara komplexa tal. Vi har redan visat, att z = z Eftersom det gäller, att arg + arg z z2 = arg z z2 = argz finner vi vidare arg z = argz arg Dessa två formler visar, att om z = r (cosv +i sinv ) och = r 2 (cosv 2 +i sinv 2 ), så är I ord kan vi uttrycka detta: z = r r 2 (cos(v v 2 )+i sin(v v 2 ) Sats 7. Absoluta beloppet av kvoten mellan två komplexa tal är lika med kvoten mellan talens absoluta belopp. Argumentet av kvoten mellan två komplexa tal är skillnaden mellan talens argument. Om speciellt z = och = z = r(cosv+i sinv), gäller z = z arg z = argz Håkan Strömberg 3 KTH Syd

14 det vill säga z = r (cos( v)+i sin( v)) = r (cosv sinv) Geometriskt betyder detta, att vi erhåller vektorn z axeln och därefter ändrar dess längd från z till z om vi speglar vektorn z i den reella Övningar Vilket område i det komplexa talplanet definieras av 2 π < arg(z ) 2 Vilket område i det komplexa talplanet definieras av arg 0(z+i) 3(z i) = π 6 Visa att tre olika tal z,,z 3 ligger på en rät linje då och endast då ( ) z I = 0 z 3 z och z 3 z 4 är fyra komplexa tal. Visa att sammanbindningslinjen mellan z och är vinkelrät mot sammanbindningslinjen mellan z 3 och z 4 då och endast då ( ) z R = 0 z 3 z4 z i,i =,2,3,4 är fyra olika punkter på en godtycklig cirkel. Visa att talet är reellt. z z 3 z z 4 : z 3 z 4 de Moivres formel Vi har tidigare visat formeln (cosv +i sinv )(cosv 2 +i sinv 2 ) = cos(v +v 2 )+i sin(v +v 2 ) Genom upprepad användning av formeln finner vi ( n k ( k ) (cosv k +i sinv k ) = cos v k )+i sin v k k= Om vi här sätter alla v k = v får vi k= (cosv+i sinv) n = cosnv+i sinnv där n är ett naturligt tal. Att formeln gäller för godtyckliga heltal n inses på följande sätt: Om z 0, har vi definierat z 0 = och där z k =, där n är ett naturligt tal. Det är då z k omedelbart klart, att formeln gäller för n = 0. Vi får nu för negativa heltal n = m (cosv+i sinv) m = (cosv+i sinv) m = = cos( mv)+i sin( mv) cosmv+i sinmv Vi har därmed bevisat formeln även för negativa heltal n = m och har alltså: k= Håkan Strömberg 4 KTH Syd

15 Sats 8. de Moivres formel Det gäller (cosv+i sinv) n = cosnv+i sinnv för godtyckliga heltal n. Observera speciellt att argz n = n argz Övningar Bestäm ( 3+3i) 8 på formen a+ib Bestäm (i ) på formen a+ib Håkan Strömberg 5 KTH Syd

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,... Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

forts. Kapitel A: Komplexa tal

forts. Kapitel A: Komplexa tal forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab

Läs mer

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2 ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

Elteknik. Komplexa tal

Elteknik. Komplexa tal Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa tal Revma utbildning KOMPLEXA TAL Komplexa eller imaginära tal kan användas för algebraiska växelströmsberäkningar på samma sätt som i likströmsläran. Den läsare

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 2 augusti 2016 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0

Läs mer

KAPITEL 5. Komplexa tal. 1. Introduktion.

KAPITEL 5. Komplexa tal. 1. Introduktion. KAPITEL 5 Komplexa tal. Your momma thinks square roots are vegetables (förolämpning i ett Calvin och Hobbesalbum) 1. Introduktion. 1.1. Bakgrund. Att något är ett tal innebär löst sagt att det ska gå att

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform)

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform) Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL a + b, där a, b R (rektangulär form r(cosθ + snθ (polär form θ re (potensform Om a + b och a, b R då gäller: a kallas realdelen av och betecknas Re( b kallas magnärdelen

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

.I Minkowskis gitterpunktssats

.I Minkowskis gitterpunktssats 1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället!

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! Ska du t ex förenkla 2(a + b) 2 3(b a) 2 utför först kvadreringarna

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer