Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR"

Katarina Berglund
för 5 år sedan
Visningar:

1 ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det motsatta talet om x är negativt ( om själva x är negativt då är x ett positivt tal) T ex 5 = ( 5) = 5 Detta anger vi i nedanstående definition: x om x 0 Definition x = x om x < 0 =================================================== =============================================== Geometrisk tolkning: i) På en reell tallinje är x lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x och 0 ii) På en reell tallinje är x y om x y x y = ( x y) = y x om x < y lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x och y [oberoende av vilket av talen x och y är störst] Exempelvis om x = 4 och y = 6 har vi x y =0 =avståndet mellan 4 och 6 Avståndet = = 0 =================================================== Egenskaper: A x 0 A x = 0 om och endast om x = 0 A x + y x + y, x y x + y I A gäller likhetstecken om och endast om x och y har samma tecken Exempelvis, om x = och y= 5 då gäller x + y = 8 = x + y, medan för x = och y= + 5 gäller = x + y < x + y = 8 Sida av

2 A4 x = x A5 x y = y x A6 x + x + x x + x + x n n (I A6 gäller likhetstecken om och endast om alla x k har samma tecken) A7 x y x + y Vi kan skriva tillsammans A och A7 på följande sätt: A8 x y x + y x + y Exempel ( a ) a = ( a ) om ( a ) 0 dvs om a om ( a ) < 0 dvs om a < Exempel Uttrycket x 0 för alla x ( eftersom x 0 ) T ex för x = 5 blir (-5) = 5 = 5 Alltså x x = endast om x 0 medan x = x om x < 0 Viktigt: I allmänt gäller x x om x 0 = x = x om x < 0 Exempel (x x 4 = x 4 = ( x om x 4 om x < 4 Grafen till funktionen x om x 0 y = x eller y = har vi nedan x om x < 0 y= - x y=x om 0 Eftersom = kan vi rita grafen till funktionen om < 0 y = genom att först rita grafen till y = f (x) och därefter spegla i x axeln den delen av grafen som ligger under x-axeln (här gäller < 0 ) Uppgift Rita grafen till följande funktioner a) y = x 4 b) y = x 4 c) y = + x 4 Svar: Sida av

3 a) b) c) ========================================================== EKVATIONER OCH OLIKHETER SOM INNEHÅLLER ABSOLUTBELOPP Några enkla ekvationer av följande typ: = a där a är en konstant kan vi lösa direkt (med hjälp av definitionen av absolutbeloppet) a) Ekvationen x = a där a > 0 har lösningar x = ± a a) x = 0 x = 0 a) Ekvationen x = a där a < 0 har ingen lösning a4) Ekvationen = a där konstanten a > 0 ä är ekvivalent med två ekvationer = ± a a5) = 0 = 0 a6) Ekvationen = a där konstanten a < 0 har ingen lösning Uppgift Lös följande ekvationer a) x = b) x = 0 c) x = 5 d) x = 0 e) x 5 = 0 f) x 8 = 0 g) x + 8 = Lösning: a) x = ± b) x = 0 c) ingen lösning d) x = 0 x = x = ± x = ±,två lösningar x =, e) x 5 = 0 x = 5 x = ± 5 x = ± 5 Härav 5 4 x = 5 x = Alltså, två lösningar 4 x = f) x 8 = 0 x 8 = 0 x = 4 g) ingen lösning ============================================================ Några enkla olikheter av följande typer: a, där a är en konstant: < a, > a a och Sida av

4 Först några olikheten om a > 0 (vanligt fall): 4 b) Olikheten x < a där a > 0 har lösning a < x < a x < a a {På samma sätt har olikheten 0 a x a där a > 0 lösning a x a } b) Olikheten x > a där a > 0 satisfieras av alla x som uppfyller x < a eller x > a x > a x < a x > a a 0 a Några exempel med a < 0 eller a = 0 : b) Olikheten x < har ingen lösning ( eftersom x 0 ) b4) Olikheten x satisfieras av alla reella x b4) Olikheten x 0 har exakt en lösning x= Uppgift Lös följande olikheter a) x b) x c) x 5 < 0 d) x 5 0 e) x Lösning: a) Svar: x Alternativt skrivsätt: Intervall [-,] b) Svar: x eller x Alternativt skrivsätt: (, ] [, ) c) Lösning: x 5 < 0 x 5 5 < x < 5 Vi har faktiskt två enkla olikheter 5 < x och x < 5 som vi kan lösa separat och därefter bestämma gemensam lösning Men, den här gången, löser vi båda ekvationer samtidigt: 5 < x < 5 ( addera ) < x < 8 (dela med ) < x < 4 Svar: < x < 4 Alternativt skrivsätt: Intervall (, 4) d) Svar: x eller x 4 Alternativt skrivsätt: (, ] [4, ) e) Lösning: x x 9 Ingen lösning eftersom x 0 för alla x Svar: Ingen lösning ============================================================ ALLMÄNT FALL Mer komplicerade ekvationer och olikheter (t ex av typen = g( x) eller + g( x) < h( x) ) löser vi genom att först analysera varje absolutbelopp för sig Därefter betraktar vi alla fall som kan förekomma när x varierar från till + Sida 4 av

5 5 Med samma metod kan vi rita grafer som innehåller absolutbelopp ( Anmärkning Denna metod kan användas på både enkla och svåra ekvationer) Uppgift 4 Lös följande ekvationer a) x = x + 4 b) x + = x + 8 Lösning: Lösning a) Vi har x = ( x ) om x < och x = + ( x ) om x Därför betraktar vi två fall Fall x < och Fall x Fall Om x < blir ekvationen ( x ) = x + 4 x + = x + 4 x = (Vi måste kontrollera om x = uppfyller kravet A innan vi påstår att detta är en lösning) Eftersom x= satisfierar villkoret A, x <, så har vi en lösning x = Fall För x kan ekvationen skrivas ( x ) = x = 6 ingen lösning i andra fallet Svar a) x = Svar b) x = 6, x 0 / = Uppgift 5 a) Lös följande ekvation x = x + 4 b) Rita grafen till funktionen = x x 4 Lösning a) Vi har x = ( x ) om x < och x = + ( x ) om x Därför betraktar vi två fall A) x < och B) x A) Om x < blir ekvationen ( x ) = x + 4 x + = x + 4 x = x = Eftersom x = satisfierar villkoret A, x <, så har vi en lösning b) För x kan ekvationen skrivas + ( x ) = x + 4 x = x = 7 Detta är omöjligt för x Alltså finns ingen lösning i fallet B och vi har således endast en lösning ( från fallet A) Sida 5 av

6 6 Svar a) x = Lösning b) Vi ska först styckviss definiera funktionen = x x 4 och därefter rita grafen i) För x < har vi x = ( x ) och därför = x x 4 = ( x ) x 4 = x ii) För x har vi x = + ( x ) och därför = x x 4 = + ( x ) x 4 = x 7 Alltså x = x 7 för för x < x Grafen till = x x 4 : Uppgift 6 Lös följande ekvationer a) x = x 5 b) x + = x + Lösning a) Vi har två uttryck med absolutbelopp ) x = + ( x ) om x och x = ( x ) om x < ) x 5 = + ( x 5) om x 5 och x 5 = ( x 5) om x < 5 Alltså har vi 5 x = ( x ) x 5 = ( x 5) x = + ( x ) x 5 = ( x 5) x = + ( x ) x 5 = + ( x 5) Sida 6 av

7 Därför betraktar vi tre fall A) x <, B) x 5 och x > 5 7 A) Om x < då gäller x = ( x ) och x 5 = ( x 5) Ekvationen kan skrivas ( x ) = ( x 5) = 5 Ingen lösning för x < B) Om x 5 då gäller x = + ( x ) och x 5 = ( x 5) Ekvationen kan skrivas + ( x ) = ( x 5) x = 4 Eftersom x = 4 ligger i intervallet x 5 har vi en lösning, x 4, för fallet B C) Om x > 5 då gäller x = + ( x ) och x 5 = + ( x 5) Ekvationen blir ( x ) = ( x 5) = 5 Ingen lösning för x > Svar a) En lösning, x = 4 Svar b) En lösning, x = = Uppgift 7 Lös följande olikheter a) x + > x 4 b) x 6 < x + Lösning a) METOD Vi har två uttryck med absolutbelopp ) x + = + ( x + ) om x och x + = ( x + ) om x < ) x 4 = + (x om x och x 4 = (x om x < Alltså har vi - x + = ( x + ) x 4 = (x x + = + ( x + ) x 4 = (x x + = + ( x + ) x 4 = + (x Sida 7 av

8 8 Därför betraktar vi tre fall A) x <, B) x och C) x > A) Om x < då gäller x + = ( x + ) och x 4 = (x Olikheten kan skrivas ( x + ) > (x x > 6 Detta är inte möjligt om x < Ingen lösning för x < B) Om x då gäller x + = + ( x + ) och x 4 = (x Olikheten blir ( x + ) > (x x > x > Eftersom x får vi < x för fallet B C) Om x > då gäller x + = + ( x + ) och x 4 = + (x Olikheten blir ( x + ) > (x 6 > x x < 6 Eftersom x > får vi < x < 6 för fallet C B och C tillsammans ger < x < 6 Svar a) < x < 6 METOD (Grafisk lösning) Vi skriver om olikheten x + > x 4 genom att flytta alla uttryck till vänsterledet x + x 4 > 0 Därefter skriver vi uttrycket = x + x 4 som en styckvisdefinierad funktion, därefter ritar grafen och löser olikheten > 0 Som vi skrev ovan (i metod ) har vi x + = + ( x + ) om x och x + = ( x + ) om x < x 4 = + (x om x och x 4 = (x om x < Vi betraktar tre fall A) x <, B) x och C) x > A) x <, = x + x 4 = ( x + ) ( (x ) = x + x 4 = x 6 B) x Sida 8 av

9 9 = x + x 4 = ( x + ) ( (x ) = x + + x 4 = x C) x > = x + x 4 = ( x + ) (x = x + x + 4 = x + 6 Alltså är x 6 för x < = x för x x + 6 för x > Vi ritar grafen till f (x) genom att rita varje stycke i motsvarande intervall Notera att alla tre uttryck är linjära (därmed delar av tre räta linjer) A) Vi börjar med = x 6 i intervallet x< Eftersom detta är en rät linje, räcker det att använda två punkter som linjen går genom Det är viktigt att använda ändpunkten x= Notera att funktionen är kontinuerlig (som summan av kontinuerliga abs-funktioner) Vi har exempelvis den här liten tabell x - - y -9-8 B ) = x för x Vi använder två punkter t ex x - y -8-4 C) = x + 6 för x > Vi använder två punkter t ex x 7 y -4 - Grafen till f (x) får vi genom att rita de tre delgrafer över motsvarande intervall: Först bestämmer vi funktionens nollställen Från grafen ser vi att ett nollställe ligger i andra definitionsintervallen (B-delen ovan) Vi löser Sida 9 av

10 0 x = 0 och får x = Det andra nollstället får vi i C-delen x + 6 = 0 x = 6 Vi ser från grafen att > 0 om < x < 6 Svar a) < x < 6 5 Svar b) < x < 7 Uppgift 9 Rita grafen till funktionen = x+ x Lösning x Först i) x x = + ( x x) om ( x x) 0 dvs om x 0 eller x ( Se grafen till y = x x ) ii) x x = ( x x) om ( x x) < 0 dvs om 0 < x < Därmed blir x + ( x x) = x om x 0 eller x = x ( x x) = x + x om 0 < x < eller x om x 0 = x + x om 0 < x < x x Grafen till f(x): Sida 0 av

11 Sida av

Relevanta dokument

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om