1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29

Transkript

1 Detta avsnitt handlar om olikheter. < mindre än > större än mindre än eller lika med (< eller =) större än eller lika med (> eller =) Vilka tal finns mellan 2 och 5? Alla tal som är större än 2. Och samtidigt mindre än 5. Vi skriver 2 < x < 5

2 Med 2 < x < 5 avser vi alla reella tal som finns mellan 2 och 5. Variabeln x symboliserar alla de reella tal som finns där emellan. Bokstaven x kallas för en variabel för den kan ha varierande värde där emellan 2 och 5. Uttrycket 2 < x < 5 kallas för en olikhet eller ett intervall på x-axeln. 2 5

3 Olikheten 2 < x < 5 kallas också dubbelolikhet just för att där är två olikhetstecken i samma olikhet. En dubbelolikhet skrivs alltid med det mindre talet först. Olikhetstecknen har alltid riktningen < Olikheten 2 x 5 skiljer sig från den tidigare genom att talen 2 och 5 också hör till de värden x kan anta. På x-axeln skulle vi beteckna denna olikhet med fyllda punkter i intervalländpunkterna. 2 5 s

4 Med olikheten 2 < x avses alla reella tal som är större än 2. Olikheter med endast ett olikhetstecken skrivs vanligtvis med variabeln x först. x > 2 2 Vi ser att olikhetstecknet böt riktning då vi bytte sidorna. Vi läser: x är större än 2

5 Olikheten x < 5 avser alla tal som är mindre än 5. Vi läser: x är mindre än 5 Dubbelolikheten 2 < x < 5 läses: x är större än 2 men mindre än 5. Alternativt: x är mellan 2 och 5 Ordet men här betyder och. Olikheten x 5 läses: x är mindre eller lika med 5 Olikheten 2 x 5 läses: x är större eller lika med 2 men mindre än eller lika med 5

6 Olikheter kan lösas på liknande sätt som ekvationer. Det finns dock några olikheter. Vi ska nu titta på hur man löser förstagradsolikheter eller olikheter av första graden. En förstagradsolikhet kan lösas som en förstagradsekvation, men.. Om du tänker multiplicera eller dividera med ett negativt tal.... då ändrar olikhetstecknets riktning.

7 < blir > > blir < blir blir Då man multiplicerar eller dividerar olikheten med ett negativt tal. T.ex. 2x < 12 + x 2x x < 12 3x < 12 x > 4 Svar: x > 4 Titta noggrannt efter var tecknet ändrar riktning.

8 Ett annat sätt att lösa samma ekvation följer. Vi flyttar förstagradstermerna till den sida där de får positivt förtecken. 2x < 12 + x 0 < 12 + x + 2x 0 < x 12 < 3x 3x > 12 x > 4 Svar: x > 4 Jag själv föredrar detta sätt och tycker att det känns säkrare.

9 Ett nytt exempel 2(4 + x) + 2x 7(x + 1) 8 + 2x + 2x 7x + 7 4x + 8 7x x 4x 1 3x 3x 1 x 1/3 Svar: x 1/3 Precis som en förstagradsekvation. Man måste bara vara noga med olikhetstecknets riktning.

10 Ännu ett exempel x x 1 2x 1 2x x x 3 6x 3(2x 1) 12 4x x 3(2x 1) 12 4x 6x 6x x x 4x 9 x 4x 4x 9 4 Se sid 20 (Ex 3)

11 Ex. För vilka värden på variabeln x antar funktionen f(x) = 3x 1 positiva värden? Funktionen f antar positiva värden då 3x 1 > 0 3x 1 > 0 3x > 1 x > 1/3 Svar: x 1 3 Detta betyder att om vi sätter in ett tal som är större än 1/3 i funktionen så kommer det ut ett positivt tal.

12 Ex. För vilka värden på variabeln x antar funktionen g(x) = 4x + 3 negativa värden? 4x + 3 < 0 3 < 4x 4x > 3 x > ¾ Detta betyder att om vi sätter in ett tal större än ¾ så kommer det ut ett negativt tal. Svar: x > ¾

13 1.2 Polynomfunktionens tecken s Vi tittar igen på det tidigare exemplet där vi hade 12 meter staket och skulle omgärda ett rektangelformat område som gränsade mot en älv. Staketet lades bara längs tre sidor då älven utgjorde den fjärde sidan. x x 12 2x Mellan vilka gränser kan x variera? Den maximala längden för x är 6. Den minimala 0. 0 x 6

14 1.2 Polynomfunktionens tecken s x x Dessutom måste även sidan som har längden 12 2x vara mellan 0 och x x 0 6 x x 0 x 6 vilket är samma villkor som tidigare

15 När vi ska lösa andragradsolikheter gör vi så här: 1) Sätter alla termer till ena sidan och kallar detta för f. 2) Löser motsvarande ekvation genom att byta ut <, >, eller mot =. 3) Ritar en ungefärlig graf av f. 4) Tolkar grafen och avgör vilket eller vilka intervall som är svar på den ursprungliga olikheten. Se rutan nere på sid 23

16 För att vi bättre ska förstå punkt 4 så ska vi först titta mer på vad en graf egentligen är. Låt oss titta på funktionen f(x) = x² 4 En graf består av punkter (x, y) där x är input och y är output. x f y eller f(x) Grafen av en polynomfunktion består av punkter som sitter så nära varandra att en kurva bildas när man ritar ut punkterna.

17 Om man sätter in vissa tal i funktionen f(x) = x² 4 så kommer det ut positiva tal. Om man sätter in andra tal i funktionen så kommer det ut negativa tal. För vissa tal kommer det ut noll. 3 f 5 3 är ett av de värden på variabeln x för vilka funktionen antar positiva värden. Det finns många fler värden än 3.

18 f(x) = x² 4 f är ett av de värden på variabeln x för vilka funktionen antar positiva värden. Det finns många fler värden än 1. Det finns bara två värden som gör att funktionen antar värdet noll. Det är 2 och 2. Dessa två x-värden kallas funktionens nollställen. Och nollställena är just gränserna till de intervall som ger positiva eller negativa funktionsvärden.

19 f(x) = x² 4 f f 0 Här ser vi de två nollställena 2 och 2. Output är då 0. Output kallas för funktionsvärdet. Input kallas för variabelns värde. Nu ska vi titta på funktionens f : s graf.

20 y f(x) = x² 4 5 (3, 5) 1 3 x 3 (1, 3)

21 Förklaring till föregående sida: Om man sätter in 3 i funktionen, så kommer det ut 5. Punkten är röd eftersom 5 är ett positivt tal. Om man sätter in 1 i funktionen, så kommer det ut 3. Punkten är blå eftersom 3 är ett negativt tal. Den blå linjen längst ner är intervallet 2 < x < 2. Den anger att vi får ut negativa värden om vi sätter in tal mellan 2 och 2. Ingen annanstans. Det ses genom att parabeln just där befinner sig nedanför x-axeln.

22 Ex För vilka värden på variabeln x antar funktionen f(x) = x² 4 negativa värden? 1) x² 4 < 0 2) x² 4 = 0 x² = 4 x = ± 2 (vilket betyder att x = 2 eller x = 2) 3) graf med x-axel 4) tolkar grafen Svar: 2 < x < 2 2 2

23 Ex. För vilka värden på variabeln x antar funktionen f(x) = x² x 2 positiva värden? 1) x² x 2 > 0 2) x² x 2 = 0 löses med rotformeln x ( 1) ( 1) ( 2) a 1 b 1 c x1 2 x ) graf med x-axel 4) tolkar grafen Svar: x < 1 eller x > 2