Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Transkript

1 I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom k 7 ( 1) 5 4 Men ur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? Figur 1: Vi ar en intuitiv känsla av att en tangent är en linje som snuddar vid kurvan. Den ar bara en punkt gemensam med kurvan, till skillnaden från sekanten som ar två. Här ska vi närma oss en lösning på problemet genom att dra ett antal sekanter. Vi utgår från samma funktion som ovan f(x) x + Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Figur : oc vill veta riktningskoefficienten till tangenten i punkten (1, 7 ). Vi bestämmer successivt riktningskoefficienten till ett antal sekanter oc fyller i denna tabell x 1 x f(x 1 ) f(x ) k När nu x kryper närmare x 1 så måste ju motsvarande sekanten får en riktningskoefficient som mer oc mer liknar tangentens. Så om vi får gissa tangentens k-värde är ingen dålig gissning. k Om vi istället för x inför x 1 +, där kommer att anta värdena enligt tabellen ovan oc kan skriva ett mycket viktigt uttryck för att bestämma sekantens riktningskoefficient f(x + ) f(x) f(x + ) f(x) k x + x I vårt försök ar vi låtit bli mindre oc mindre. Vi ar låtit gå mot 0. Mer om detta i nästa föreläsning. Håkan Strömberg KTH Syd

3 1 Bestäm lutningen för tangenten till kurvan y f(x) x + i punkten (1, 7 ). Lösning: Vi ska nu använda formeln från föregående sida: k f(x + ) f(x) x + x Vi utvecklar uttrycket oc får f(x + ) f(x) ) (x+) (x + + k (x + ) x x + x + x x + x + (x + ) x + När vi nu låter bli mindre oc mindre, varför inte rent av 0 får vi k x. Nu var det tangenten till punkten (1, 7 ) som var intressant. x 1 insatt i vårt resultat ger k 1 Något vi tidigare gissat. Svar: Tangenten i punkten (1, 7) ar k-värdet. Bestäm ekvationen till tangenten i förra problemet. Lösning: Vi utgår från y kx+m oc ar redan k. Återstår att bestämma m. Eftersom linjen (tangenten) går genom punkten (1, 7 ) får vi som ger m m 7 5 Svar: Tangentens ekvation är y x + 5 Håkan Strömberg KTH Syd

4 Den sträcka s(t) meter som en kropp rör sig på t sekunder beräknas enligt s(t) 10t t. Beräkna a) s(4) b) s(4 + ) s(4 + ) s(4) c) d) Vad blir värdet av uttrycket när blir mycket litet oc vad ar du då räknat ut? Lösning: a) s(4) b) s(4+) 10(4+) (4+) c) ( ) d) När är riktigt litet eller 0 blir uttrycket ovan. Jag ar då tagit reda på att astigeten efter 4 sekunder är. 4 Beräkna diffrenskvoten då f(x) x x, x 1 oc 0. Lösning: Vi vet att differenskvoten skrivs f(x + ) f(x) f(x + ) f(x) Vi får då (1 + 0.) (1 + 0.) ( 1 1 ) Vad ar jag beräknat? k-värdet för den sekant som går genom punkterna (1.,.16) oc (1, ). Dessa två punkter ligger ju på kurvan eller ur? 5 Fyll i tabellen nedan då f(x) x + 1, x 5 oc varierar: f(x + ) f(x) Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Lösning: Vi ar att sätta in olika i formeln (5 + ) + 1 (5 + 1) f(x + ) f(x) Vad ar vi beräknat? När blir mindre oc mindre närmar sig differenskvoten k-värdet av tangenten till kurvan i punkten (1, ) 6 Vilket värde närmar sig följande differenskvot då närmar sig 0, då s(x) 10x + 4x s(10 + ) s(10) Lösning: Vi ställer upp differenskvoten f(x + ) f(x) Utvecklar vi detta uttryck får vi 10(10 + ) + 4(10 + ) ( ) ( ) ( ) (90 + 4) Normalen till en kurva i en given punkt på kurvan är en linje som går genom punkten oc är vinkelrät mot tangenten. Vi ar funktionen f(x) x + 1 oc vet att punkten (1, ) ligger på kurvan oc att tangenten till kurvan i denna punkt ar k-värdet. Bestäm ekvationen till normalen i denna punkt Lösning: Först bestämmer vi ekvationen för tangenten oc utgår från y kx + m. Vi vet att k oc att en punkt på linjen är (1, ). Detta ger oss m genom ekvationen. 1 + m Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Tangentens ekvation blir y x Alltså m 0. För normalens ekvation utgår vi åter från y kx + m. Denna gång vet vi att k 1 oc att punkten (1, ) också ligger på normalen. Vi kan nu bestämma m genom ekvationen m m 5 Svar: Normalens ekvation y x + 5. Vi avslutar med grafen Figur : 1 Låt f(x) 4x + x. Bestäm a) f(1) b) f(1 + ) c) f(a) d) f(a + ) Funktionen är f(x) x. Gissa tangentens lutning i (0, 0). Bestäm först nollställena till funktionen f(x) x + x. Gissa därefter k-värdet till tangenten i det största av funktionens nollställen. 4 Bestäm den genomsnittliga förändringsastigeten os funktionen f(x) x + x i intervallet [, ] 5 Den vägsträcka, s meter, som en kropp rätlinjigt rört sig på tiden t sekunder bestäms av följande formel. Beräkna medelastigeten i tidsintervallet från t 1 1 till t 15 s(t) t Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 1 a) f(1) b) f(1 + ) 4(1 + ) + (1 + ) 4(1 + + ) + + c) f(a) 4a + a d) f(a + ) 4(a + ) + (a + ) 4(a + a + ) + a + 4a + 8a a + En inte allt för vågad gissning är k 0. I nästa föreläsning kommer vi att visa detta. Grafen ger oss ytterligare känsla för att gissningen är korrekt Figur 4: Först får vi funktionens nollställen genom att lösa ekvationen x + x 0 1 x 1 ± x 1 ± x 1 x 1 Vi ska nu alltså bestämma k-värdet till tangenten i punkten (1, 0). Vi tecknar differnskvoten f(x + ) f(x) f(1 + ) f(1) f(1 + ) f(1) (1 + ) + (1 + ) (1 + 1 ) ( + ) + När närmar sig 0 närmar sig sekantens k-värde som också är tangentens k-värde. Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 4 Vi ställer upp följande uttryck f() f( ) ( ) + (( ) + ( ) (4 ) 4 1 Svar: Den genomsnittliga förändingsastigeten är 1 5 Vi beöver s(1) oc s(15) Nu kan vi ställa upp följande uttryck s(15) s(1) Svar: medelastigeten är.41 m/s Räkna bokens uppgifter: 11, 14, 15, 16, 18, 19, 1, Fyra lutningar ska bestämmas, med jälp av fem punkter som vi läser ut ur diagrammet. k AB y x y y 1 x x k BC y x y y x x k CD y x y 4 y x 4 x k DE y x y 5 y 4 x 5 x b) 15 a) f(x) x y x f(6) f(4) 6 4 y() y(1) ( ) 16 Som Du vet beräknas k-värdet med jälp av formeln 16 k y x y y 1 x x 1 Punkten A (1, ) kommer att vara densamma ela tiden. Punkten B kommer att starta i (, 5) oc sedan närma sig A. Vi ska nu se ur k-värdet då Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 ändras k y x f() k y x f(1.5) k y x f(1.1) k y x f(1.01) Vi ar all anledning att tro att k-värdet kommer att närma sig i takt med att x-koordinaten os B närmar sig. 18 Funktionen f(x) x oc (, 4) är given. Eftersom vi ännu inte kan derivera måste vi bestämma tangents k-värde numeriskt. k y x f( ) f(.00001) (.00001) f( ) f(.00001) Det är inte svårt att gissa att tangentens k-värde är 4. Tangentens ekvation ges förstås på formen y 4x + m. Eftersom (, 4) är en punkt på linjen kan vi beräkna m genom 4 4 ( ) + m, m 4. Tangentens ekvation är y 4x 4 19 b) Vi använder samma teknik som i förra uppgiften bestämmer tangentens k-värde numeriskt. Funktionen är f(x) 6x x oc punkten på kurvan (4, 8). k f(x) f(4.0001) f(4) x Vi gissar nu att k t. Linjens ekvation y x + m kan bestämmas genom att sätta in den punkt vi känner (4, 8) m ger oss m 16 oc linjens ekvation y x Då funktionen är f(x) x får vi ändringskvoten f(a + ) f(a) + 4a (a + ) (a ) ( + a) ( + a) a + + 4a a + 16 En linje som går genom punkten (1, 1) oc ar k-värdet k 4 ar ett m-värde m, m. Detta leder till sekantens ekvation y 4x Vi ser att sekanten skär kurvan på två ställen oc vi är på jakt efter den andra skärningspunkten. Vi får ett ekvationssystem { y x y 4x Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Figur 5: y är uttryckt på två sätt, vilket leder till andragradsekvationen x 4x, med rötterna x 1 1 (ar vi redan) oc x. När x är y 9. Punkten vi söker är då (, 9) Håkan Strömberg 10 KTH Syd