1 Förändingshastigheter och derivator

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "1 Förändingshastigheter och derivator"

Transkript

1 Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, astigeten, eller folkmängden för de två tidpunkterna oc för f(t ) oc f(t 2 ), för att sedan bilda den genomsnittliga förändingsastigeten genom f(t 2 ) f(t ) t 2 t y 2 y t 2 t y x Figur.: Om funktionen ar ett oroligt förlopp säger egentligen den genomsnittliga förändringsastigeten ganska lite. I figuren ar vi: för punkterna ( 4, 0) oc (3.5, 5.6) y x ( 4) Men för punkterna ( 4, 0) oc (3, 0). Vi ändrar alltså endast det andra x-värdet med 0.5. y x ( 4) 0 7 0

2 2 Förändingsastigeter oc derivator Ganska stor skillnad eller ur. Annat resultat får vi ju mer funktionen liknar en rät linje. Om y beror av x så är den genomsnittliga förändringsastigeten Förändringskvoten y x förändingen över ett intervall intervallets längd.2 Lösta problem Övning. (304). Kl 0 : 20 avläste Emma bilens vägmätare till km oc kl 2 : 35 till km. Beräkna Emmas genomsnittliga astiget. När vi nu ska bestämma astigeten, vilken storet ska vi då använda: km/tim, m/s eller m/min? Vi bestämmer oss för den vanligaste då det gäller att framföra bilar. Emma ar kört km. Hon startade 0 : 20 oc kom fram 2 : 35. Hon beövde alltså 2 timmar oc 5 minuter, eller 2.25 timmar, för att nå målet. Vi kan nu bestämma den genomsnittliga astigeten till Svar: 6 km/tim Man måste förstås fråga sig var on framförde sitt fordon. För inte var det väl i Sverige? Övning.2 (305). Grafen visar den vägsträcka s m som ett föremål rört sig på tiden t s. Bestäm förändringen s i m från t 0.5 till t Frågeställaren är vänlig oc markerar gällande punkter på graferna. För båda graferna är t t 2 t Återstår att från grafen läsa av s oc s 2. I a) får vi s 5 m oc s 2 40 m som ger s s 2 s m. I får vi s 35 m oc 2 5 m som ger s s 2 s m Det gäller alltså att se upp med ordningen i subtraktionen oc inte bli frustrerad då resultatet blir negativt

3 .2 Lösta problem 3 Övning.3 (Ej med) För funktionen y f(x) vet man att f(8) 38 oc att f(2) 52. a) Bestäm ändringen i x, det vill säga x Bestäm ändringen i y, det vill säga y c) Bestäm den genomsnittliga förändringsastigeten y x d) Tolka vad ditt värde i c) betyder om y är ur många kg en x år gammal pojke väger. a) x x 2 x y y 2 y c) y x d) Pojken ökar i genomsnitt sin vikt med 3.5 kg/år Efter en snabb slagning på internet kan man konstatera att en normal 8-åring ska väga kring 27 kg oc en normal 2-åring 40 kg. I vår uppgift ar vi alltså att göra med en något överviktig pojke Övning.4 (307). Ett föremål faller fritt på månen. Fallsträckan s m kan då beräknas med s 0.8t 2, där t är tiden i sekunder. Bestäm a) fallsträckan från t 2.3 till t 2.7 medelastigeten i detta intervall. Här ar vi värden på t oc t 2 men inga värden på s oc s 2. Istället ar vi en formel som kan ge oss dessa värden. Vi får s oc s a) fallsträckan blir s 2 s m. medelastigeten blir s 2 s m/s t 2 t x

4 4 Förändingsastigeter oc derivator Övning.5 (308). Grafen visar den sträcka s m som ett föremål flyttat sig på tiden t s. Bestäm föremålets medelastiget i intervallet från t 2.0 till t Punkterna finns utsatta i grafen som vi kan bestämma koordinaterna för (t, s ) (2, 30) oc (t 2, s 2 ) (5, 50). Vi vet direkt ur vi ska antera dessa data, eller ur? s 2 s t 2 t m/s Övning.6 (309). Tabellen visar ur en epidemi brer ut sig. Tid x veckor Antal sjuka y Beräkna oc tolka den genomsnittliga förändringsastigeten av y med avseende på x i intervallet a) från x 2 till x 4 från x 0 till x 8 c) från x 8 till x 0 s står för antalet sjuka oc t för antalet veckor. a) s 2 s t 2 t 4 2 Antalet insjuknade ökade under dessa två veckor med 827 patienter/vecka s 2 s t 2 t 8 0 c) Antalet insjuknade ökade under dessa åtta veckor med 500 patienter/vecka. s 2 s t 2 t 0 8 Skönt, nu verkar kulmen a nåtts! Antalet sjuka under dessa två veckor ar minskat med 76 patienter/vecka Övning.7 (30). SMHI meddelar att dygnsmedeltemperaturen ökat med i genomsnitt 5 C månad från januari till juli. Skissa två olika grafer som beskriver ur temperaturen kan a varierat under våren.

5 .2 Lösta problem 5 0 J F M A M J J -0 Det är bara att konstatera att det kan se ut lite ur som elst, så länge Medeltemp Juli Medeltemp Januari 5 6 Övning.8 Nästan(3)I tabellen nedan ser du ar många kronor man måste betala i skatt för en viss månadslön Månadslön Skatt a Hur många procent i skatt betalar den som ar en en månadslön på 9500 kr? b Samma fråga för den som tjänar 950 kr/månaden. c Hur mycket, i kronor, får den beålla som ar månadslönen 900 oc får 00 kr i påökt? c Bestäm marginalskatten i procent mellan inkomsten 9800 oc a) Den som tjänar 9500 betalar 7080 i skatt % 9500 Den som tjänar 950 betalar 737 i skatt % 950 krona mer i lön ger 56 kronor mindre i plånboken. Den orättvisa man kan tycka finns är rättas till i samband med att den slutliga skatten beräknas året därpå.

6 6 Förändingsastigeter oc derivator c) att jämföra med Det blir alltså kr över d) Vi ska beräkna marginalskatten i procent för en person som tjänar 9800 oc får lönen öjd till % Svar: Marginalskatten i detta intervall är 57%. 0 x Övning.9 (36). Figuren visar en nyårsrakets öjd y m som funktion av tiden x s. Ange två punkter på grafen så att den genomsnittliga förändringsastigeten y y är cirka a) 35 m/s 30 m/s c) 0 m/s d) Beskriv resultaten i a) till c) med ord Som alltid när man läser i ett diagram andlar det om ungefärliga värden. a) sekund efter start är öjden cirka 35 m, som ger den genomsnittliga förändringsastigeten m/s. Efter 6 sekunder befinner sig raketen på öjden 60 m. Två sekunder senare, efter 8 s slår den i marken. Vi får då m/s. c) Grafen är av allt att döma symmetrisk kring x 4. Mellan vilka två punkter som elst, som ligger på ömse sidor om x 4 måste då förändringsastigeten vara 0, till exempel m/s Övning.0 Nästan (32). Låt N(t) vara antalet bakterier i en bakteriekultur efter t. Beräkna den genomsnittliga tillväxtastigeten från t.5 till t 2.0 om a) N(t) t 4 N(t) t + 5t 2 a) Vi använder oss av den givna funktionen oc beräknar N(.5) 08. oc N(2.0) 25.6 oc får N(2.0) N(.5) 35 bakterier/ 2.0.5

7 .2 Lösta problem 7 En blygsam tillväxt! Som ovan, men nu med en annan funktion som ger N(.5) oc N(2.0) 2060 oc får N(2.0) N(.5) bakterier/ Övning. (34). Temperaturen i en ugn f(t) C ändras med tiden t enligt f(t) t 3 6t + 20 Beräkna oc tolka ändringskvoten f(6) f() 6 Vi beräknar temperaturerna efter timme respektive 6 timmar med jälp av den givna funktionen. Sedan kan vi beräkna ändringskvoten, det vill säga med ur många grader ugnsvärmen stiger per timme under detta tidsintervall. f() 5 C oc f(6) 200 C som ger f(6) f() grader/timme Man kan förstås undra vad det är för ugn. Vid starten är temperaturen f(0) 20 C oc en timma senare ar temperaturen sjunkit till f() 5 C. Efter ett dygn f(24) 3700 C Övning.2 (33). Sant eller falskt? Beräknar vi ändringskvoten för en linjär funktion får vi alltid samma resultat, oavsett vilket intervall vi tar Ja, så är det förstås. När vi nu talar om räta linjer, ur brukar vi då beteckna ändringskvoten? Jo, med bokstaven k. Linjens k-värde är detsamma som ändringskvoten. Övning.3 (37). Hastigeten v(t) m/s för en sportbil ges av formeln v(t) 3.3t 0.44t 2, där t är tiden i sekunder oc 0 t 5. Beräkna oc tolka a) v(5) v(6) v(4) 2 a) v(5) 55.5 m/s ger svar på vilken fart bilen ar efter 5 sekunder. Efter 5 sekunder är förresten farten km/. Efter 5 sekunder gäller det att ålla i ratten för då är farten upp i 362 km/! v(6) v(4) 8.9 m/s 2 2 ger svar på medelaccelerationen mellan 4 oc 6 sekunder.

8 8 Förändingsastigeter oc derivator Övning.4 (38). En cylindrisk tank inneåller liter vatten. Genom ett ål i tankens botten rinner vatten ut. Volymen V liter efter t min ges av formeln V(t) t + 8t 2 a) När är tanken tom? Beräkna den genomsnittliga utströmningsastigeten i intervallet 8 t 22 c) Vad bör vi mena med utströmningsastigeten för t 20? d) I intervallet 0 t a är utströmningsastigeten 600 liter/min. Bestäm a. a) Genom att lösa V(t) 0 får vi svaret. Alltså andragradsekvationen t + 8t 2 0 Ekvationen ar en dubbelrot x,2 50. Tanken är alltså tom efter 50 minuter. Vi bestämmer först V(8) 892 oc v(22) 6272 oc därefter den numera bekanta kvoten V(t 2 ) V(t ) t 2 t 22 8 Vi tolkar det som att inströmningsastigeten är 480 liter/min oc att utströmningsastigeten är 480 liter/min. c) Här ar vi bara en tidpunkt given! Om vi tar reda på V(9) oc V(2) oc bestämmer ändringskvoten, borde det fungera ganska bra för att ge utströmningsastigeten efter 20 sekunder. Vi får V(2) V(9) Samma värde! Men om vi tar V(9.9) oc V(20.) V(20.) V(9.9) Samma igen! Nu gissar vi att utströmningsastigeten efter 20 minuter är 480 liter/min. Man vill ju se grafen! d) Kul! En ekvation. Vi utgår förstås från vår formel för ändringskvot V(a) V(0) a 600

9 .3 Kurvors lutning 9 Sen då? Vi ar ju V(t) t + 8t2 oc då är V(a) a + 8a2. V(0) Nu får vi a + 8a a som ger a 600 med lösningen a minuter efter att kranen öppnats är den genomsnittliga utströmningsastigeten 600 liter/min. Övning.5 (Ej med) För en funktion y f(x) vet man att f(a) c oc att den genomsnittliga förändringsastigeten av y med avseende på x är k i intervallet från x a till x b. Bestäm f(. Detta är en ren teoretisk uppgift. Inte ett enda tal är givet! Men vi ar vår formel för ändringskvoten att luta oss mot. f( c f( f(a) b a b a Vi vet nu att denna kvot ska vara lika med k oc får då ekvationen f( c k b a där vi löser ut f( oc får f( k(b a) + c Tänk på att något kan vara givet utan att man för den skull ar ett tal för denna storet. Här är k, a, b, c alla givna..3 Kurvors lutning y D B A C E x Övning.6 (Ej med) Bestäm ur diagrammet lutningen för linjestyckena AB, BC, CD oc DE.

10 Förändingsastigeter oc derivator 0 De 5 punkterna är A (0, 2), B (4, 4), C (6, 2), D (0, 5) oc E (, 2) AB BC CD DE y D C A E F B x Övning.7 (324). Ange för A F den eller de punkter som ar a) c) d) positiv lutning negativ lutning lutningen noll störst lutning Tänk dig en tangent till kurvan i aktuell punkt. Tangenten är ju en rät linje. En rät linje ar ett k-värde. Avgör för punkterna ur tangenten lutar. Positiv lutning: C oc F Negativ lutning: A oc E Ingen lutning: B oc D Störst lutning: C Övning.8 (334). a) Vad menas med en kurvas medellutning i ett intervall? Vad menas med en kurvas lutning i en punkt? a) I ett intervall finns ett största oc ett minsta värde x2 oc x. Bestäm f(x2 ) oc f(x ) oc beräkna medellutningen med formeln f(x2 ) f(x x2 x

11 .3 Kurvors lutning Tangentens lutning Övning.9 (223). Beräkna medellutningen för kurvan y 4x x2 i intervallet x 2. y(2) oc y() Vi får nu medellutningen y(2) y() 2 Övning.20 (Ej med) Bestäm medellutningen i intervallet x 3 för kurvan a) y 2x y 2 x Samma sak två gånger till! a) y 2 yx + B A(,2) x Övning.2 (330). Ange k-värdet för en linje genom A oc B om B ar x- koordinaten a) c) d) e) Studera dina svar i a) till d). Vilken lutning tror du en tangent till kurvan i A bör a?

12 2 Förändingsastigeter oc derivator A (, 2) oc f(x) x 2 + f(x) 2 x x f(x) a) c) d) För x-värden ännu närmare gissar vi att tangenten kommer att a k-värdet. Övning.22 (Ej med) Punkten (3, 9) ligger på kurvan y x 2. a) Bestäm k-värdet för sekanten genom punkterna (3, 9) oc ((3 + ), (3 + ) 2 ) Bestäm k-värdet för tangenten i punkten (3, 9) genom att låta närma sig 0. c) Ställ upp ekvationen för tangenten i punkten (3, 9). a) (3 + ) ( När går mot 0, blir mindre oc mindre går 6 + mot 6. Man skriver lim är en förkortning av limes. lim c) Resultatet av gränsvärdet betyder att tangentens k-värde är 6. När man ar en punkt (3, 9) oc k 6 kan man bestämma tangentens ekvation m-värdet får vi ur m m 9 oc linjens ekvation blir då y 6x 9. Övning.23 (Ej med) Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y x 2 i punkten ( 2, 4). Upprepning är pedagogikens moder. Vi ska alltså genomföra det vi gjorde i förra uppgiften. Dels ar vi punkten ( 2, 4) oc så skapar vi en virtuell punkt ( 2 +, ( 2 + ) 2 ). Så bestämmer vi ändringskvoten nu f(x 2 ) f(x ) ( 2)2 4 x 2 x 2 ( 2) ( 4) 4 + lim Tangenten ar alltså k 4. Vi ar en punkt oc k-värdet oc kan då först bestämma m genom 4 ( 4) ( 2) + m som ger m 4. Vi ar nu tangentens ekvation y 4x 4

13 .3 Kurvors lutning 3 Övning.24 (Ej med) Vilken lutning ar kurvan till y 6x x 2 i punkten a) (0, 0) (4, 8) a) Vi ar en punkt, (0, 0) oc skapar en till (0 +, 6(0 + ) (0 + ) 2 ). Ändringskvoten insatt i limes direkt ger 6 2 lim 0 0 lim (6 ) 6 0 Vi ar en punkt, (4, 8) oc skapar en till (4 +, 6(4 + ) (4 + ) 2 ). Ändringskvoten insatt i limes direkt ger 6(4 + ) (4 + ) 2 8 (2 + ) lim lim Övning.25 (335). Skissa en egen kurva för vilket följande gäller: medellutningen 0 i intervallet 3 x 0 lutning i punkten (0, 0) lutning 0 i punkten (2, 2) lutning 2 i punkten (4, 0) Jag ar fuskat lite med sådant vi inte lärt oss ännu. f(x) x4 47 3x3 76 9x x Det finns oändligt många funktioner som uppfyller villkoren. Detta är en oc säkert inte den enklaste. Om man endast ska skissa en graf utan att ta reda på funktionen ritar man först ut tangenterna oc fyller i en passande graf.

14 4 Förändingsastigeter oc derivator Övning.26 (Ej med) Ställ upp oc förenkla ändringskvoten för funktionen f(x) x 2 3, då x ändras från a till a +. f(x 2 ) f(x ) (a + )2 3 (a 2 3) (a + )2 3 (a 2 3) (2a + ) 2a+ x 2 x a + a Övning.27 (Ej med) Förenkla differenskvoten för a) f(x) 3x f(x) 5x 2 c) f(x) 6 4x d) f(x) x 2 3x + f(x + ) f(x) a) 3(x + ) 3x x + x 3 3 5(x + ) 2 5x 2 x + x 5(x x) 5x x (5 + 0x) 0x + 5 c) 6 4(x + ) (6 4x) x + x 6 4x x) x + x 4 4 d) (x + ) 2 3(x + ) + (x 2 3x + ) x + x 2x x + x x2 + 2x + 2 3x 3 + x 2 + 3x x + x (2x + 3) 2x 3 +

15 .3 Kurvors lutning 5 Övning.28 (Ej med) En kropp faller fritt. Efter t s ar kroppen fallit s m enligt s 5t 2 a) Bestäm med en ändringskvot ett ungefärligt värde på kroppens astiget efter 2.5 s genom att ) beräkna en ändringskvot där t 0.0 2) rita upp grafen med räknaren, zooma in oc läs av två punkter nära t 2.5 Bestäm exakt astigeten efter 2.5 s med jälp av differenskvoten f(2.5 + ) f(2.5) a) a2) 5( ) ( ) Läser vi av i grafen får f(2.5 + ) f(2.5) Vi genomför gränsövergången 5(2.5 + ) ( lim Det är nog bara tur att vi får ett bättre värde (det exakta) i a2) än i a).

16 6 Förändingsastigeter oc derivator Övning.29 (Ej med) Vilken lutning ar kurvan y x 2 x i den punkt som ar x-koordinaten a? (a + ) 2 (a + ) (a 2 a) a + a a2 + 2a + 2 a a 2 + a + 2a + Ett lika enkelt gränsvärde lim 2a + 2a 0 Övning.30 (Ej med) En sekant med lutning 4 går genom punkterna A oc B på kurvan y x 2. Vilka koordinater ar punkten B om punkten A (, )? x oc y 2 y(x 2 ) x 2 x2 2 x 2 (x 2 )(x 2 + ) x 2 + (x 2 ) Vi får ekvationen x som ger x 2 3. Då blir y Om vi vill, kan vi nu bestämma sekantens ekvation. Vi ar en punkt (eller egentligen två) oc k 4. Vi bestämmer m genom ekvationen 4 + m oc får m 3 oc sekantens ekvation y 4x 3 Här en bild som visar vad vi åller på med: Övning.3 (236). Vilken lutning ar kurvan y x 3 där x 2? Här blir det lite extra jobbigt eftersom man ska beräkna ett uttryck liknande (a + 3. (x + ) 3 x 3 x + x x3 + 3x x + 3 x 3 (3x2 + 3x + 2 ) 3x 2 + 3x + 2 Vi använder oss av limes oc får lim 0 3x2 + 3x + 2 3x 2

17 .3 Kurvors lutning 7 Inte förrän nu sätter vi in x 2 oc får lutningen Vi ade förstås kunnat sätta in x 2 från början. Då får vi (2 + ) ( ) oc lim Övning.32 (Ej med) Visa att kurvorna y ax 2 oc y ax 2 + b ar samma lutning för alla värden på x. Funktionen y ax 2 ger a(x + ) 2 ax 2 x + x ax2 + 2ax + a 2 ax 2 (2ax + a 2ax + a Funktionen y ax 2 + b ger lim 2ax + a 2ax 0 a(x + ) 2 + b (ax 2 + x + x ax2 + 2ax + a 2 + b ax 2 b (2ax + a 2ax+a lim 2ax + a 2ax 0 Här är en bild över detta där a 3 oc b Genom att lägga till en konstant b 2 skjuter vi bara grafen 2 eneter i öjdled. Detta påverkar inte lutningen os kurvan.

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Förändringshastighet ma C

Förändringshastighet ma C DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Uppgifter ur Nationella prov Kurs A Ur del II utan räknare: När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

9-2 Grafer och kurvor Namn:.

9-2 Grafer och kurvor Namn:. 9-2 Grafer och kurvor Namn:. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad som menas med koordinatsystem och hur man kan visa hur matematiska funktioner kan visas i ett koordinatsystem. Det är i och

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Lösa ekvationer på olika sätt

Lösa ekvationer på olika sätt Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7 Kontroll 13 Uppgift 1 Avståndet, r parsec, till en stjärna kan bestämmas med formeln M = m + 5 5 lgr där M =stjärnans absoluta ljusstyrka och m =stjärnans skenbara ljusstyrka. (1 parsec= 3.26 ljusår= 9.46

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C (kursplan 2000) VÅREN 2002

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C (kursplan 2000) VÅREN 2002 Skolverket änvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Träningsprov funktioner

Träningsprov funktioner Träningsprov funktioner 1. Använd koordinatsystemet nedan a) Vilka koordinater är markerade? b) Markera följande koordinater E: 0,6, F: 3, 2, G: 1, 2 och H: ( 3,2). 2. Skriv en berättelse som överensstämmer

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

Lärarservice: Studs, rörelse och energi

Lärarservice: Studs, rörelse och energi Lärarservice: Studs, rörelse och energi Inledande anmärkning angående sätt för datainsamling: Om du inte har tillgång till labsläde kan du ändå genomföra detta försök genom att ansluta detektorn till en

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaE vt00 lämpliga för Ma4 1(9) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 00 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik är att

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Repetitionsuppgifter D5

Repetitionsuppgifter D5 Repetitionsuppgifter D5 1. Skriv koordinaterna för punkterna A-D 2. Rita ett liknande koordinatsystem och markera punkterna E = (1,0), F = (6,1), G = (5,6) H = (0,5) 3. Diagrammet visar hur mycket bensin

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer