DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2"

Transkript

1 DERIVATA Läs avsnitten Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt oc upplysande att försöka ta sig igenom dem i alla fall. Avsnitt 6.3 Man kan bevisa att Dx n = nx n genom att använda -definitionen också: Enligt binomialsatsen är Alltså är differenskvoten f(x + ) f(x) f f(x + ) f(x) (x + ) n x n (x) = lim = lim. 0 0 (x + ) n = x n + nx n + = (x + )n x n ( ) n x n n. 2 = nx n + ( ) n x n n. 2 Punkterna betyder termer som alla inneåller minst en faktor oc då 0 så går dessa mot 0. Alltså får vi f (x) = nx n. Vi skall säga några ord om derivatan av en exponentialfunktion f(x) = a x, där a > 0. Differenskvoten är f(x + ) f(x) = ax+ a x = ax a a x = a x a. Vi kan nu till att börja med konstatera att f är deriverbar, dvs att gränsvärdet om oc endast om gränsvärdet f(x + ) f(x) lim 0 a lim 0 existerar. existerar existerar. Men detta gränsvärde är inget annat än derivatan av f i x = 0, så f är deriverbar i en godtycklig punkt om oc endast om den är deriverbar i 0. Deriverbareten i en punkt vilken som elst följer alltså av deriverbaret för x = 0. Vidare får vi f f(x + ) f(x) (x) = lim = a x a lim = a x f (0). 0 0

2 Med metoder som ligger utanför den är kursen kan man bevisa att f(x) = a x verkligen är deriverbar i 0 oc därför för alla x. Man kan också visa att det finns ett oc endast ett värde på a för vilket derivatan f (0) är lika med. Detta värde på a betecknas e. Vi ar således De x = e x. För att derivera sinus oc cosinus måste man använda några av alla de trigonometriska formlerna oc i boken änvisas till en viss formel i beviset av D cos x = sin x. Beviset för D sin x = cos x är lämnat som övning. Här kommer båda ärledningarna från början. För att derivera sinus använder vi additionsformeln: Detta ger varför sin(x + ) = sin((x + /2) + /2) = sin(x + /2) cos(/2) + cos(x + /2) sin(/2) sin x = sin((x + /2) /2) = sin(x + /2) cos(/2) cos(x + /2) sin(/2) sin(x + ) sin x = 2 cos(x + /2) sin(/2) sin(x + ) sin x = cos(x + /2) sin(/2). /2 När 0 så går cos(x + /2) mot cos x (det är påståendet är inte alldeles självklart oc beror på att cosinus är kontinuerlig). Kvoten sin(/2)/(/2) går mot, så sin(x + ) sin x D sin x = lim = cos x = cos x. 0 För cosinus får vi varav cos(x + ) = cos((x + /2) + /2) = cos(x + /2) cos(/2) sin(x + /2) sin(/2) cos x = cos((x + /2) /2) = cos(x + /2) cos(/2) + sin(x + /2) sin(/2) cos(x + ) cos x = 2 sin(x + /2) sin(/2). På samma sätt som i sinus-fallet följer att D cos x = sin x. Deriveringsreglerna i Satserna 6.2 oc 6.3 måste man kunna utantill. Det räcker i praktiken inte att veta var man kan slå upp dem varje gång de beövs, utan de måste alltså sitta i ryggmärgen. Avsnitt 6.4 oc 6.5 Kedjeregeln Sats 6.4 är också en regel som man elt enkelt måste beärska. Som ytterligare ett exempel på ur den fungerar kan vi derivera cosinus på 2

3 ett annat sätt. Vi ar ju cos x = sin(π/2 x). Om vi sätter u(v) = sin v oc v(x) = π/2 x, så är cos x = u(v(x)) oc kedjeregeln ger D cos x = u (v(x))v (x). Nu är ju u (v) = cos v oc v (x) =, så D cos x = (cos v(x)) ( ) = cos(π/2 x) = sin x. Sats 6.5 om derivatan av invers funktion kan vara lite knepig att förstå första gången man ser den, så låt oss se på den med geometriska ögon. Om y = f(x) är inverterbar så får man inversen genom att byta x oc y, dvs den ges av sambandet x = f(y). Löser man ut y så får man y = f (x). Låt x 0 vara en fix punkt oc sätt y 0 = f(x 0 ), så att punkten (x 0, y 0 ) ligger på grafen till y = f(x). Då ligger (y 0, x 0 ) på grafen till y = f (x). Tangenten till kurvan y = f (x) (dvs x = f(y)) i punkten (y 0, x 0 ) får man därför genom att i ekvationen för tangenten till y = f(x) i (x 0, y 0 ) byta x oc y. Men den är tangenten ar ekvationen y = y 0 + f (x 0 )(x x 0 ) oc byter vi x oc y så får vi förstås Löser vi ut y så får vi x = y 0 + f (x 0 )(y x 0 ). y = x 0 + f (x 0 ) (x y 0) under förutsättning att f (x 0 ) 0. Detta är således ekvationen för tangenten till y = f (x) i punkten (y 0, x 0 ). Men ekvationen kan även skrivas y = f (y 0 ) + (f ) (y 0 )(x y 0 ) oc jämför vi de två ekvationerna så får vi (f ) (y 0 ) = f (x 0 ), där y 0 = f(x 0 ). Exempel 6.25 oc 6.26 andlar om implicit derivering, ett begrepp som inte riktigt definieras. Låt oss börja med begreppen implicit oc explicit. Man säger att en funktion är given explicit om den är given i den vanliga formen y = f(x), där f är något uttryck i x, t ex f(x) = x 3 sin x. Men funktioner definieras ibland på andra sätt också, t ex som i Exempel 6.26, där funktionen y definieras genom att den uppfyller sambandet y 3 + = x 2. För varje värde på x ger den är ekvationen ett enda värde på y, så sambandet definierar verkligen y som en funktion av x. En sådan funktion säges vara definierad implicit. I det är fallet kan man förstås lösa ut y oc få y = 3 x 2, vilket ger funktionen explicit. Ett annat exempel på en implicit definierad funktion är y + e y = x, men är I praktiken är det inte alls säkert att man kan lösa ut y i den meningen att man får ett uttryck i x. Inversen till y = sin x är x = sin y, dvs y = arcsin x, men egentligen är ju arcsin bara en beteckning vi ar infört på den inversa funktionen till sinus. 3

4 går det inte att lösa ut y oc få en explicit definierad funktion (i alla fall inte så att man får en enkel formel). Däremot kan man i viss mening derivera funktionen y i sambandet y + e y = x 3. Båda sidorna är nämligen funktioner av x oc vänsterledet är en sammansatt funktion. Enligt kedjeregeln är derivatan av vänsterledet y + y e y = y ( + e y ). Derivatan av ögerledet är ju 3x 2, så vi får y ( + e y ) = eller y = 3x 2 /( + e y ). Lägg märke till att det uttryck vi får för derivatan inneåller både x oc y. Metoden med implicit derivering kan man som det står i boken använda för att derivera t ex arcuscosinus. För sambandet y = arccos x betyder detsamma som x = cos y. Här är ögerledet en sammansatt funktion (ty y är en funktion av x). Derivering av båda leden ger = ( sin y) y, så att y = sin y = cos2 y = x 2. Man kan ärleda formeln D ln x = /x på samma sätt, för sambandet y = ln x är ekvivalent med x = e y. Här är ögerledet en sammansatt funktion oc kedjeregeln ger att dess derivata är e y y. Alltså är = e y y oc y = e y = x. Det finns ett dolt problem med de är implicita deriveringarna, nämligen att de förutsätter att man vet att funktionen y är deriverbar, vilket inte är uppenbart. Men om man bara vet det (genom någon annan sats), så är implicit derivering en användbar metod. Det går utmärkt att använda implicit derivering för att ge ett annat bevis för Sats 6.5. För att f är inversen till f betyder ju att f (f(x)) = x för alla x. Om vi vet att f är deriverbar, så ger kedjeregeln (f ) (f(x)) f (x) =, dvs (f ) (y 0 ) = f (x 0 ) där y 0 = f(x 0 ). Problemet med den är ärledningen är alltså att vi på något annat sätt först måste visa att f är deriverbar om f är det. Men det är en detalj som vi oppar över. En annan typ av motivering av några deriveringsregler Det är avsnittet är till för den som vill a ytterligare ett sätt att se på derivata oc se en annan motivering av några av deriveringsreglerna. En tolkning av derivatan f (x 0 ) är att den är lutningen os tangenten till y = f(x) i punkten x = x 0. Tangentens ekvation blir då y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) eller y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Geometriskt oc intuitivt är det rimligt att säga att tangenten är den räta linje som ansluter bäst till funktionens graf i näreten av x = x 0, så i näreten av punkten bör vi a f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) eller f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). () 4

5 Vi kan inte veta ur noggrann den är approximationen är för ett visst givet värde på x, men ju närmare x 0 punkten x är, desto bättre bör den vara. Ett annat sätt att se detta är att använda derivatans definition: f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Eftersom derivatan är gränsvärdet av differenskvoten, så bör f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 när x är nära x 0. Detta är ett annat sätt att skriva (). (Det är kommer vi att diskutera vidare i avsnittet om Taylors formel, som är en förbättring av ().) Låt nu f oc g vara två deriverbara funktioner. Då ar vi f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) g(x) g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) oc om vi adderar de är två sambanden så får vi f(x) + g(x) (f(x 0 ) + g(x 0 )) + (f (x 0 ) + g (x 0 ))(x x 0 ). Koefficienten för x x 0 bör ju vara derivatan av f + g, så (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Lägg dock märke till att det är inte är ett bevis, utan bara en motivering! Intressantare blir det om man multiplicererar: f(x)g(x) (f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ))(g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 )) = f(x 0 )g(x 0 ) + (f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ))(x x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 )(x x 0 ) 2 När x är nära x 0 så är (x x 0 ) 2 mycket mindre än x x 0, så f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) + (f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ))(x x 0 ). Koefficienten för x x 0 är derivatan av fg, så (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). Visst är det är ganska elegant, men tänk återigen på att det inte är ett fullständigt bevis, utan bara ett sätt att motivera produktregeln. Till oc med kedjeregeln kan motiveras (oc kanske bli mer begriplig) med den är metoden. Sätt y = g(x) oc y 0 = g(x 0 ). När x är nära x 0 så är y nära y 0 (vilket beror på att g är kontinuerlig). Vi ar g(x) g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) f(y) f(y 0 ) + f (y 0 )(y y 0 ). 5

6 Men y y 0 = g(x) g(x 0 ) g (x 0 )(x x 0 ), vilket ger f(g(x)) = f(y) f(y 0 ) + f (y 0 )g (x 0 )(x x 0 ) = f(g(x 0 )) + f (g(x 0 ))g (x 0 )(x x 0 ). Koefficienten för x x 0 är derivatan av f(g(x)), vilket ger (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Lösningar till några övningar 6..c) Differenskvoten är Detta ger f(x + ) f(x) d) Differenskvoten är = ( x + ) = x = x(x + ) = ( ) f (x) = lim 0 x(x + ) x(x + ). x (x + ) x(x + ) = x x = x 2. f(x + ) f(x) = = x + x = ( x + x)( x + + x) ( x + + x) (x + ) x ( x + + x) = ( x + + x) = x + + x där vi använde knepet att förlänga med x + + x. Alltså är f (x) = lim = = 0 x + + x x + x 2 x. 6.2.d) Den är uppgiften är intressant på så sätt att man kan beräkna derivatan på två olika sätt. Antingen använder man produktregeln på båda termerna: f (x) = D(cos x) cos x + cos xd(cos x) + D(sin x) sin x + sin xd(sin x) = sin x cos x sin x cos x + cos x sin x + cos x sin x = 0 eller så anvnder man först trigonometriska ettan, som ger f(x) = för alla x. Alltså är f (x) = 0. Det är ju skönt att resultatet blit detsamma med de två metoderna! 6.4.a) Lägg först märke till att sin x 2 skall tolkas som sin(x 2 ) oc alltså inte som (sin x) 2! Om vi sätter u(v) = sin v oc v(x) = x 2, så är f(x) = sin x 2 = u(v(x)) oc enligt kedjeregeln är f (x) = u (v(x))v (x) = cos v(x) 2x = 2x cos x 2. 6

7 b) Det enklaste sättet att räkna ut derivatan är förstås att observera att f(x) = sin(arcsin x) = x, så att f (x) =. men det går även bra att använda kedjeregeln. Sätt u(v) = sin v oc v(x) = arcsin x. Då är f (x) = u (v(x))v (x) = cos v(x) = sin 2 (arcsin x) = cos(arcsin x) x 2 x 2 x 2 = x 2 x 2 =. (Det andra sättet är ju väsentligen ärledningen av derivatan av arcussinus.) 6.5.b) Derivatan är ( ) x ln x D x 2 + = D(x ln x)(x2 + ) x ln xd(x 2 + ) (x 2 + ) 2 = (ln x + x /x)(x2 + ) x ln x 2x (x 2 + ) 2 = (ln x + )(x2 + ) 2x 2 ln x (x 2 + ) 2 så att f () = (0 + ) ( + ) 2 0 ( + ) 2 = 2. d) Här måste man använda kedjeregeln. Sätt u(v) = ln v oc v(x) = arctan x, så att f(x) = u(v(x)). Då är f (x) = u (v(x))v (x) = v(x) + x 2 = ( + x 2 ) arctan x. 6.6.b) Vi börjar med att förenkla: ln xe 2x = ln( x e 2x ) = ln x + ln e 2x = ln x + 2x (observera att e 2x > 0 för alla x, så vi kan ta bort absolutbeloppstecknen). Derivatan är /x + 2 med ett enda nollställe x = /2. c) Kvotregeln ger ( ) 2x D + x 2 = D(2x)( + x2 ) 2xD( + x 2 ) ( + x 2 ) 2 = 2( + x2 ) 2x 2x ( + x 2 ) 2 = 2 2x2 ( + x 2 ) 2. Nollställena är således x = ±. d) Sätt u(v) = arctan v oc v(x) = x 2. Enligt kedjeregeln är derivatan f (x) = u (v(x))v (x) = Det finns alltså ett enda nollställe, nämligen x = 0. + v(x) 2 ( 2x) = 2x + ( x 2 ) 2. 7

8 6.7. Vi börjar med att fundera över ur vinkeln mellan en linje y = kx + m oc x-axeln beror på konstanterna k oc m. Om k = 0 så är linjen parallell med x-axeln oc i så fall skär de varandra bara i fallet m = 0 (i vilket fall de sammanfaller). Vinkeln är då 0. Antag att k 0 oc beteckna skärningspunkten med (a, 0). Om x-koordinaten ökar med, så ökar y-koordinaten med k (vilket är en minskning om k < 0). I figuren nedan ser vi att tan α = k/ = k. Riktningskoefficienten k är lika med derivatan av f för x = 2, som är f (2) = =. Vinkeln mellan tangenten oc positiva x-axeln är således 3π/4, så den spetsiga vinkeln är π/ Enligt kedjeregeln är f (x) = + (x 2 4) 2 2x, varför f (2) = = 4. Eftersom f(2) = arctan(2 2 4) = 0 så är tangentens ekvation y 0 = 4(x 2), dvs y = 4x Mellan kl 6 på morgonen oc kl 6 på eftermiddagen ar temperaturen ändrats med π(8 8) π(6 8) T (8) T (6) = sin 2 6 sin 2 2 = 6 sin 5π ( 6 6 sin π ) = = 6. 6 Medeländringen är T (8) T (6) = = 2. Derivatan är T (t) = 6 π ( ) π(t 8) 2 cos = π ( ) π(t 8) 2 2 cos. 2 8

9 Förändringsastigeten kl 4 på morgonen är T (4) = π 2 cos ( π(4 8) 2 ) = π2 ( cos π ) = π 3 4. På samma sätt räknar man ut förändringsastigeten kl 8 på fm oc 4 på em. Den är 0 då π(t 8)/2 = ±π/2, vilket ger t = 2 eller t = 4, dvs kl 2 på fm oc em. Eneten är i alla fallen grader per timme. 9

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Modul 2 Mål och Sammanfattning

Modul 2 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017 Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Calmers tekniska ögskola Datum: 1015 kl. 0.0 12.0 Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 07 607040 LMA222a Matematik DAI1 oc EI1 Tentan rättas oc bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts. 5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER. L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

8.4. Integration av trigonometriska uttryck

8.4. Integration av trigonometriska uttryck 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon Gränsvärde av f (x) då x +

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Redo för terminstart?

Redo för terminstart? I ij = ρ(r)(r 2 δ ij x i x j )dv V Δx Δp x ħ 2 Redo för terminstart? Hej! Vi från Teknisk fysik hälsar dig välkommen till vårt program. Som nybliven student är du säkert nyfiken på hur det är att studera

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod. Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Tentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår

Tentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår Tentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår Kurskod: MVE45 B Telefonvakt: tel. Datum: 4 augusti 016 Tid för tentamen: 14.00-18.00 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser: Betyg : 0-1, Betyg 4: - 41, Betyg 5:

Läs mer

f (a) sin

f (a) sin Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer