Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Transkript

1 Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 3 poäng. 0 3 poäng: U. 4 3 poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men ar några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. (a) Skriv upp derivatans definition. (p) f f (x+) f (x) (x)=lim 0 Rättningsnorm: Kan i princip bara bli rätt eller fel, men det finns ett par olika ekvivalenta formuleringar. (b) Bestäm g ( ) då g(x)=/( x) med jälp av defintionen. (Ingen poäng för beräkning på annat sätt.) (p) Sätt in i definitionen: g () 0 0 ( +) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) = ( 0) = 4 Rättningsnorm: Korrekt insättning i definitionen oc konstruktivt påbörjad beräkning: p. Kommit till korrekt svar på det gränsvärde man satt upp: p. (c) Ge ett exempel på en funktion som inte är deriverbar i ela sin definitionsmängd, oc tala också om var den inte är deriverbar. (p) Typexempel: f (x) = x, som inte är deriverbar i x = 0 (örn). Andra exempel: f (x) = 3 x, inte deriverbar i x=0 (lodrät tangent), f (x)= x /3, inte deriverbar i x=0 (spets). Rättningsnorm: Både funktion oc problempunkt måste vara med för poäng. Derivera nedanstående två uttryck, oc förenkla svaren om det verkar motiverat. (Här får deriveringsreglerna användas.) (d) x ( cos 3x+4 sin 3x) (p)

2 MAA4 Lösning Sida (av 6) (e) Produktregeln oc kedjeregeln: x ln ( cos 3x+4 sin 3x)+ x ( sin 3x+ cos 3x)= = x( ( ln +) cos 3x+(4 ln ) sin 3x ) (Lite en smaksak vad man tycker är enklast.) 5 (ln 5x) e x (p) Enklare att ta som produkt, genom att ersätta divisionen med ett minustecken i exponenten. Observera att 5 är en konstant! ( 5 5 5x e x + (ln 5x) e x ( x) ) = 5e x ( x ln 5x) x Rättningsnorm: (Gäller båda beräkningarna:) Helt rätt krävs för full poäng. Högst olika fel (missat produkt; tappat inre derivata; osv): p. (a) En bassäng i ett äventyrsbad ar följande mått: längden är 5 m, bredden är 0 m, oc botten sluttar så att vattnet, då bassängen är full, ar djupet,5 m i ena kortändan oc precis 0 m i andra. Bassängen åller nu på att fyllas, med astigeten m3 /min. Hur snabbt stiger vattenytan när vattendjupet i den djupa ändan är 75 cm? (4p) Kalla volymen V, djupet, bredden b oc vattenytans längd l. Likformiget ger att l=0 oavsett djup. Vi ar V= bl = b 0 = 5b Om vi deriverar med avseende på tiden t (oc åller i minnet att b är konstant) får vi dv dt = 5b d dt Insättning av de givna värdena ger att =5 0 0,75 d dt d dt = 75 0,0667 m /min Rättningsnorm: Insett l = 0: p. Ställt upp rätt uttryck för volymen: p. Deriverat korrekt: p. Satt in värdena oc löst ut: p. (b) En kurva beskrivs av ekvationen sin x+sin y=. Punkten (x, y)=( π 4,π 4 ) ligger på kurvan. Bestäm ekvationen för tangentlinjen till kurvan i denna punkt. (4p) Derivera implicit: sin x+sin y= d dx (sin x+sin y)= d dx sin x cos x+( sin y cos y)y = 0 y sin x cos x x = = sin sin y cos y sin y

3 MAA4 Lösning Sida 3 (av 6) I den angivna punkten är derivatan y = (sin( π/))/(sinπ/)=. Tangentlinjen blir y π 4 = (x ( π 4 )) y= x+π Alternativt kan man analysera ekvationen: sin x+sin y= sin x= sin y=cos y ± sin x=cos y Ur detta får vi cos y=sin x=cos( π x) cos y= sin x=cos( π + x) y=±(π x)+nπ= x+ π + nπ x π + nπ y=±(π + x)+nπ= x+ π + nπ x π + nπ Detta är en el serie räta linjer, älften snett uppåt oc älften snett neråt så att de bildar ett nät. Den angivna punkten ingår i den av linjerna som ar ekvationen y= x+π/. Tangentlinjen till en linje är linjen själv Rättningsnorm: Implicitmetoden: Deriverat korrekt implicit: p. Löst ut y : p. Fått fram lutningen: p. Tagit fram linjen: p. Alternativmetoden: Skrivit om ekvationen på något konstruktivt sätt: p. Löst den fullständigt: p. Identifierat svaret: p. 3 Analysera funktionen f ur alla relevanta synpunkter, oc skissa grafen, då f (x)= x x (8p) Analys: () Funktionen är udda, så vänsteralvan är en upp-oc-nervänd version av ögeralvan.

4 MAA4 Lösning Sida 4 (av 6) () Definitionsmängden är allt utom 0. (Uttrycket under rottecknet kan inte bli negativt, så det är bara divisionen som begränsar.) (3) Värdena är positiva för x>0 oc negativa för x<0. (Rotuttrycket är ju alltid positivt, så tecknet avgörs av nämnaren.) (4) Vertikal asymptot i x=0. Ur föregående punkt framgår vad som änder vid denna, men om vi vill beräkna: lim f (x) x 0 + x 0 + Symmetrin ger att lim x 0 f (x)= (5) Sneda asymptoter: pos x4 + 6 x pos = f (x) x4 + 6 k x x x 4 (x 4 + 6) x4 + 6 x x x x x + 6 x = +0 = Det finns alltså en sned asymptot med riktningskoefficient (eller möjligen två olika, som går mot y-axeln på olika öjd). ( ) ( x m f (x) kx x ) x4 + 6 x x x Sådana är uttryck kan man antera med följande förlängning: lim x4 + 6 x x x x x x x x 4 x( x x ) 6 x( x x ) = 0 (eftersom täljaren är konstant oc nämnarens belopp går mot oändligeten). y=x+ 0= x är alltså sned asymptot. (6) Horisontella asymptoter kan inte finnas samtidigt som sneda. (7) Derivata: f (x)= 4x 3 x x x x = = x4 6 x x Nollställen då x 4 6=0, dvs. i x=±. Teckentabell: 0 f (x) f (x) ր ց ց ր Lokalt max i x=, värde f ( )=, min i x=, värde f ()=. (8) Andraderivatan är (efter förenkling) f (x)= 3(3x4 + 6) x 3 (x 4 + 6) 3/ Den är positiv för positiva x oc negativ för negativa. Finns inga inflexionspunkter; kurvan är konkav uppåt i ögeralvan oc neråt i vänsteralvan. (9) Denna bild visar grafen:

5 MAA4 Lösning Sida 5 (av 6) Rättningsnorm: Om analysen inneåller definitionsmängd, någon analys av vad som änder vid den lodräta asymptoten, korrekt derivataanalys oc minst tre ytterligare korrekt genomförda saker ges 6p för analysen. p för graf som stämmer överens med det som man kommit fram till (oavsett om detta var rätt eller fel). 4 (a) Skriv upp medelvärdessatsen (mean value teorem). (p) Om f är kontinuerlig på [a, b] oc deriverbar på (a, b) så finns det någon punkt x = c mellan a oc b sådan att f (c)(b a)=. Rättningsnorm: För poäng måste villkoren om kontinuerlig oc deriverbar finnas med. (b) Rolles sats lyder: Om f är kontinuerlig på [a, b], deriverbar på (a, b) oc f (a)= f (b) så finns en punkt x=c mellan a oc b sådan att f (c)=0. Bevisa medelvärdessatsen. Du får använda Rolles sats i beviset. Definiera en funktion g enligt g(x)= f (x) (x a) (3p) (Denna funktion är då avståndet mellan grafen för f oc kortaste vägen mellan ändpunkterna.) Denna är kontinuerlig på [a, b] oc deriverbar på (a, b) (eftersom f är det oc tillägget är linjärt oc också kontinuerligt oc deriverbart). g(a)= f (a) g(b)= f (b) (a a)= f (a) ()= f (a)

6 MAA4 Lösning Sida 6 (av 6) så g(a)=g(b). g uppfyller därmed villkoren för Rolles sats, oc då måste det finnas en punkt x=c mellan a oc b sådan att g (c)=0. g (c)= f (c) = 0 f (c)()= Rättningsnorm: Helt rätt: 3p. Missat någon detalj: p. Åtminstone visat att man förstår själva idén (t.ex. med en bra illustration): p. (c) Funktionen f definieras av f (x)=arcsin x+ x. Bestäm lokala extrempunker oc största oc minsta värde os f. Motivera noga. (4p) I en sådan är analys ska man kontrollera kritiska punkter (derivata noll eller odefinierad) oc ändpunkter. Funktionen är definierad för x, så vi ar ändpunkterna x = ±. Derivatan blir f (x)= x = x x x x Derivatan är odefinierad (division med noll) i ändpunkterna, men dessa skulle ju ur som elst undersökas. f (x)=0 då x=0, dvs. då x=. Vi ar alltså en kritisk punkt. Teckenstudium: f (x) + 0 f (x) ր ց Ur tabellen ser vi att x= oc x= är minpunkter, medan x= är en maxpunkt. Tillörande värden: f ( )=arcsin( )+ ( ) = π f ( )=arcsin + ( ) = π f ()=arcsin + = π Att π (det enda negativa värdet) är minst är uppenbart, så x= är global minpunkt oc x= lokal. Största värdet är f ( ) oc minsta f ( ). Rättningsnorm: Deriverat korrekt: p. Hittat nollställen till sin derivata (oavsett om den var rätt eller fel): p. Gjort korrekt teckenanalys: p. Sammanställt informationen: p.