Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)

Transkript

1 Krzysztof Marciniak, ITN Linköings universitet tfn krzma@itn.liu.se Lösningar till tentamen TEN i Envariabelanalys I (TNIU ) för BI 0--4 kl Enligt den geometriska betydelsen av derivatan måste den sökta tangenten a formen y k+m med k f 0 ( 0 ) där 0 är den unkt i vilken vi beräknar tangenten dvs. i vårt fall kurvans in ektionsunkt. För att itta den måste vi derivera f två gånger. Vi får f 0 () e e e ( ) oc vidare f 00 () e ( ). Det betyder att f 00 byter tecken från till + i 0 som är alltså vår (enda) in ektionsunkt. Den sökta tangenten ar som sagt formen y k + m där k f 0 ( 0 ) e. Konstanten m får vi om vi stoar in tangentunkten ( 0 ; f( 0 )) (; e ) i linjens ekvation. Vi får då e e + m vilket ger m 4e. Den sökta tangenten är alltså y e + 4e e (4 ). Både kurvan y f() oc den ittade tangenten kan åskådas å Figur. Figure : Kurvan y e oc dess tangent i in ektionsunkten

2 . a) Se Sats 4.3 sid. 84. b) Vi börjar med i). Vi använder kedjeregeln: f 0 () cos( + e ) e e cos( + e ). Dags för ii). Ni som kan tabell för standardrimitiver (se Sats 5. sid. 39, formeln (k)) inser att f 0 () + : oc vi är färdiga. Ni som inte inser detta måste räkna ut derivatan med jäl av kedjeregeln: f 0 () gemensam nämnare a) Enligt de nitionen av kontinuitet (Def. 3.5 sid. 36): funktionen 3 + f() cos för för 0 är kontinuerlig i 0 om lim!0 f() f(0). Vi ar f(0) 0 oc lim f() lim 3 + cos 0!0!0 där den andra termen går mot noll tack vare Stas 3. ty cos() är begränsad nära 0 (den är begränsad förstås överallt). Således, lim!0 f() f(0) oc funktionen är kontinuerligi 0. b) För att uträkna f 0 (0) måste vi använda derivatans de nition, ty om vi deriverar utanför 0 får vi f() 3 + cos + sin 3 + cos + sin () oc vi kan inte stoa 0 i ovanstående formeln. Således f 0 f(0 + ) f(0) 3 + cos 0 (0) lim lim!0 lim 3 + cos 3 åter igen tack vare Stas 3.. Vi ser också från formeln () ovan att lim!0 f 0 () saknas oc således är f 0 icke-kontinuerlig i 0 oc kan därför ej vara deriverbar där enligt Sats 4. sid. 76. Således, f 00 (0) eisterar ej. Inser man inte detta så måste man räkna f 00 (0) m..a. de nitionen (vi använder alltså formeln () ovan (med istället av ) oc det att f 0 (0) 3: oc detta gränsvärde nns ej. f 00 f 0 (0 + ) f 0 (0) 3 + cos (0) lim lim + sin 3!0 lim cos + sin

3 4. En möjlig metod är är att använda sig av olär form av komlea tal. Vi ar naturligtvis att + i e i4 medan i e i4. Således: ( + i) 0 ( i) 8 e i4 0 e i4 8 5 e 0i4 4 e 8i4 e8i4 e i(4+) e 4i e i i En annan möjliget är att utnyttja det att (+i) +i+i i medan ( i) i+i i. Således ( + i) 0 ( i) 8 (i)5 ( i) 4 5 i 5 4 i 4 i: 5. a) Se Stas. 4.8 sid. 89. b)enligt satsen i a) ar vi f 0 () f 0 (a) där a är sådant att f(a). Vi inser lätt att a oc eftersom f 0 () vi får f 0 () f 0 () Beteckna f() + För att kvalitativt rita kurvan y f() skall vi tilläma vår algoritm. Vissa steg i algoritmen kan vara enklare om man gör olynomdivision oc inser att f() + + (bägge asymtoter är direkt synliga då, derivering är enklare) men vi kan lika gärna fortsätta med den angivna formen av f. Steg : de nitionsmängden. Vi ser att D f R n f g dvs att alla utom ingår i D f. Så, D f ar ett ål som skall senare ingå i teckentabellen. Steg. nollställen. Vi ser lätt att 0 är ett enda nollställe för f. Notera att detta är en dubbelrot så att f:s graf rör vid -aeln i origo utan att krossa den. Steg 3. Asymtoter. Vi börjar med vertikala oc det enda ställe där en vertikal asymtot kan sitta är (ål i D f ). Vi ser att (notera teckenusättning) så att linjen lätt att lim! lim! + + lim! 3 är en vertikal asymtot för kurvan. Vi kollar även +

4 så att orisontella asymtoter saknas. Det är därför möjligt att sneda asymtoter nns. Vi börjar med +: f() k lim! lim! m lim (f() k) lim!! lim! + lim! + lim! lim! + så att y är en asymtot för f vid +. Identisk uträkning visar att samma linje är funktionens asymtot vid. Steg 4. Stationära unkter. Vi löser ekvationen f 0 () 0 så vi beöver först uträkna f 0. Detta görs med kvotregeln: f 0 () ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) så att f 0 () 0 i både oc 0. Dessa är alltså våra stationära unkter. Steg 5. Singulära unkter. Det nns inga - f är ju en rationell funktion. Steg 6. Andraderivatan oc dess nollställen. En uträkning visar att f 00 () ( + ) 3 vilket visar att f 00 ar inga nollställen oc att den byter tecken från till + i (den är dock inte de nierad i ty funktionen är inte de nierad där; inga in ektionsunkter förekommer alltså). Funktionen är således konkav för < oc konve för >. Steg 7. Teckentabell för f 0 oc f 00. Vi ser till att alla viktiga unkter (dvs en stationär unkt; ål i D f ; 0 en stationär unkt) är med. Notera även att faktorn ( + ) i f 0 är alltid > 0 å D f så den beövs inte i teckentabellen. Vi får ] ; [ ] ; [ ] ; 0[ 0 ]0; [ f 00 < 0 ej def + > f ej def 0 + f % 4 & ej def & 0 % lok. ma. lok. min. Steg 8. Vi ritar. Vi samlar all information från steg till steg 7 oc ritar grafen som å Figur, där vi kan även se de bägge asymtoterna. 7. a) Denna integral löser vi direkt med tabell av standradrimitiver (se Sats 5. sid. 39). + d ln arcsin + C. + 4

5 Figure : Kurvan y + med dess bägge asymtoter b) Integralen ittar vi med jäl av artiell integration oc vi börjar att med att förlänga funktionen med : arctan d arctan d P.I. arctan där i uträkningen av R Sats 5.3 sid. 39). arctan f 0 ; g arctan f ; g d arctan ln( + ) + C + d + d använde vi det att täljaren nämnarens derivata (se formeln (c) i 5