Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Transkript

1 Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

2 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner ( ) (idag) Extremvärden Konvexitet/konkavitet Asymptoter Kurvritning Extremvärdesproblem Taylorpolynom (4.10)

3 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 3 / Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet. 2. Linjär approximation. Två exempel på nya användningar: Newton-Raphson (ekvationslösning), L Hopital (gränsvärden). 3. Max/min-problem. Derivata kan användas för hitta funktioners största och minsta värden. 4. Kurvritning. Derivatan ger underlag för att rita grafen y = f (x) och svara på en mängd frågor om f. Dessutom: vad säger andraderivatan? och asymptoter. 5. Taylors formel. Som linjär approximation fast med polynom av högre grad.

4 Tidigare... 4 / 13 har vi sett att för att förstå en funktion så ska vi Hitta kritiska, singulära och ändpunkter Studera förstaderivatans tecken Studera andraderivatans tecken Studera gränsvärden i ändpunkter/±

5 Exempel 5 / 13 Bevisa att olikheten ln(cos x) + x tan x x gäller då π/2 < x < π/2. Tips: Bestäm huruvida funktionen antar max/min.

6 Andraderivatans betydelse 6 / 13 Konvexitet. Om man tar två punkter på funktionsgrafen och drar en linje genom dem ligger då grafen mellan punkterna alltid över eller under linjen, oavsett vilka punkter man väljer? Under: konvex. Över: konkav. Minnesregel: Konvex växer, och konkav glider av. Andraderivatan. Om f (x) 0 för alla x i ett intervall I så är f konvex i I. Om f (x) 0 för alla x i ett intervall I så är f konkav i I. Exempel: Undersök om f (x) = e x, g(x) = ln x och h(x) = x 2 är konvexa eller konkava.

7 Asymptoter 7 / 13 En asymptot är en linje som funktionsgrafen kommer hur nära som helst. Vi behandlar tre fall: 1. Lodrät. Om lim f (x) = ± så är linjen x = a en lodrät x a ± asymptot. 2. Vågrät. Om lim asymptot. x ± f (x) = L så är linjen y = L en vågrät 3. Sned. Om lim (f (x) ax b) = 0 så är linjen y = ax + b x ± en sned asymptot. OBS: En funktion kan korsa sin asymptot oändligt många gånger. Asymptot medför inte att lutningen konvergerar mot asymptotens lutning. T ex y = 1 x cos x 3.

8 Exempel 8 / 13 Figur: Plot av y = 1 x cos(x 3 ).

9 Övningar 9 / 13 1 Finn alla asymptoter till y = 1/x. 2 Finn alla asymptoter till y = 1+x 2 1+x 4. 3 Finn alla asymptoter till y = x (håll tecknet rätt i munnen) 4 Finn alla asymptoter till y = x + x x 2 1.

10 Kurvritning När vi ska rita (eller skissa som det ofta står) grafen till en funktion betyder det att vi ska: 1 Markera definitionsmängd och ev. singulära punkter. 2 Hitta derivatans nollställen och gör en teckentabell för derivatan. 3 Bestäm med hjälp av detta var f är strängt växande resp strängt avtagande och hitta alla lokala och globala extrempunkter. 4 Beräkna ev intressanta gränsvärden och bestäm asymptoter. 5 Kolla var grafen skär axlarna. 6 Om man är ambitiös: Studera andraderivatans tecken och bestäm var funktionen är konvex respektive konkav. 7 Rita kurvan. Övning: Låt f vara given av f (x) = x 4 x 2. Skissa grafen y = f (x). 10 / 13

11 Svarar på massor av frågor 11 / 13 Nyss skissade vi grafen till f (x) = x 4 x 2. Med hjälp av det arbete vi gjorde då kan vi nu svara på massor av frågor om f : Vad är f :s största resp minsta värde? Vad är värdemängden till f? Hur många lösningar har ekvationen f (x) = 1/8? För denna typ av frågor krävs oftast en komplett derivataundersökning av funktionen.

12 Problemlösning 12 / 13 Vid problemlösning är det viktigt att tänka på Inför variabler och beteckningar, skriv ned vad som är vad Rita bild om relevant Skriv tydligt, vad söker vi, vad är känt Om nödvändigt, gör om till en funktion av en variabel Hitta extremvärden enligt tidigare recept, evt studera asymptoter/gränsvärden om nödvändigt Är svaret rimligt? Inom angivna gränser?

13 Övning 13 / 13 Nisse befinner sig på fel sida av älven och vill ta sig hem. Älven är 4 km bred och rinner i nord-sydlig riktning. Nisse befinner sig 4 km väster och 7 km söder om sitt hus. Han ror med hastigheten 3 km/h och går med hastigheten 5 km/h. På vilket sätt tar sig Nisse hem snabbast och hur lång tid tar det då? Dvs, ska han ro rakt över och sedan gå, ro hela vägen fram eller någonstans däremellan? Du får anta att vattnet står stilla i älven.