SF1626 Flervariabelanalys

Transkript

1 Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH VT 2018

2 1 Dagens program Extremvärdesproblem (största och minsta värde) kap 13.2 Extremvärdesproblem med bivillkor Lagranges multiplikatormetod kap 13.3 (+ev 13.4)

3 Lokala extrempunkter, repetition 2 Förra gången klassificerade vi kritiska punkter med hjälp av Taylors formel. Exempel. Finn alla lokala extrempunkter till f (x, y) = x 2 y xy + 27x. (Facit: kritiska punkter är (0, 1) och ( 1, 3), bara den sista är en extrempunkt, närmare bestämt en maxpunkt)

4 Lokala extrempunkter, repetition 3 Exempel. Avgör om f (x, y, z) = 1 + x 2 + 4y 2 + 2z 2 2xy + 6yz 2xz har en lokal extrempunkt i origo, dvs i (0, 0, 0). (Facit: Nej, visserligen en kritisk punkt men kvadratiska formen är indefinit)

5 Största och minsta värde 4 Nu ska vi gå vidare och leta efter globala max och min, dvs funktioners största och minsta värde. Då gäller: 1. Existensen av max och min kräver ett alltid ett argument. Om funktionen är kontinuerlig och definitionsmängden är sluten och begränsad så finns garanterat ett största och ett minsta värde. Annars behöver de inte finnas och man får argumentera olika i olika fall. 2. Största och minsta värde, om de finns, kan bara antas i kritiska punkter (stationära punkter) singulära punkter randpunkter

6 Största och minsta värde 5 Exempel. Avgör om f (x, y) = xy antar något största och minsta värde för (x, y) D = {(x, y) : x 2 + y 2 4} och bestäm i förekommande fall dessa.

7 Största och minsta värde 6 Exempel. Bestäm största och minsta värde av f (x, y) = x 2 + x(y 2 1) på området som ges av 0 x 2 och y 2.

8 Extrempunkter och extremvärden 7 Exempel. En papperskorg som rymmer 10 liter ska designas med rektangulära sidor på ett sådant sätt att materialåtgången blir så liten som möjligt. Bestäm måtten hos den optimala papperskorgen!

9 Optimering med bivillkor 8 Optimering med bivilkor själva problemet Finn största eller minsta värde av f (x, y) när (x, y) uppfyller bivillkoret g(x, y) = 0 Exempel: Finn minsta värdet av f (x, y) = x 2 + y 2 för (x, y) som uppfyller villkoret y + x 2 1 = 0 (dvs ligger på kurvan y = 1 x 2 ) OBS: De randundersökningar vi gjorde tidigare är problem av den här typen!

10 Optimering med bivillkor 9 Lagranges multiplikatormetod Vi vill optimera f (x, y) under bivillkoret g(x, y) = 0, där f och g är C 1. Om optimum antas i en punkt (a, b), som inte är en ändpunkt på kurvan och g(a, b) 0 så finns ett tal λ 0 så att (a, b, λ 0 ) är en kritisk punkt till Lagrange-funktionen L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y). OBS 1: Detta betyder att f (a, b) och g(a, b) är parallella. OBS 2: Argument behövs fortfarande för existens av max/min. OBS 3: Kolla separat ändpunkter och punkter där g = 0

11 Optimering med bivillkor 10 Exemplet igen. I exemplet med f (x, y) = x 2 + y 2 och g(x, y) = y + x 2 1 = 0 är Lagrangefunktionen L(x, y, λ) = x 2 + y 2 + λ(y + x 2 1) så när vi söker kritiska punkter till denna får vi 2x + 2xλ = 0 2y + λ = 0 y + x 2 1 = 0 De kritiska punkterna blir (0, 1), (±1/ 2, 1/2) där de sista två ger minimum. Maximum saknas.

12 Optimering med bivillkor 11 En randundersökning från tidigare. Tidigare optimerade vi f (x, y) = xy då x 2 + y 2 4. Origo är enda kritska punkten och där är funktionsvärdet 0. Randundersökningen kan göras med Lagrange, dvs optimera f (x, y) = xy under bivillkoret x 2 + y 2 4 = 0. L(x, y, λ) = xy + λ(x 2 + y 2 4) Vi får y + 2λx = 0 x + 2λy = 0 x 2 + y 2 4 = 0 med lösningar ±( 2, 2) som ger max och ±( 2, 2) som ger min.

13 Optimering med bivillkor 12 Dagens tentaproblem ( ) Bestäm största och minsta värdet av funktionen f (x, y) = x 2 y på området som ges av olikheten 3x 2 + 2y 2 6.

14 Optimering med bivillkor 13 Dagens tentaproblem ( ) Bestäm största och minsta värdet av funktionen f (x, y, z) = xy + yz + zx på området som ges av olikheten x 2 + y 2 + z 2 1.

15 Optimering med bivillkor 14 Dagens tentaproblem ( ) Bestäm största och minsta värdet av funktionen f (x, y) = 3xy i det kompakta område som ges av olikheten x 2 + xy + y 2 1.

16 Optimering med bivillkor 15 Lagranges multiplikatormetod med flera bivillkor För att optimera f (x, y, z) under bivillkoren g(x, y, z) = 0 och h(x, y, z) = 0 ska vi på liknande sätt söka kritiska punkter till Lagrange-funktionen L(x, y, z, λ, µ) = f (x, y, z) + λg(x, y, z) + µh(x, y, z). Vissa villkor ska vara uppfyllda, se boken sid för teorin bakom detta. Vi illustrerar med ett exempel.

17 Optimering med bivillkor 16 Exempel med flera bivillkor Bestäm största och minsta värdet av funktionen f (x, y) = 2x + yz på skärningen av planet x + y + z = 0 och sfären x 2 + y 2 + z 2 = 24.

18 Läxa 17 Gör detta: 1. Uppgift 1-4 till seminarium 3 2. Innan seminarieuppgifterna, kolla på bokens: a. kap 12.8 uppgift 13, 17 b. kap 12.9 uppgift 1, 3, 5, 7, 11 c. kap 13.1 uppgift 5, 7, 9, 19, 23, 25 d. kap 13.2 uppgift 3, 5, 9, 15 e. kap 13.3 uppgift 3, 9, 11, 15 f. kap 13.4 uppgift 1, 3