Antag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta bäring 0.

Transkript

1 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Flervariabelanalys 1. Antag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta bäring 0. Går du mot öster har du bäring 90, mot söder bäring 180 och mot väster 70. Bäringen är alltså riktningen i xy-planet, eller sådan den ter sig på en plan papperskarta om man bortser från höjdlinjerna. Jag tror att begreppet bäring kan underlätta i den flerdimensionella trigonometrin. Tyvärr finns den inte med i kompendiet utan olika mer eller mindre krångliga omskrivningar förekommer i stället. Bäring är alltså vinkelavvikelsen från norr, räknad medurs. 66. En (bred) trappa stiger k decimeter per dm du rör dig framåt. a) Med vilken vinkel rör man sig upp från horisontalplanet om man går i trappan? b) Med vilken vinkel rör du dig uppåt i trappan om du svänger med vinkeln v från den brantaste riktningen i trapplanet? c) som b men du avviker med bäringen v? 67. Antag att en sluttning är som brantast i NO riktning och att man då kommer upp k enheter för varje enhet man rör sig horisontellt. Vad är motsvarande stigning ifall man rör sig rakt norrut längs sluttningen? Flervariabelanalys. DEFINITIONER: Låt f(x,y) vara en funktion av x och y. I. De partiella derivatorna definieras av f (x,y + k) k f (x + h, y) h " # f x då h " 0 och " # f y då k " 0 (ifall dessa gränsvärden existerar). # f "& x II. Gradienten i en punkt är vektorn $ f y "( i denna punkt. Skrivs ofta "f eller grad f. # f x "& " III. Riktningsderivatan i en punkt i riktningen $ p # q & är $ f y "( ) # p& $ q ( p + q. IV. En nivåkurva förenar punkter med samma funktionsvärde.

2 Anm. Vanligen tänker man sig funktionen som en böljande duk, fritt svävande i det tredimensionella rummet. Gradienter och nivåkurvor däremot tänks liggande i xy-planet, alltså som horisontella pilar respektive höjdlinjer på en karta; inte som svävande över eller under detta plan. FÖLJANDE GÄLLER (under förutsättningen att funktionen är rimligt snäll ): (i a) Den partiella x-derivatan ger "k-värdet för en skida" som pekar åt x-hållet ( österut ). (i b) Den partiella y-derivatan ger k-värdet för en skida som pekar åt y-hållet ( norrut ). (ii a) Gradienten pekar i den bäring där k-värdet är störst. (ii b) Gradientens längd talar om hur stort k är i gradientens riktning. (iii) Riktningsderivatan talar om hur stort k är i ifrågavarande riktning. (iv) Gradienten i en punkt är vinkelrät mot tangenten till nivåkurvan i punkten. Resultaten kan generaliseras till funktioner av fler variabler än två. Då talar man ofta om nivåytor i stället för nivåkurvor. 68. På kartan ser man att från den punkt där man befinner sig, är det brantast # 4& (uppåt) längs vektorn $ "3 (. Då är lutningen k steg upp per horisontellt steg. Vad är motsvarande lutning om man går längs vektorn " a) 1 # $ # b) " & # & $ 5 ( c) "4 & $ 3 ( d) Hur skall man gå för att röra sig horisontellt? 69. Låt f vara en funktion av x och y given av f (x,y) = x y 3 + 4xy. a) Bestäm f (3, ), f (3, " ) och f (", 3). b) Hur högt över xy-planet befinner sig funktionsytan i kartpunkten (, 1)? c) Bestäm lutningen i x-axelns riktning då man står i (, 1, f(, 1)). d) Bestäm lutningen i y-axelns riktning då man står i (, 1, f(, 1)). e) Bestäm lutningen i nordostlig riktning i samma punkt. 70a) Du står i (a, b). Rör du dig österut är stigningen 1/3, rör du dig norrut är den 1/4. I vilket väderstreck är stigningen störst? b) Hur stor är den i detta väderstreck? c) I vilken bäring är stigningen 0? I vilken bäring är det brantast utför? 71. Bestäm "f och "f i den angivna punkten. a) om f = x 3 + x y i (, 3).

3 #" b) om f = cos(x " y) i 8, " & (. $ 1 7) Bestäm riktningsderivatan för f i punkterna ovan, riktning # 3& $ "1 (. 73) f (x,y) = xy 4 + 3x 3 y " x har en nivåkurva genom (1, ). Bestäm tangenten till nivåkurvan i denna punkt. 74) f (x,y, z) = cosxy "sin z har en nivåyta genom tangentplan i punkten. #" 3,1, " & (. Bestäm nivåytans $ 6 75) z = cos x + y "sin x + y där x = y = ". Bestäm ekvationen för detta plan. har ett tangentplan i den punkt på funktionsytan 76) Bestäm riktningsderivatan mot origo från (,, 1) för f(x,y,z) = 5x+4z. 77) Funktionen z(x, y) = x + y har en nivåkurva genom (,!3). Lisa bestämmer kurvans tangent i punkten. Pelle löser samma uppgift men byter funktionen mot z(x, y) = x + y +. Får de olika svar? 78) Funktionen F(x, y, z) är given där F ger temperaturen i Fahrenheitgrader i punkten (x,y,z) i ett rum. Man söker ekvationen för det plan som tangerar nivåytan motsvarande 68 F i en punkt med x-koordinat x 0 och y-koordinat y 0. Kommer konstanten 68 inverka på svaret? Anm. Alternativa beteckningar för f x " och f y " är "f "x, D x f respektive "f "y, D f. y Man brukar skilja "f "x (partiell derivata) från df dx. Kompendiet: 1, ^7, 133, 105 osv

4 Flervariabelanalys 3. Andraderivator m.m. Låt f(x,y) vara en funktion. Vi antar att den går att derivera ett obegränsat antal gånger och att den är hyfsat lugn. 79. Låt f (5, 8) = p, f (6, 8) = q, f (5, 9) = r, f (6, 9) = s. a) Använd dessa data för att göra en grov uppskattning av f x "(5, 8) och f y "(5, 8). $ b) Gör även en uppskattning av f xy " (5, 8) = " dy [ f #] & x (5,8)) samt f yx " (5, 8). ( SATS: Om f(x,y), f x ", f y ", f xy " och f yx " alla är definierade i en omgivning till (a,b) samt är kontinuerliga i (a,b) så har f xy " och f yx " samma värde i denna punkt. 80) Antag att gradienten till f(x,y) är definierad i en maximipunkt. Vilket värde bör den ha där? 81) Antag att gradientens längd är noll i en punkt. Är punkten säkert en extrempunkt? DEFINITION: En punkt där gradienten är 0 kallas en stationär punkt. Anm: En kritisk punkt är en punkt där gradienten är noll eller odefinierad. 8. Bestäm de stationära punkterna för f(x,y) = a) xy b) x + y c) x " y Har funktionerna något maximum (minimum)? ANDRADERIVATATESTET: Antag att gradienten till f är noll i en punkt och att första- samt andraderivatorna är kontinuerliga i en omgivning till denna punkt. Bilda f xx " f xy " determinanten D = i punkten. f yx " f yy " 1A: Om D > 0 och f xx " > 0 så har f minimum i punkten. 1B: Om D > 0 och f xx " < 0 så har f maximum i punkten. : Om D < 0 så har f sadelpunkt. 3: Om D = 0 så ger andraderivatatestet ingen information. 83. Bestäm de stationära punkterna och avgör deras karaktär då f(x,y) = a) x 3 + y 3 + 3x " 3y " 8 b) 4xy " x 4 " y 4 ( ) c) 1/ x + y "1 d) y sinx

5 Några centrala begrepp inom topologin, mycket kortfattat. En omgivning till en punkt är en cirkelskiva runt punkten. En inre punkt i ett område i xy-planet är en punkt sådan att det existerar någon omgivning till punkten vars alla punkter ligger inuti området. En yttre punkt till ett område i xy-planet är en punkt sådan att det existerar någon omgivning till punkten vars alla punkter ligger utanför området. En randpunkt till ett område i xy-planet är en punkt sådan att varje omgivning till punkten innehåller dels minst en punkt som tillhör mängden och minst en punkt som inte tillhör mängden. En öppen mängd är ett område som består av uteslutande inre punkter. (Detta kan formuleras så att ett öppet område är en mängd vars samtliga randpunkter inte tillhör mängden.) En sluten mängd är ett område vars alla randpunkter tillhör området. (Av detta kan man inse att komplementet till en öppen mängd är sluten och vice versa.) En begränsad mängd är en mängd sådan att hela mängden ligger inom någon (gärna stor men ändlig) omgivning till origo. En mängd som är begränsad och sluten kallas ofta kompakt. Kompakta mängder är viktiga eftersom kontinuerliga funktioner definierade på kompakta mängder har ett största och ett minsta värde. Även öppna mängder är mycket centrala då man studerar den gren av matematiken som kallas topologi. Låt f(x,y) vara en funktion. Definitionsmängden består då av en mängd talpar {(x,y)}. Värdemängden består av en mängd tal {f(x,y)}. Definitionsmängden är en delmängd av R, värdemängden en delmängd av R. En omgivning till (a,b) är en cirkelskiva med (a,b) som medelpunkt; alltså alla (x,y) i definitionsmängden sådana att för åtminstone något r gäller ( x " a) + ( y " b) < r. Ett strängt maximum är en punkt (a,b) sådan att för alla (x,y) i någon omgivning till (a,b) gäller f (a, b) > f (x,y). Strängt minimum definieras på motsvarande sätt. För ett maximum krävs endast att f (a, b) " f (x,y). Ett globalt maximum (eller minimum) är en punkt där funktionen antar sitt största (eller minsta) värde. Kompendiet: 18, 19, 10 osv

6 Flervariabelanalys 4. Blandad kompott. Först litet teori: SATS: Om en funktion har ett maximum eller minimum i en viss punkt så är eller eller (i) samtliga partiella derivator lika med noll i punkten, (ii) åtminstone någon partiell derivata inte definierad i punkten, (iii) punkten en randpunkt. Kortfattat bevis: Förutsätt att vi har en extrempunkt som inte är en randpunkt och att de partiella derivatorna är definierade i punkten. Då måste gradienten vara nollvektorn för annars skulle funktionen växa i gradientens riktning och avta i motsatt riktning; dvs. inte vara en extrempunkt. Ur detta följer påståendet. V.S.B. Anm. Beviset är logiskt finurligt och kräver en stunds eftertanke. Notera t.ex. att det aldrig påstås att en randpunkt kan vara en extrempunkt (eller ens att det finns extrempunkter). En annan viktig sats är att en kontinuerlig funktion definierad på ett slutet och begränsat område har ett största och ett minsta värde. Men det bevisar vi inte. Tillämpning av teorin. Globala extrempunkter. 84) Bestäm största och minsta värde av f(x,y) = 5 + 4x " x + 3y " y på triangeln med hörn i origo, (, ) och (, ). 85) Bestäm största och minsta värde av f(x,y) = x + 3y + 4xy på den del av enhetscirkeln som ligger i första kvadranten ( x + y " 1, x # 0, y # 0). Svara avrundat till fyra gällande siffror. 86) Lös ekvationssystemet ( x " ) ( y + 3) ( y + 4) = 0 ( x + ) ( y "1)( y + 4) = 0 Markera lösningsmängden i ett koordinatsystem. Kompendiet: 100, 114, 115 osv # $ &. Taylors formel igen. 87) Bestäm ekvationen för den räta linje som tangerar grafen till funktionen f (x) = x 3 då x =. (Använd vanliga gymnasiemetoder ). 88) Lös uppgift 87 men använd i stället Taylors formel: (x " a) (x " a)3 f (x) = f (a) + (x " a) f #(a) + f #(a) + f ##(a) +! 3!

7 89a) Bestäm ekvationen för det plan som tangerar funktionsytan f (x,y) = xy + y + 4 i (, 3, 19). (Använd metoden med gradient som ni lärde er i förra veckan). b) Lös uppgift 89a men använd i stället Taylors formel i två variabler: f (x,y) = f (a,b) + (x " a) # f x (a,b) + (y " b) # f y (a,b) + + (x " a) f xx # (a,b) + (x " a)(y " b) f xy # (a,b) + (y " b) f yy # (a,b) +! c) Hur bör nästa term i Taylorutvecklingen ovan se ut? Gissa! 90) Taylors formel i tre variabler börjar så här: f (x,y, z) = f (a, b,c) + (x " a) # f x (a, b,c) + (y " b) # f y (a, b,c) + (z "c) # f z (a, b,c) +! + Hur ser täljaren över! ut? Lagrange 91) På en karta är nivåkurvorna för markens höjd över havet inritade. Vi betecknar höjden över havet med funktionen h(x,y). Dessutom är ett motionsspår inprickat. Det är en kurva som ges av ekvationen s(x,y) = c, där c är en konstant. Vi vill bestämma var på motionsspåret som den högsta punkten över havet ligger. (Man säger att man vill bestämma maximum av h under bivillkoret s(x,y) = c.) Ställ upp några ekvationer som bestämmer möjliga kandidater för denna högsta punkt. (Antag att såväl h som s är mjuka och snälla funktioner som går att derivera.) Anm. Den metod vi visar kallas Lagranges multiplikatormetod. Joseph Louis Lagrange ( ) var en italiensk-fransk matematiker och astronom. Brook Taylor ( ) var en engelsk matematiker. Colin Maclaurin ( ) var en skotsk matematiker som undersökte specialfallet att x = 0 i Taylors formel. I sammanhanget kan nämnas att Lagrange gav ett uttryck för resttermen av Taylors formel som kan användas för feluppskattning. 9) Använd Lagranges metod för att bestämma den största volym en jordgubbskartong (utan lock) med kvadratisk botten och 5 kvadratdecimeters materialarea kan få. (Detta problem löser man enklare utan Lagranges metod.) Anm. En nackdel med Lagranges multiplikatormetod är att den ofta leder till komplicerade ekvationssystem. En fördel är att för en hel del problem är de alternativa lösningsmetoderna ännu krångligare.

8 Facit! 66a) arctan k b) arcsin cos! c) arctan[kcosv]!!!! 67) kcosv 68a)!! b)!"! c) k d) längs ± 3!!!!" 4 69a) resp 84 b) 1 c) 8 d) 0 e) 14 70a) i bäring arctan (4/3) b) 5/1 c) 90 + arctan (4/3) och 70 + arctan (4/3) resp 180 +arctan(4/3) # 48& #"1 & 71a) $ "4 (; 4 5. b) $ 1/ ( ; a) b) ) 3x + 35y = ) 6x + "y + 6z = 5". 75) z = 1. 76). 79a) q p resp r p b) s q r+p 8a c) origo är stat pkt b) minimum. 83a) (0,0) & (,) sadel, (0,) lok. min., (,0) lok. max., 83b) (0,0) sadel, (1,1) & ( 1, 1) lok. max. 83c) (0,0) lok. max. 83d) ( n", 0) sadel. 84) störst: 37/4, minst: 9. 85) störst: 4,36, minst: 0. 86) (, 1), (, 3), (x, 4). 87) 1x " y = a) 3x + 8y " z = ) 1 " 5 $ 1,076. dvs något större än om man gör lådan av fem likadana # 3& kvadrater. Men lådorna ser ganska olika ut.