Kap Implicit givna funktioner

Transkript

1 Kap Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen? c. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen, om y(1) = 1? d. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen, om y(0) = 0? e. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen, om x > 0 och y(1) = 1? f. Hur många deriverbara funktioner satisfierar ekvationen? A 702. Betrakta ekvationen x 4 + y 4 + x + y = 0. Kan man i någon omgivning av (0,0) entydigt lösa ut y uttryckt i x? A 703. Visa att det finns en omgivning av origo, sådan att för varje värde på x finns det precis en lösning y till ekvationen 2y sin y = x, så att punkten (x,y) tillhör omgivningen. A 704. Visa att det finns en omgivning av punkten (a,b), sådan att lösningarna till ekvationen f(x,y) = 0 i denna omgivning definierar precis en kontinuerligt deriverbar funktion y = y(x). Beräkna också y (a), om a. f(x,y) = y 2x arctan y x och (a,b) = (2,0) b. f (x,y) = x y + sin y + x 2 och (a,b) = (1,0) c. f(x,y) = x y y x + 1 och (a,b) = (1,2). A 705. Visa att ekvationen x + y + sin xy = 0 definierar i en omgivning av punkten (0,0) precis en strängt avtagande funktion y = y(x). 1

2 B 706. Visa att ekvationen x 6 + y 6 + x 2 + y = 0 definierar i en omgivning av punkten (0,0) precis en funktion y = y(x). Bestäm y (0). Visa att x = 0 är en lokal maximipunkt för y(x). C 707. Är det sant, att det i en omgivning av punkten (0,0) finns precis en funktion y = y(x), sådan att x 5 + y 5 + y 3 + x = 0? A 708. En yta definieras genom ekvationen 3xyz z 3 = 10. Visa att det finns en omgivning av punkten (1,3,2), där ytan kan uppfattas som en graf till en kontinuerligt deriverbar funktion z = z(x,y). Bestäm z x och z ý i punkten (1,3). A 709. Beräkna z xy (1,1) för den funktion z = z(x,y) som i någon omgivning av punkten (1,1,1) definieras medelst ekvationen x 3 + y 3 + z 3 + x + y + z = 6. A 710. Låt f(x,y,z) = xy 2 z 3. Verifiera att det finns en omgivning av punkten (1,1,1), där ekvationen x 2 + y 2 + z 2 3xyz = 0 definierar precis en kontinuerligt deriverbar funktion a. z = z(x,y) och beräkna f(x,y,z(x,y)) i punkten (1,1) x b. y = y(x,z) och beräkna f(x,y(x,z),z) i punkten (1,1). x B 711. Låt f(t) vara en kontinuerligt deriverbar och strängt avtagande funktion. Visa att ekvationen x + y + z = f(x 3 + y 3 + z 3 ) definierar lokalt en kontinuerligt deriverbar funktion z = z(x,y), som satisfierar ekvationen (y 2 z 2 ) z x + (z 2 x 2 ) z ý = x 2 y 2. A 712 a. Visa att ekvationen 2x 2y z + z 3 = 0 definierar i en omgivning av punkten (1,1,1) en kontinuerligt deriverbar funktion z = z(x,y). A 712 b. Ett par nya variabler införs genom x = u 3 + v 3 och y = u v. Mot punkten (x,y) = (1,1) svarar då (u,v) = (1,0). Beräkna z v i punkten (u,v) = (1,0). B c. Ett par nya variabler införs genom u = x 3 + y 3 och v = x y. Mot punkten (x,y) = (1,1) svarar då (u,v) = (2,0). Beräkna z v i punkten (u,v) = (2,0). 2

3 Ledningar till uppgifterna a-f. Rita kurvan x 2 y 2 = 0. Vilka delar av kurvan kan uppfattas som funktionsgrafer? Vilka delar kan uppfattas som sammanhängande funktionsgrafer? Vilka delar saknar spets? 702 Låt f(x,y) = x 4 + y 4 + x + y. Verifiera att f(0,0) = 0 och att f ý (0,0) 0. (Om detta inträffar det finns i en omgivning av punkten x = 0 precis en funktion y = y(x) för vilken y(0) = 0 och f(x,y(x)) = 0). 703 Om f(x,y) = 2y sin y x, verifiera att f(0,0) = 0 och att f ý (0,0) 0. Inträffar detta y kan entydigt lösas ur ekvationen i någon omgivning av (0,0). 704 a-c. Verifiera att f(a,b) = 0 och att f ý (a,b) 0. Detta visar att en sådan funktion entydig existerar. Derivatan y (a) = f x(a,b) (kan även f ý (a,b) beräknas med hjälp av implicit derivering). 705 Om f(x,y) = x + y + sin xy, verifiera att f(0,0) = 0 och att f ý (0,0) 0. Detta visar att y kan entydigt lösas ur ekvationen (i någon omgivning av punkten x = 0). Den erhållna funktionen y(x) är kontinuerligt deriverbar och y(0) = 0. Derivatan y (0) = f x(0,0) (kan även beräknas med f ý (0,0) hjälp av implicit derivering). Verifiera att y (0) < 0. Detta visar att y är strängt avtagande. 706 Om f(x,y) = x 6 + y 6 + x 2 + y, verifiera att f(0,0) = 0 och att f ý (0,0) 0. Detta visar att y kan entydigt lösas ur ekvationen (i någon omgivning av x = 0). Den erhållna funktionen y(x) är kontinuerligt deriverbar och y(0) = 0. Verifiera (t ex genom implicit derivering) att y (0) = 0 och y (0) < 0. Detta medför att x = 0 är en lokal maximipunkt för y(x). 3

4 707 Låt f(x,y) = x 5 + y 5 + y 3 + x. Verifiera att f(0,0) = 0 och f x(0,0) 0. Av detta följer att det finns en omgivning av (0,0), sådan att lösningarna till f(x,y) = 0 i denna omgivning definierar precis en funktion x = x(y) för vilken x(0) = 0 och f((x(y),y) = 0. Dessutom gäller det att denna funktion är kontinuerligt deriverbar. Visa (t ex genom implicit derivering) att x (y) < 0 för y 0 och konstatera att x(y) är en strängt monoton funktion. Därför har x(y) en invers y = y(x). Detta innebär att lösningarna till f(x,y) = 0 i denna omgivning definierar precis en funktion y = y(x) för vilken y(0) = 0 och f((x,y(x)) = Visa att f(1,3,2) = 0 och f ź (1,3,2) 0, där f = ekvationens vänstra led. Detta medför att man entydigt kan lösa ut z uttryckt i x och y i någon omgivning av punkten (1,3,2). Den erhållna funktionen z(x,y) är kontinuerligt deriverbar. Derivatorna kan beräknas medelst implicit derivering. 709 x 3 + y 3 + z 3 + x + y + z = 6 implicit deriveras med avseende på x resp y: 3x 2 + 3z 2 z x z x = 0 resp 3y 2 + 3z 2 z ý z ý = 0. I punkten (x,y,z) = (1,1,1) fås z x(1,1) = z ý (1,1) = 1. 3x 2 + 3z 2 z x z x = 0 implicit deriveras med avseende på y: 6zz ý z x + 3z 2 z xy + z xy = 0 och x = y = z = 1, z x = z ý = 1 ger z xy (1,1). 710 Låt g(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 3xyz = 0. a. Kontrollera att g(1,1,1) = 0 och g ź (1,1,1) 0. Detta bevisar existensen av z(x,y). Implicit derivering med avseende på x ger x f(x,y,z(x,y)) = f x + f ź z x = y 2 z 3 + 3xy 2 z 2 z x 2x + 2zz x 3yz 3xyz x = 0 och i punkten (1,1,1) fås f(x,y,z(x,y)) = 2. x b. Samma ledning som i 710 a, där y byter plats med z. 711 Om g(x,y,z) = f(x 3 + y 3 + z 3 ) x y z, visa att g ź 0: g ź = f. 3z 2 1 och f < 0 (f strängt avtagande f < 0) g ź 0. Detta bevisar existensen av z(x,y). f(x 3 + y 3 + z 3 ) x y z = 0 implicit deriveras: f. (3x 2 + 3z 2 z x) 1 z x = 0 f. (3y 2 + 3z 2 z ý ) 1 z ý = 0 z x =, z ý =. Verifiera att z x och z ý satisfierar den givna ekvationen. 4

5 712 a. Om f(x,y,z) = 2x 2y z + z 3, kontrollera att f(1,1,1) = 0 och f ź (1,1,1) 0. Detta bevisar existensen av z(x,y). b. 2x 2y z + z 3 = 0 deriveras implicit med avseende på v: 0 = 2x v 2y v z v + 3z 2 z v = 6v z v + 3z 2 z v = { (u,v,z) = (1,0,1) } z v(1,0) = 1. c. u = x 3 + y 3 v = x y deriveras implicit 0 = 3x 2 x v + 3y 2 y v 1 = x v y v och (x,y) = (1,1), (u,v) = (2,0) ger x v(2,0) = 1 2, y v(2,0) = x 2y z + z 3 = 0 deriveras implicit med avseende på v: 0 = 2x v 2y v z v + 3z 2 z v = { (u,v,z) = (2,0,1) } z v(2,0) = 1. 5

6 Svar till uppgifterna a. Oändligt många. b. Fyra. c. Två. d. Fyra. 701 e. En. f. Två. 702 Ja. 704 a. 0. b. 1. c. 2 2ln Ja. 708 z x = 6, z ý = a. 2. b b. 1. c. 1. 6