LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014"

Transkript

1 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

2 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

3 Potenslagarna med reella exponenter Vi har följande räknelagar för a, b > 0 och x, y R: 1 a x a y = a x+y, 2 (a x ) y = a xy, 3 (ab) x = a x b x, 4 a x a = a x y, ( y 5 a ) x b = a x b. x Dessa måste du behärska! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

4 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

5 Exponentialfunktionen Med resultaten ovan är vi redo att definiera exponentialfunktionen f (x) = a x för a > 0 och x R. D f = R. V f = (0, ) = {y R : y > 0} = {x R : x > 0}, a 1. f (0) = 1 (a 0 = 1). f (1) = a (a 1 = a). f är strängt monoton om a 1. f är strängt växande om a > 1. f är strängt avtagande om 0 < a < 1. Om a < b så är a x < b x för x > 0 och a x > b x för x < 0 Hur blir det med a = 1? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

6 Exponentialfunktionernas grafer, olika baser 8 7 y=(1/2) x =1/(2 x )=2 x y=1 x y=2 x y=e x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

7 Den naturliga exponentialfunktionen Definition Talet e är det tal som när vi har det som bas för exponentialfunktionen får en graf vars tangent i (0, 1) skär x-axeln i punkten ( 1, 0). Talet e = är irrationellt. Decimalutvecklingen fortsätter alltså i all oändliget utan att upprepa sig. Det gäller att den naturliga exponentialfunktionens, e x (= exp(x)), har en graf vars tangent i punkten (x, e x ) har en tangentlinje med lutningen e x (e 0 = 1 så det överrensstämmer med definitionen). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

8 Exponentialfunktionernas grafer, basen e och andra y=e x y=e x y=e 2x y=e x/ F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

9 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

10 Den naturliga logaritmfunktionen Eftersom den naturliga exponentialfunktionen är strängt växande finns till varje givet y > 0 ett x så att y = e x. Definition Låt y > 0 vara givet. Det tal x som löser y = e x kallar vi den naturliga logaritmen av y och vi skriver x = ln(y) (= e log(y)). Det gäller alltså att ln(x) = exp 1 (x), d.v.s. den naturliga logaritmen är den naturliga exponentialfunktionens invers. Annorlunda uttryckt har vi att ln(exp(x)) = x, x D exp = R eller exp(ln(x)) = x, x D ln = {x : x > 0}. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

11 Den naturliga logaritmfunktionens graf 3 y=ln(x) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

12 Logaritm- och exponentialfunktionernas grafer 7 6 y=ln(x) y=e x y=x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

13 Logaritm- och exponentialfunktionernas grafer 3 y=exp(x) y=ln(x) y=x 2.5 (a,exp(a))=(a,b) (b,a)=(b,ln(b)) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

14 Egenskaper hos den naturliga logaritmfunktionen D ln = (0, ) V ln = R ln(x) är en strängt växande funktion. ln(1) = 0 ln(e) = 1 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

15 Räkneregler för logaritmer Theorem Låt x, y > 0 och p R. 1 ln(xy) = ln(x) + ln(y) ( ) 2 ln 1 y = ln(y) ( ) 3 ln x y = ln(x) ln(y) 4 ln(x p ) = p ln(x) Dessa regler bör du kunna bevisa och absoulut kunna! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

16 Ett vanligt fel Det gäller i allmänhet inte att ln(a + b) = ln(a) + ln(b). FEL!!! Ett sådant räknefel ger stora avdrag på tentan. På överbetygsdelen kan det ge noll poäng på uppgiften. Övning: Undersök för vilka kombinatoner av a och b likheten faktiskt gäller. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

17 Allmänna logaritmer Mer generellt så vet vi att om a > 0, a 1 och y > 0 så finns det ett unikt x R så att y = a x. Det motiverar följande definition. Definition Låt a, y > 0. Det tal x som löser y = a x kallar vi a-logaritmen av y och vi skriver x = a log(y). De viktigaste logaritmerna är 2 log(x), e log(x) = ln(x) samt 10 log(x) = lg(x) (i boken, ibland är 10 log(x) = log(x).). Räknereglerna för den naturliga logaritmen gäller även för a-logaritmer. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

18 Egenskaper hos logaritmer Egenskaperna för den naturliga logaritmen gäller för a-logaritmer med lite modifikation. Da log = (0, ) Va log = R om a 1. a log är en strängt monoton funktion om a 1. a log är en strängt växande funktion om a > 1. a log är en strängt avtagande funktion om a < 1. a log(1) = 0 a log(a) = 1 Övning: Vilka motsvarande egenskaper gäller då 0 < a < 1? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

19 Konvertering mellan logaritmer med olika baser Theorem Med a, b > 0, a, b 1 gäller att a log(x) = b log(x) b log(a). Bevis. Om x = a y så gäller att a log(x) = y och b log(x) = b log(a y ) = y b log(a) = a log(x) b log(a) så satsen följer efter divison med b log(a). Studera vad detta innebär med a, b = 2, e, F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

20 Tillämpningar av logaritmer Viktiga tillämpningar av 10-logaritmer för självstudier: Decibel. Viktigt bl.a. vid studier av förstärkare. (Se Ex ) ph. (Se Ex ) Kan komma på tentan... F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

21 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

22 Gränsvärden Skapandet av differentialkalkylen är en av de största prestationerna i vetenskapens historia och och teorin bakom differentialkalkylen har haft ett stort inflytande på det vetenskapliga tänkandet 1 Differentialkalkylen är helt beroende av begreppet gränsvärde. 1 Håkan Blomqvist i Grundläggande analys för högskolestudenter. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

23 En liten motivering Betrakta den rationella funktionen R(x) = x2 1 x 1. D R = R \ {1} = (, 1) (1, ). Om x D R så är x2 1 x 1 = (x 1)(x+1) x 1 = x + 1. Funktionen h(x) = x + 1 har D h = R. Det gäller att h R ty D R D h. Men h(x) = R(x) för alla x D R (D R D h ). Om vi låter x D R närma sig talet 1 så kommer R(x) närma sig talet 2 = h(1). Om vi gör definitionen g(x) = så gäller att D h = R och h = g! { R(x), x 1 2, x = 1 Detta är möjligt då R har gränsvärdet 2 då x går mot 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

24 Grafen till R(x) = x 2 1 x (x 2 1)/(x 1) x= Figur: Funktionen är odefinierad i x = 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

25 Fler frågeställningar När x = 1 i föregående exempel fick vi att R(1) = 0 0. Vi kunde då utvidga definitionsmängden genom att sätta (Farligt!) 0 0 = 2. Det kan man absolut inte alltid göra! P.s.s. som innan så är 2(x2 1) x 1 funktionen blir 0 0 = 4. = 2x + 2 och om vi ska utvidga den Att betrakta det hela som att 0 0 har något värde är inte fruktsamt (det är dessutom farligt). Vi bör istället ställa oss frågan: Vilket värde närmar sig en funktion f (x) när x närmar sig a? Den frågan kan vi ställa oss även om f (a) är definierat. Om a D f men vi får uttryck på formen f (a) = 0/0, f (a) = ± / eller f (a) = ±( ) så kan gränsvärdet då x närmar sig a finnas. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

26 Informell definition av gränsvärde Vi säger att f (x) har gränsvärdet G då x går mot a om f (x) kan fås att anta ett värde godtyckligt nära G om x är tillräcklig nära a. Vi skriver lim f (x) = G x a eller f (x) G då x a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

27 Några exempel Det gäller att x 2 4 då x 2. Skriv x = 2 + h med 0 < h 1, dvs h nära noll. Då är x 2 = (2 + h) 2 = h + h = 4 då h 0 d.v.s. då x 2. sin(x) Det gäller att lim x 0 x = 1. Man kan (och vi ska, senare) visa att cos(x) < sin(x) x < 1 om 0 < x < π/2. Vi vet att cos(x) 1 då x 0 så instängningsregeln (se nedan) ger påståendet! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

28 cos(x) < sin(x) x < cos(x)<sin(x)/x< 1 for x close to 0 y=sin(x)/x y=1 y=cos(x) Figur: Funktionen sin(x) x är odefinierad i x = 0 men måste ha gränsvärdet 1 då funktionen är instängd mellan 1 och cos(x) 1 då x 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

29 Godtyckligt och tillräckligt nära Definition När vi säger att f (x) kan fås godtyckligt nära G så menar vi att vi kan välja vilket (litet) tal ɛ > 0 som helst och det finns ändå x D f så att f (x) G < ɛ. Definition När vi säger att x är tillräcklig nära a för att något påstående skall vara sant så menar vi att det finns ett δ > 0 så att påståendet är sant för alla x a som är närmare a än δ, dvs om 0 < x a < δ δ < x a < 0 0 < x a < δ a δ < x < a a < x < a + δ. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

30 Punkterad omgivning Definition En punkterad omgivning till talet a är en mängd Ḃ a,δ0 = {x : 0 < x a < δ 0 } där δ 0 > 0. Den punkterade omgivningen innehåller alltså inte a men alla andra tal tillräckligt nära a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

31 Formell definition av gränsvärde Definition Låt f vara en funktion och låt talet a ha en punkterad omgivning som tillhör D f. Om det för varje ɛ > 0 existerar ett tal δ > 0 sådant att om 0 < x a < δ så är f (x) G < ɛ, så säger vi att f (x) går mot G när x går mot a eller, alternativt, att f (x) har gränsvärdet G då x går mot a. Vi skriver lim x a f (x) = G eller f (x) G då x a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

32 Illustration av gränsvärde. 9 8 funktionen f(x)=x 2 a=2 lim x >a f(x)=g= y=4+ε 1 4 y=4 ε 2 y=4 ε 2 3 y=4 ε x=2 δ 2 x=2+δ 2 x=2 δ 1 x=2+δ Figur: Illustration av den formella definitionen av gränsvärde. Om x tillhör den punkterade omgivningen (2 δ 1, 2) (2, 2 + δ 1 ) så är x 2 4 < ɛ 1. Om x tillhör (2 δ 2, 2) (2, 2 + δ 2 ) så är x 2 4 < ɛ 2. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

33 Räkneregler för gränsvärden Låt f, g, h vara funktioner med definitonsmängder D f, D g och D h och anta att a har en punkterad omgivning Ḃ(a, δ 0 ) D f D g D h. Antag att lim x a f (x) = A och lim x a g(x) = B. Då gäller att 1 lim x a (f (x) + g(x)) = lim x a f (x) + lim x a g(x) = A + B. 2 lim x a (f (x) g(x)) = lim x a f (x) lim x a g(x) = A B. 3 lim x a (f (x) g(x)) = lim x a f (x) lim x a g(x) = AB. f (x) limx a f (x) 4 lim x a g(x) = lim x a g(x) = A B om B 0. 5 f (x) g(x) lim x a f (x) lim x a g(x) A B. 6 (f (x) h(x) g(x)) (A = B) lim x a h(x) = A. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

34 Gränsvärde då x ± Definition Antag att f är en funktion sådan att för något tal M gäller att (M, ) D f. Om det för varje ɛ > 0 finns ett tal ω sådant att f (x) G < ɛ om x > ω så säger vi att f (x) går mot G, eller att f (x) har gränsvärdet G, då x går mot oändligheten. Vi skriver lim f (x) = G x eller f (x) G då x. Övning: Definiera gränsvärde då x går mot! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

35 y=g ε 2 x=ω1 x=ω 2 Illustration av gränsvärde i oändligheten 3 f(x)=exp( x) lim x f(x)= y=g+ε 1 y=g+ε y=g ε Figur: Funktionen exp( x) har gränsvärdet 0 då x. Om x > ω 1 så är exp( x) 0 < ɛ 1. Om x > ω 2 så är exp( x) 0 < ɛ 2 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

36 Höger- och vänstergränsvärde. Definition Antag att f är en funktion och att det finns ett δ 0 > 0 sådant att (a, a + δ 0 ) D f. Om det för varje ɛ > 0 existerar ett δ > 0 sådant att f (x) G < ɛ för alla x (a, δ) så säger vi att f har högergränsvärdet G i punkten a eller att f (x) går mot G då x går mot a uppifrån (från höger). Vi skriver lim x a + f (x) = G eller f (x) G då x a +. Ibland skrivs x a istället för x a +. Övning: Definiera begreppet vänstergränsvärde! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

37 Illustration av höger och vänstergränsvärde f(x) f:s hgergrnsvrde f:s vnstergrnsvrde Figur: Funktion som saknar gränsvärde då x 0 men har ett vänstergränsvärde (0) och ett högergränsvärde (0.2). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

38 Oegentliga gränsvärden (f (x) ± ) Vi vill ibland slå fast att en funktion f antar hur stora värden som helst när x a. Därför inför vi följande begrepp. Definition Om det för varje N > 0 existerar ett δ > 0 sådant att om 0 < x a < δ så är f (x) > N så säger vi att f (x) går mot oändligheten då x går mot a och skriver lim f (x) = eller f (x) då x a. x a Definition Om det för varje N > 0 existerar ett ω > 0 så att f (x) > N om x > ω så säger vi att f (x) går mot oändligheten då x går mot oändligheten och skriver lim f (x) = eller f (x) då x. x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

39 Ytterligare oegentliga gränsvärden Övning: Definiera vad som borde menas med lim x a f (x) =, lim x a + f (x) = ( ) lim x a f (x) = ( ), lim x f (x) =, lim x f (x) = ( ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

40 y=1/(x 1) y=1/ x+1 } y=e x y=x 3 x Figur: Funktioner med oegentliga gränsvärden. x 1 saknar oegentligt gränsvärde i 1 x = 1 men lim x 1 + x 1 =, lim x 1 1 x 1 =. Det gäller 1 attlim x 1 1+x =, lim x e x =. lim x x 3 x 2 = och lim x x 3 x 2 =. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

41 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

42 Kontinuitet Låt f (x) = x 2. Vi har sett att lim x 2 f (x) = 4 = f (2). Det gäller för varje a D f = R att lim f (x) = x a a2 = f (a). Denna egenskap är inte så självklar som man först kan tro, men viktig, vi kallar en sådan funktion kontinuerlig. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

43 Kontinuerlig funktion i en punkt Definition Antag att f är en funktion och att a D f samt att det finns punkter i D f godtyckligt nära a. Vi säger att f är kontinuerlig i a om lim f (x) = f (a). x a Definition Om I är ett intervall sådant att I D f och f är kontinuerlig i varje punkt x I, då säger vi att f är kontinuerlig på intervallet I Definition Om f är kontinuerlig i varje x D f, så säger vi att f är en kontinuerlig funktion F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

44 Illustrationer av begreppet kontinuitet f(x) g(x) Grafen till en kontinuerlig funktion f och en diskontinuerlig i x=1, g Figur: Funktionen f är kontinuerlig i varje punkt och varje intervall i sin definitionsmängd. Den är alltså kontinuerlig. Funktionen g är kontinuerlig i alla punkter utom x = 1. Den är således inte kontinuerlig, men väl kontinuerlig på varje intervall som inte innehåller x = 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

45 Mer diskontinuitet 20 f(x) Figur: Funktionen är diskontinuerlig i varje heltalspunkt. Den är kontinuerlig på varje intervall som inte innehåller något heltal. Särskilt är den kontinuerlig på varje intervall på formen (n, n + 1) där n Z. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

46 Höger- och vänsterkontinuitet Definition Om a D f och det finns punkter x < a : x D f som ligger godtyckligt nära a och lim f (x) = f (a) x a så säger vi att f är vänsterkontinuerlig i a. Definition Om a D f och det finns punkter x > a : x D f som ligger godtyckligt nära a och lim f (x) = f (a) x a + så säger vi att f är högerkontinuerlig i a. Övning: Definiera höger-, respektive vänsterkontinuitet i ett intervall och höger- respektive vänsterkontinuerlig funktion! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

47 Illustration av höger- och vänsterkontinuitet Hgerkontinuerlig Vnsterkontinuerlig Varken h. eller v. kont Figur: Tre funktioner med diskontinuitet. Den blå är höger- och den röda vänsterkontinuerlig. Den svarta är varken höger- eller vänsterkontinuerlig. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

48 Kontinuitet på slutna intervall Om f är en funktion med D f = [a, b] så säger vi att f är kontinuerlig på D f om den är (egentligt med vår definition) kontinuerlig på (a, b), högerkontinuerlig i a och vänsterkontinuerlig i b. Med bokens definition av kontinuitet behöver man inte göra denna omdefinition. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

49 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

50 Sekant 9 8 y=f(x) En sekant till f En annan sekant till f 7 (x+h 1,f(x+h 1 )) (x+h 2,f(x+h 2 )) (x,f(x)) Figur: En sekant är en linje som skär en graf i två punkter säg (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

51 Derivata 30 y=f(x) tangent Sekant till f Figur: Derivatan till f (x) är gränsvärdet av lutningen hos sekanten som skär (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)) få h 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

52 Derivata 30 y=f(x) Sekant till f f(x+h) f(x) 5 h Figur: Lutningen hos sekanten som skär (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)) är f (x+h) f (x) h. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

53 Derivatans definition Definition En funktion f säges ha derivatan f (x) i punkten x som ges av f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h om gränsvärdet existerar. Om så är fallet säger vi att f är deriverbar i punkten x. En funktion som är deriberbar i varje punkt i ett intervall I säges vara deriverbar på I och om den dessutom är deriverbar i hela sin definitionsmängd så är den en deriverbar funktion. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

54 En deriverbar funktion är kontinuerlig Theorem Om en funktion f är deriverbar i en punkt x så är f kontinuerlig i x. Det innebär att om en funtkion är diskontinuerlig i någon punkt så är den inte deriverbar där. Det finns kontinuerliga funktioner som inte är deriverbara t.e.x. f (x) = x. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

55 Theorem Det gäller att Dx k = kx k 1 för alla reella tal k. Notera att Dx 0 = 0 och att det inte finns någon funktion på formen ax k som har derivatan x 1! Notera också att det är flera tryckfel i boken där detta behandlas! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

56 Kurvtangent och derivata Om en kurva är grafen till en deriverbar funktion f så ges dess tangent i punkten (x 0, f (x 0 )) av y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (Genom varje punkt går en och endast en linje med en bestämd lutning. Den givna linjen går genom den givna punkten och har rätt lutning! Se kapitel 7.3!) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

57 Höger- och vänsterderivator Med hjälp av höger- och vänstergränsvärden så kan vi definiera höger- och vänsterderivator. Definition Högerderivatan av en funktion f i en punkt x betecknas med f +(x) och ges av f +(x) f (x + h) f (x) = lim. h 0 + h Definition Vänsterderivatan av en funktion f i en punkt x betecknas med f (x) och ges av f (x) f (x + h) f (x) = lim. h 0 h F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

58 Deriverbarhet på slutna intervall När vi säger att en funktion är deriverbar på ett slutet intervall [a, b] så menar vi att den är deriverbar i varje inre punkt ( i varje x (a, b)) och högerderiverbar i a och vänstrederiverbar i b. Övning: Med bokens definition av gränsvärde behövs inte den här anmärkningen. Varför? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

59 Deriveringsregler Theorem Om f och g är deriverbara i punkten x och C är ett givet reelt tal så gäller följande. 1 D (f (x) + g(x)) = Df (x) + Dg(x) ( summaregeln ) 2 D (f (x) g(x)) = Df (x) Dg(x) ( differensregeln ). 3 D (Cf (x)) = CDf (x). 4 D (f (x) g(x)) = (Df (x)) g(x) + f (x) (Dg(x)) ( produktregeln ). ( ) 5 D f (x) g(x) = om g(x) 0 ( kvotregeln ). (Df (x))g(x) f (x)(dg(x)) g(x) 2 6 D (f (g(x))) = f (g(x))g (x) ( kedjeregeln ). 7 Df 1 1 (x) = om f är inverterbar i en omgivning av f (f 1 )(x) y = f 1 (x). (Se nedan för en precisare behandling.) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

60 Derivata och inverterbarhet, inversens derivata Theorem Om f är en deriverbar funktion på ett intervall I och f (y) 0 om y I så är f inverterbar på I och dess invers f 1 är deriverbar. Om I är ett öppet intervall ges inversens derivata av Df 1 = 1 f (f 1 (x)) om x är bilden av något y I under f (y = f (x), x I ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

61 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

62 Potensfunktioner! Vi har sett att d C = 0, (1) dx d dx Cx n = ncx n 1 n Z. (2) Dessa resultat är specialfall av d 1 x = dx 2 x (3) d dx Cx α = αcx α 1 α R. (4) Vi skall visa detta med hjälp av derivator för exponetialfunktionen och den naturliga logaritmen! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

63 Exponentialfunktioner och logaritmer Det gäller att d dx ex = e x, (5) d dx ax = ln(a)a x, a > 0, (6) d dx ln x = 1, x 0, (7) x d a log x = 1, x 0, (8) dx x ln a F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

64 Trigonometriska funktioner Det gäller att d sin x = cos x, (9) dx d cos x = sin x, (10) dx d dx tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x, (11) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

65 Arcusfunktioner Det gäller att d dx arcsin x = 1, (12) 1 x 2 d dx arccos x = 1, (13) 1 x 2 d dx arctan x = x 2, (14) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

66 Logaritmisk derivering Det gäller att Om d dx ln f (x) = f (x), f (x) 0, (15) f (x) f (x) = g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) så är ln f (x) = ln g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) = ln g 1 (x) + ln g 2 (x) ln g k (x). forts. på nästa sida. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

67 Det följer att f (x) f (x) = g 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) g k (x) varvid ( g f (x) = f (x) 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) ) g k (x) ( g = g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) ) g k (x) = g 1(x) g 2 (x)... g k (x) + g 1 (x) g 2(x)... g k (x) g 1 (x) g 2 (x)... g k (x). Detta är en generalisering av produktregeln. Tekniken med logaritmisk derivering är användbar även i tillämpningar! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

68 Implicit derivering Beräkna lutningen för tangenterna till kurvan x 2 + y 2 = 1 i de punkter där y = 1 2. Sätt y = y(x) lokalt. Det måste gälla att d dx y 2 + x 2 = d dx 1 = 0 2yy + 2x = 0 y = x y. Det finns två x värden där y = 1 2 nämligen x = ± 1 2. I punkten ( 1 2, 1 2 ) har tangenten således lutningen 1 och i punkten ( 1 2, 1 2 ) har den lutningen 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon Gränsvärde av f (x) då x +

Läs mer

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Modul 2 Mål och Sammanfattning

Modul 2 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Calmers tekniska ögskola Datum: 1015 kl. 0.0 12.0 Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 07 607040 LMA222a Matematik DAI1 oc EI1 Tentan rättas oc bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts. 5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 28 Lekt 3 Om f (x) = 2 x 2 och g(x) = x + 2, bestäm nedanstående funktion och dess definitionsmängd.

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel , ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: Georgi.Tchilikov@ide.hh.se, tel.035-167124, http://www.hh.se/staff/getc Ett försök till "strukturering" av innehållet (skrivet i första hand med

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterationer på ett intervall av Fredrik Bratt 2011 - No 3 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5. Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer