Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Transkript

1 Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde Definition. Mängden av tillåtna x-värden kallas definitionsmängd D f. Mängden av möjliga y-värden kallas värdemängd V f Exempel. Funktionen y = f(x) = x + har definitionsmängden D f = R, mängden av alla reella tal. och värdemängden V f = {y } Exempel. Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen g(x) = x. a är bara definierad om a 0, vilket ger Dg = { x } och V g = {0 y } Man kan även tänka sig funktioner av typen R R (Indata: ett tal, Utdata: två tal, ett talpar eller punkt.) Vilken kurva beskriver värdemängden till funktionen { x = lnt y = t Håkan Strömberg KTH Syd

2 x = lnt är definierad då t > 0. y = t är definierad för alla t. Alltså är D = {t > 0}. I enkla fall som detta kan funktionen skrivas om till en funktion y = f(x), eftersom y = t = {x = lnt t = e x } = (e x ) = e x Något om parallellförskjutningar Exempel 3. Givet grafen till funktionen y = /x i figuren Vi ska nu skissa grafen till - y = (+x) 3 3 innebär att kurvan flyttas 3 skalstreck nedåt. Vi har även gjort variabelbytet w = x+, som innebär att kurvan flyttas skalstreck åt vänster Talföljder Specialfall av funktion. Endast definierad för vissa heltal. Figuren visar talföljden a n = n för några värden på n Exempel. Ange a,a och a 3 för a n = n. n a n Håkan Strömberg KTH Syd

3 Aritmetisk talföljd Skillnaden d, mellan två på varandra följande tal är konstant. Formel a n = a n +d eller a n = a +(n )d Exempel 5. Vilket är det 000:e talet i den aritmetiska talföljden, om a = 3 och d = 7. a 000 = = 7006 Geometrisk talföljd Kvoten mellan två på varandra följande tal är konstant. Formel a n = a k n eller a n+ = a n k. Exempel 6. Vilket är det 00:e talet i geometriska talföljden, om a = /0 och k =? a 00 = 0 99 = Sammansatta funktioner Funktionen z = x kan ses som en sammansättning av de två funktionerna z = f(y) = y och y = g(x) = x Vi skriver nu z = f(g(x)) eller (f g)(x) (läs: f ring g). Exempel 7. Låt a) Beräkna f(0) f(x) = x och g(x) = x f(0) = x = b) Beräkna f(). f() är ej definierad, ty för x = blir nämnaren 0! c) Beräkna f(g(x)). Ange definitionsmängden f(g(x)) = f ( ) = x x = x = x x g(x) är definierad då x 0. f(g(x)) är definierad då x. D = {x x 0,x } Monotona funktioner Definition 3. Låt f(x) vara definierad på intervallet I. Då gäller Om x < x f(x ) f(x ) för alla x,x I sägs f vara växande. Om x < x f(x ) < f(x ) för alla x,x I sägs f vara strängt växande. Om x < x f(x ) f(x ) för alla x,x I sägs f vara avtagande. Om x < x f(x ) > f(x ) för alla x,x I sägs f vara strängt avtagande. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Definition. Låt f vara definierad på intervallet I. Då gäller Om f är växande eller avtagande på hela intervallet I sägs f vara monoton Om f är strängt växande eller strängt avtagande på hela intervallet I sägs f vara strängt monoton Potensfunktioner f(x) = x 3 x är ett exempel på en potensfunktion. Utmärkande för potensfunktioner är att den innehåller potenser. En potens består som bekant av en bas och en exponent. För dessa funktioner är är det basen som varierar och exponenten består av en konstant. När samtliga exponenter, som i exemplet ovan, är icke negativa heltal kalla vi funktionen polynomfunktion. Nu behöver inte exponenten vara helt. Till exempel hos f(x) = x 3 + x har vi två exponenter 3 och. Exponenterna kan även vara negativa f(x) = x +x x + x Exponentialfunktioner Till skillnad från potensfunktioner är det i exponentialfunktioner exponenten som varierar och basen som är konstant > 0, till exempel ( ) x f(x) = x x 3 x 3 Att kunna skapa funktionens graf är ofta viktigt. Här grafen för exemplet ovan Till vänster grafen för x, i mitten grafen för 3 x. När vi å adderar de två funktionerna får vi slutresultatet längst till höger. Logaritmfunktioner I logaritmfunktioner ingår förstås log till exempel f(x) = log x+lnx+lgx log x+log e x+log 0 x När man log x betyder -logaritmen, lnx den naturliga logaritmen och lg 0-logaritmen. Det kan kanske vara idé att fräscha upp kunskaperna om logaritmer. Hänvisar till läroboken. sid 3-6. Håkan Strömberg KTH Syd

5 Trigonometriska funktioner Trigonometriska funktioner uttrycks med hjälp av sinx, cosx, tanx. Du bör känna till grafen för dessa funktioner: Från vänster till höger ser vi grafen för sinx, cosx och tanx. Udda eller jämn En funktion sägs vara jämn då f( x) = f(x) och udda då f( x) = f(x) f(x) = sinx, till vänster, är en udda funktion. f(x) = cosx är däremot en jämn funktion. De flesta funktioner är varken udda eller jämna. Problem. Bestäm definitionsmängden till x 3 f(x) = x+ x 3 Funktionen är definierad då x 3 x 3 0 Den här typen av problem stötte vi på redan första föreläsningen i denna kurs. x 0 3 x x x 3 x odef + Detta ger definitionsmängden {x : x 0 eller x > 3} Problem. Bestäm definitionsmängden för ( x f(x) = arccos 3) Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Vi kommer att ta upp arcusfunktionerna längre fram i kursen. Därför anser vi oss inte kunna lösa detta problem ännu. Så här ser grafen ut Det ser ut som den har definitionsmängden {x : 3 x 3} Problem 3. Bestäm definitionsmängden för f(x) = ln(6x 5 x ) x 3x Dessa två villkor måste vara uppfyllda a) 6x 5 x > 0 b) x 3x > 0 Vi startar med att faktorisera a) och får ekvationen 6x 5 x = 0 x = x = 5 (x )(x 5) = 0 Villkoret är sant då (x )(x 5) < 0. Varför? Villkoret a) gäller då < x < 5. x x < < x < 5 5 x > 5 x x (x )(x 5) Vi undersöker så b) och får faktoriseringen som leder till x 3x = 0 x = 0 x = 3 x(x 3) = 0 x x < < x < 3 3 x > 3 x x x(x 3) Villkoret b) gäller då x < 0 eller x > 3. Till sist kombinerar vi de två villkoren, som båda ska gälla Svar: 3 < x < 5 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Problem. Bestäm definitionsmängden för Här är grafen för arcsinx f(x) = ln(3 x)+arcsin(x )+e x + sin3x som har definitionsmängden x. Dessa två villkor måste vara uppfyllda a) 3 x > 0 x < 3 b) x 3 Eftersom e x och sin3x har definitionsmängden R behöver vi inte bry oss om dem här Vi kan enkelt kombinera de två villkor till x < 3 Problem 5. Bestäm definitionsmängden för Här är grafen för arccosx f(x) = ln( x)+arccos(x )+x+ cosx som har definitionsmängden x. Dessa två villkor måste vara uppfyllda a) x > 0 x < b) x 3 Eftersom x och cos3x har definitionsmängden R behöver vi inte bry oss om dem här Vi kombinerar de två villkoren och får definitionsmängden x < Problem 6. Bestäm definitionsmängden för f(x) = ln(x 3)+ Här är villkoren som måste vara uppfyllda e 6 x är definierad för hela R. 3 x +e 6 x a) x 3 > 0 x > 3 b) 3 x 0 x 6 x = 6 faktoriseras till (x+)(x ) och vi ser direkt att x för att (x+)(x ) 0 Vi kombinerar detta villkor med x > 3 och får 3 < x. Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Problem 7. Bestäm definitionsmängden för f(x) = x +ln(50 x )+sin(x )+arcsinx Här är villkoren som måste vara uppfyllda sin(x ) är definierad i hela R. a) x 0 x b) 50 x > 0 x < 5 c) x x = 5 faktoriseras till(x+5)(x 5) och vi ser direkt att 5 x 5 för att (x+5)(x 5) < 0 I figuren ser vi att definitionsområdet är φ (tomma mängden). Problem 8. Vilken kurva beskriver Ur första sambandet får vi { x = sint y = cost t = arcsin x Detta sätter vi in i det andra sambandet och får ( ( x y = cos arcsin = x )) Kvadrerar vi båda sidor får vi x +y =, en cirkel med radien och centrum i origo. Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Problem 9. Vilken kurva beskriver värdemängden till funktionen { x = t+t Lös ut t ur första sambandet ger In i andra sambandet ger förstås y = t t = ± +x y = ± +x Problem 0. Uttryck x som funktion y y = +x x y( x) = +x y xy = +x y = xy+x Problem. Bestäm då y = x(y+) x = y y+ f ( ) x f(x) = x +x Vi ska alltså sätta in x i funktionen f ( ) = x x + x = x x+ x = x x x+ = x+ Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Problem. Bestäm en formel som beskriver talföljden,,8, 6,... Vi har här en geometrisk talföljd med kvoten. En fungerande formel är a n = ( ) n Problem 3. Bestäm definitionsmängd (D f ) och värdemängd (V f ) för a) Funktionen f(x) = x 3 har D f = R och V f = R b) Funktionen f(x) = x har D f = R. Då f(x) aldrig kan bli > är V f = {y } c) Funktionen f(x) = 3 har D f = R, men V f = {3}. d) Funktionen g(x) = x är inte definierad för x >, alltså är D g = {x }. Eftersom g(x) endast kan anta värden 0 är V g = {y 0} Problem. Beskriv grafen till funktionen f(x) = (x+) Funktionen är inte definierad för x =. Det finns en lodrät asymptot för x =. Lösningen till ekvationen 3(x +) = ger nollställena x = ±/ 3. Då x närmar sig från både höger och vänster går y + Problem 5. Låt Vad blir då f(x) = x och g(x) = x a) f(0). Insatt f(0) = /( 0) = b) f(). Insatt f() = /( ), ej definierad c) g( x). Insatt g( x) = x, x = ej definierat d) f(g(x)). Insatt f( x ) = /( x ) = x x, x = 0 och x =, ej definierade e) (g f)(x) samma sak som g(f(x)). Insatt får vi x = ej definierad g(f(x)) = x = x Håkan Strömberg 0 KTH Syd

11 f) (f f)(x) samma sak som f(f(x)) ger f(f(x)) = x f() ej definierad f(f( )) ej definierad. = ( x) (x+) = (x ) (x+) Problem 6. Bestäm definitionsmängd och värdemängd för funktionen f(x) = 5 x Bestäm dessutom f(5), f( ) och f( x) Definitionsmängd f(a) = a har definitionsmängden {a : a 0}. a = (5 x ) 0, (5 x)(5+x) 0 x < 5 x = 5 5 < x < 5 x = 5 x > 5 5+x x (5+x)(5 x) definitionsmängden är 5 x 5. När det gäller värdemängden inser man att 0 f(x) 5. Den undre gränsen får man för x = ±5 och den övre för x = 0. Vi skriver D f = { 5 x 5} eller rätt och slätt D f = [ 5,5] och för värdemängden V f = {0 f(x) 5} eller V f = [0,5]. f(5) = 0, f( ) = 3 och f( x) = 5 x Problem 7. Bestäm definitionsmängd och värdemängd för funktionen Bestäm dessutom f(5), f( ) och f( x) f(x) = 3 x+3 f(x) = 3 x+3 Den här funktionen har R (alla reella tal) som definitionsmängd och likaså för värdemängden. Vi skriver D f = R och V f = R. f(5) =, f( ) = och f( x) = 3 3 x Problem 8. Givet funktionen f(x) = ( 0 x +0 x) Visa att a) (f(x)) = f(x)+ b) (f(x)f(y) = f(x+y) f(x y) Håkan Strömberg KTH Syd

12 a) ( (f(x)) ( 0 x +0 x)) ( ( ) ) 0 x +0 x + 0x + 0 x + b) f(x)+ (0 x +0 x) + 0x + 0 x + f(x)f(y) ( 0 x +0 x)( 0 y +0 y) ( 0 x+y +0 x y +0 y x +0 x y) f(x+y)+f(x y) (0x+y +0 x y )+ (0x y +0 y x ) (0x+y +0 x y +0 y x +0 x y ) Problem 9. Skissa funktionerna f(x) = (x+) g(x) = x Uttryck först F(x) = f(g(x)) och G(x) = g(f(x)) med hjälp av f(x) och g(x) och avsluta med att att skissa F(x) och G(x). Vilken graf tillhör vilken funktion? F(x) = f(g(x)) = ((x )+) = (x ) G(x) = g(f(x)) = (x+) Problem 0. Bestäm inversen (om den finns) till f(x) = x 3 Lös y = x 3 med avseende på x ger x = 3+y. Vi skriver inversfunktionen g(x) = f (x) g(x) = 3+x Håkan Strömberg KTH Syd

13 Problem. Bestäm inversen (om den finns) till f(x) = x 3 x+ Lös y = x 3 x+ med avseende på x. Vi får x = 3 y y och kan skriva f (x) = 3+x x Problem. Bestäm inversen (om den finns) till f(x) = x + Lös y = x + med avseende på x, ger x = y. Vi får g(x) = x Man skulle kunna tänka sig att inversen har följande utseende men då är det ingen funktion. Nej istället har man bestämt sig för att endast ta med den positiva grenen Häng inte upp dig på hur axlarna är placerade. Problem 3. Given Är funktionen udda eller jämn? f(x) = x x Funktionen är helt klart udda eftersom det stämmer bra på definitionen f( x) = f(x). Håkan Strömberg 3 KTH Syd

14 Problem. Given Är funktionen udda eller jämn? f(x) = x x 6 Denna funktion är jämn Problem 5. Given Är funktionen udda eller jämn? f(x) = x+3 Jämn är den ju inte, så vi antar att den är udda. I så fall x +3 = (x +3) som ger 0 = 6 och funktionen är varken jämn eller udda. Problem 6. Given Är funktionen udda eller jämn? f(x) = x 3 +x Funktion är varken jämn eller udda. Håkan Strömberg KTH Syd

15 Problem 7. Given Är funktionen udda eller jämn? f(x) = sinx Den här är udda eller hur. Om man vrider den del av grafen som ligger på positiva x-axeln ett halvt varv runt x-axeln så får man en jämn funktion. Problem 8. Given Är funktionen udda eller jämn? f(x) = e x Den här ser man ju direkt, när man får se grafen, att den är jämn. Håkan Strömberg 5 KTH Syd