KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH"

Transkript

1 KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006

2 Håkan Strömberg KTH Syd

3 Innehåll Derivatans definition Uppgift Uppgift Standardderivator Utantill Derivata Kedjeregeln Uppgift Derivata Produktregeln Uppgift Uppgift Derivata Kvotregeln Uppgift Uppgift Implicit derivering Uppgift Uppgift Största och minsta värde hos en funktion Uppgift Uppgift Grafritning Uppgift Optimering Uppgift Uppgift Standardintegraler Utantill

4 INNEHÅLL Integraler Uppgift Uppgift Partiell integrering Uppgift Uppgift Integrering med substitution Uppgift Uppgift Uppgift Integrering med partialbråksuppdelning Uppgift Uppgift Bestämd integral Uppgift Uppgift Generaliserad integral Uppgift Uppgift Rotationsvolym Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 INNEHÅLL Derivatans definition Uppgift Bestäm med hjälp av derivatans definition derivatan till f(x) = x 3 + x + 4 Vi kan med enkla medel bestämma derivatan till detta polynom och vet att vi ska få resultatet f (x) = 3x +. Definitionen ger oss följande f(x + h) f(x) lim h 0 h Vi utvecklar täljaren och får = lim h 0 (x + h) 3 + (x + h) + 4 (x 3 + x + 4) h (x+h) 3 +(x+h)+4 (x 3 +x+4) (x 3 +3x h+3xh +h 3 )+(x+h)+4 (x 3 +x+4) 3x h + 3xh + h 3 + h h(3x + 3xh + h + ) Vårt gränsvärdesproblem får nu följande utseende Målet är nått! h(3x + 3xh + h + ) lim = lim 3x + 3xh + h + = 3x + h 0 h h 0 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 DERIVATANS DEFINITION Uppgift Bestäm med hjälp av derivatans definition derivatan till f(x) = sinx + cosx Vi kan enkelt bestämma, med hjälp standardderivator, derivatan till f (x) = cosx sinx Men nu är det derivatans definition som gäller: sin(x + h) sinx cos(x + h) cosx lim + lim h 0 h h 0 h Här gäller det att känna till de trigonometriska formlerna sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α + β) = cos α cosβ sin α sinβ Vi behandlar nu ett gränsvärde i taget och börjar med det första sinxcosh + cosxsinh sinx lim h 0 h som i sin tur sönderfaller i två gränsvärden och sinx cosh sinx lim h 0 h = lim h 0 sin x(cosh ) h cosxsinh lim h 0 h = sinx lim h 0 cosh h = cosx lim h 0 sinh h = cosx = sinx 0 Dessa två gränsvärden kan man klara med l Hospitals regel. Över till det andra gränsvärdet cosx cosh sinx sinh cosx lim h 0 h som även det sönderfaller i två och cosx(cosh ) cosh lim = cosx lim = cosx 0 h 0 h h 0 h sinx sin h sinh lim = sinx lim h 0 h h 0 h = sinx Även dessa med l Hospitals regel. Vi sammanställer svaret till det väntade f (x) = cosx sinx Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 INNEHÅLL Standardderivator Utantill Följande derivator bör du kunna utantill. Lita inte på att du kan härleda dem med hjälp av derivatans definition D[x a ] = a x a D[sinx] = cosx D[cosx] = sinx D[tanx] = D[e x ] = e x D[ln x ] = cos x x D[a x ] = a x lna D[arcsinx] = x D[ x] = x D[arctanx] = + x Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 DERIVATA KEDJEREGELN Derivata Kedjeregeln Uppgift Bestäm derivatan till f(x) f(x) = sin(ln(cos x)) f (x) = cos(ln(cosx)) ( sin(x)) = tan(x) cos(ln(cosx)) cos x Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 INNEHÅLL Derivata Produktregeln Uppgift Bestäm derivatan till f(x) = x sinx Med hjälp av produktregeln D[g(x) h(x)] = g (x)h(x) + g(x)h (x) får vi om vi väljer g(x) = x och h(x) = sinx f (x) = x sinx + x cosx Uppgift Bestäm derivatan till Här måste vi använda produktregeln f(x) = x sinx lnx D[g(x) h(x)] = g (x)h(x) + g(x)h (x) två gånger. Vi väljer g(x) = x och h(x) = sin x lnx och får f (x) = x sin x ln x+x D[sinx lnx] x sin x ln x+x ( cosx lnx + sinx ) x x( sinx lnx + x cosx lnx + sinx) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 DERIVATA KVOTREGELN Derivata Kvotregeln Uppgift Bestäm derivatan till Med kvotregeln D f(x) = sinx cosx [ ] f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) får vi f cosx cosx (sinx ( sinx) (x) = cos x Vi har använt trigonometriska ettan sin α + cos α = = cos x Eftersom har vi alltså bestämt tanx = sinx cosx D[tanx] = cos x Uppgift Bestäm derivatan till lnx cosx f(x) = x Här måste vi kombinera kvotregeln med produktregeln f (x) = D[lnx cos x] x (lnx cosx) x x 4 ( x cosx + lnx( sinx)) x (lnx cosx) x x 4 x cosx + x lnx( sinx) x lnx cosx x 4 cosx x lnx sinx lnx cosx x 3 Håkan Strömberg 0 KTH Syd

11 INNEHÅLL Implicit derivering Uppgift Bestäm kurvans lutning i punkten (, ) för ekvationen y 3 + x 3 = xy Bekvämast är att derivera implicit och vi får Vi löser ut y och får Punkten (, ) ger oss 3y y + 3x = y + xy y = Svar: Tangentens k-värde är y = y 3x 3y x 3 ( 3 ( ) ) = Håkan Strömberg KTH Syd

12 IMPLICIT DERIVERING Uppgift När Konsum skulle designa sin logo kom de på att punkten ( till ekvationen (x + y ) (x y ) = 0 Bestäm linjens ekvation för kurvans tangent i den punkten. 3, 3 ) ligger på kurvan Vi har små möjligheter att uttrycka y som funktion av x och måste därför derivera implicit D[(x +y ) (x y )] = D[x 4 +y 4 +x y x +y ] = 4x 3 +4y 3 y +4xy +4x yy x+yy Vi löser nu ut y 4x 3 + 4y 3 y + 4xy + 4x yy x + yy = 0 4y 3 y + 4x yy + yy = x 4x 3 4xy y (y 3 + x y + y) = (x x 3 xy ) y = x x3 xy y 3 + x y + y Linjens lutning får vi nu genom att sätta in punkten i detta uttryck y = ( ) ) ( 3 + ( 3 3 ( 3) ) = 5 Utgår vi nu från punkten (, ) och k = kan vi bestämma m i y = kx + m till och få linjen 3 = y = m 5 x + 5 Håkan Strömberg KTH Syd

13 INNEHÅLL Största och minsta värde hos en funktion Uppgift Bestäm största och minsta värde av funktionen i intervallet x 0 Plan: f(x) = x 3 3x x + 6 Är funktionen kontinuerlig i intervallet? Har funktionen några singulära punkter? Punkter där derivatan inte är definierad. 3 Ta reda på funktionens stationära punkter genom att lösa f (x) = 0 4 Avgör om möjligt, genom f (x), om de stationära punkterna är maxpunkter eller minpunkter 5 Ta reda på f(x) för intervallets ändpunkter. 6 Bestäm nu funktionens största respektive minsta värde i intervallet. Genomförande: Funktionen är kontinuerlig för x från till, så då speciellt på intervallet x 0 Funktionen har inga singulära punkter 3 Funktionen har derivatan f (x) = 6x 6x f (x) = 0 då 6x 6x = 0, som har rötterna x = och x =. Eftersom x = ligger utanför aktuellt intervall finns endast en stationär punkt i intervallet (, f( )) = (, 3) 4 Vi tar fram andra derivatan f (x) = x 6 f ( ) = 8 < 0, medför att vi har att göra med en maxpunkt. 5 I intervallets ändpunkter har vi f( ) = och f(0) = 6 6 Det är endast bland de tre punkterna (, ), (, 3) och (0, 6) vi kan finna funktionens största respektive minsta värde på intervallet x 0. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

14 STÖRSTA OCH MINSTA VÄRDE HOS EN FUNKTION Svar: Funktionens största värde är 3 och dess minsta är Håkan Strömberg 4 KTH Syd

15 INNEHÅLL Uppgift Bestäm största och minsta värde av funktionen f(x) = x 3 + x 70x på intervallet 7 x 3, samt funktionens nollställen. Plan: Är funktionen kontinuerlig i intervallet? Har funktionen några singulära punkter? Punkter där derivatan inte är definierad. 3 Ta reda på funktionens stationära punkter genom att lösa f (x) = 0 4 Avgör om möjligt, genom f (x), om de stationära punkterna är maxpunkter eller minpunkter 5 Ta reda på f(x) för intervallets ändpunkter. 6 Bestäm nu funktionens största respektive minsta värde i intervallet. 7 Lös ekvationen f(x) = 0 för att få funktionens nollställen. Genomförande: - Polynom är kontinuerliga på hela R. Dessutom saknar de singulära punkter. Derivatan är definierad på hela R. 3 Funktionen har derivatan f (x) = 6x + 4x 70 Vi löser så andragradsekvationen för att få funktionens stationära punkter 4 Funktionens andraderivata är 6x + 4x 70 = 0 x + 4x 45 = 0 x = ± x = ± 7 x = 9 x = 5 f (x) = x + 4 Eftersom f ( 9) < 0 är punkten ( 9, f( 9)) = ( 9, 944) en maxpunkt och eftersom f (5) > 0 är punkten (5, f(5)) = (5, 800) en minpunkt. 5 Vi bestämmer så och f( 7) = 768 f(3) = 9 Detta är det minst komplicerade tredjegradspolynom, där maxpunkter, minpunkter och nollställen alla är heltal. Trots det klarar vi knappast beräkningarna utan att miniräknare. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

16 STÖRSTA OCH MINSTA VÄRDE HOS EN FUNKTION 6 Det största respektive det minsta värdet finns i intervallets ändpunkter. Största värdet är 9 och minsta värdet är Återstår att lösa ekvationen x 3 + x 70x = 0 Vi ser att en rot är x = 0. De andra två rötterna får vi genom att lösa Grafen bekräftar att vårt resultat är korrekt. x + x 70 = 0 x + 6x 35 = 0 x = 3 ± 9 35 x = 3 ± x = 9 x = 5 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

17 INNEHÅLL Grafritning Uppgift Skissa grafen till funktionen Plan: Vi ska nu i tur och ordning bestämma Funktionens nollställen Asymptoter 3 Extrempunkter 4 Värdetabell Genomförande: f(x) = x4 4 3x + x Funktionens nollställen, är kurvans skärning med x-axeln. Att lösa ekvationen x 4 4 3x + x = 0 är inte lätt. Det blir ofta så när man vill lösa ett problem med en intressantare derivata. En rot kan vi hitta x = 0. Återstår dock en tredjegradsekvation att lösa när vi förkortat bort ett x. x 3 4 3x + = 0 En rot får vi med hjälp av dator x = De andra två är inte reella (en fjärdegradsekvation har ju som bekant fyra rötter inklusive de icke reella). När x går f(x) och då x går åter f(x). Vi förstår av detta att kurvan kommer uppifrån skär x-axeln, vänder och försvinner uppåt igen. Av detta förstår vi att det måste finnas åtminstone en minpunkt. Däremot inga asymptoter. 3 Vi deriverar och f (x) = x 3 3x + och sätter f (x) = 0. Vi får åter en tredjegradsekvation att brottas med. Om det ska vara någon vits med denna uppgift måste vi kunna gissa en eller flera Håkan Strömberg 7 KTH Syd

18 GRAFRITNING rötter. x = är en rot. Företar vi nu en polynomdivision får vi x 3 3x + : x + = x x + x 3 +x x x 3x 4x x + x + Denna andragradsekvation löser vi 0 x x + = 0 med andra kvadreringsregeln till (x ) = 0, som ger dubbelroten x,3 =. Teckenstudium av derivatan ger oss nu x < x = < x < x = x > ց 0 ր 0 ր Vi sätter helt enkelt in något x-värde i f (x), för de olika intervallen och läser av om derivatan är > 0 eller < 0. Från tabellen kan vi avläsa att vi har att göra med en minpunkt och en terrasspunkt. f( ) = 6 ger oss maxpunkten (, 6) och f() = 3 ger oss terrasspunkten (, 3) Vi samlar till sist den information om grafen vi fått x 0 3 y typ Nollställe Minpunkt Terrass Med dessa punkter som stöd och vetskapen om hur funktionen beter sig då x ± kan vi skissa kurvan Håkan Strömberg 8 KTH Syd

19 INNEHÅLL Optimering Uppgift Bestäm den till arean största rektangel som kan skrivas in i den yta som begränsas av x-axeln, y-axeln och funktionen f(x) = 8 x Ett hörn kommer att ligga i origo, ett på x-axeln, ett på y-axeln och ett på kurvan till funktionen. Vi löser ekvationen 8 x 3 = 0 och får roten x =. Vi vet från detta att hörnet på x-axeln ligger i intervallet [0, ]. Om hörnet på x-axeln har koordinaten (x, 0) så har hörnet på kurvan koordinaterna (x, 8 x 3 ). Rektangeln har då en bas med längden x och en höjd som är 8 x 3. Rektangelns area A blir då A(x) = x(8 x 3 ) Det är denna funktion vi ska finna ett största värde för då x [0, ]. Vi startar med att derivera funktionen och får A (x) = 8 4x 3 När vi löser A (x) = 0 får vi roten x = 3. Då A ( 3 ) = ( 3 ) < 0 har vi funnit en maxpunkt. Vi ser genast att arean är 0 för x i intervallets ändpunkter. Alltså måste det sökta maxvärdet vara A( 3 ) = 3 (8 ( 3 ) 3 ) = 6 3 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

20 OPTIMERING Uppgift Av en 0 meter lång ståltråd vill man skapa en liksidig triangel och en kvadrat. Var ska tråden klippas av, för att den största respektive den minsta möjliga sammanlagda arean ska erhållas? Till att börja med har vi två kända formler för triangeln respektive kvadratens area. A T = b h Speciellt för en liksidig triangel med sidan b gäller 3b A T = 4 A K = s som vi får genom att betrakta den halva liksidiga triangeln tillsammans med Pythagoras sats: ( ) b h = b = b 3 Antag att vi använder x meter till kvadraten då återstår 0 x meter till triangeln. Detta betyder att kvadratens sida s = x/4 och triangelns bas b = (0 x)/3. Vi kan nu teckna den totala arean som funktion av x A(x) = A T + A K = ( ( x 3 0 x + 3 4) 4 Nu är det dags att bestämma f (x) och lösa f (x) = 0 ) f (x) = ( 8 ) 3(x 0) + 8x 44 ( 8 ) 3(x 0) + 8x = (x 0) + 8x = 0 8 3x x = 0 8 3x + 8x = 80 3 x = = (4 ) 3(x 0) + 9x 44 Håkan Strömberg 0 KTH Syd

21 INNEHÅLL Är det ett minimum eller ett maximum vi har? Enklast ser vi detta genom att bestämma f(0) = 5/4 = 6.5 (allt till kvadraten) och f(0) = (allt till 3 triangeln). Vi har alltså ett minimum vid x 4.35 m, då den sammanlagda arean endast är.7 m. Största arean får vi då allt används till kvadraten, 6.5 m. Detta bekräftas av funktionens graf Håkan Strömberg KTH Syd

22 STANDARDINTEGRALER Standardintegraler Utantill Följande standardintegraler ska man kunna utantill: x a dx = xa+ + C då a a + sinxdx = cosx + C cosxdx = sinx + C dx sin x = tan x + C dx cos x = tanx + C e x dx = e x + C dx x = ln x + C dx x = arcsinx + C dx + x = arctanx + C Ännu bättre är det kanske, att med hjälp av satsen: Sats. Låt a 0 och b vara konstanter. Låt F(x) vara primitiv funktion till f(x). Då gäller f(ax + b) dx = a F(x) + C räkna fram denna tabell istället för att lära sig den utantill: (ax + b) n dx = (ax + b)n+ a(n + ) cos(ax + b)dx = sin(ax + b) a + C då a + C dx sin (ax + b) = a tan(ax + b) + C dx ln ax + b = + C ax + b a sin(ax + b)dx = cos(ax + b) a + C dx tan(ax + b) cos = + C (ax + b) a e (ax+b) dx = e(ax+b) a + C dx arcsin(ax + b) = + C (ax + b) a dx arctan(ax + b) = + C + (ax + b) a Håkan Strömberg KTH Syd

23 INNEHÅLL Integraler Uppgift Bestäm t 6 t dx t 6 t ( ) t 6 dx = t 4 t t dx = t dx 4 t 4 Uppgift t 4 t3 dx = t 3 + t + C Bestäm tan xdx Här utnyttjar vi den förträffliga satsen f (x) dx = ln f(x) + C f(x) Eftersom och D[cosx] = sinx får vi tanxdx = sinx cosx dx = tanx = sinx cosx sinx cosx dx = ln(cosx) + C Håkan Strömberg 3 KTH Syd

24 PARTIELL INTEGRERING Partiell integrering Uppgift Bestäm integralen Vi har formeln x e x dx f(x)g(x) = F(x)g(x) F(x)g (x) Vi väljer g(x) = x. Det kommer att ta en stund, men för varje gång vi deriverar g(x) kommer gradtalet att avta. Till sist har vi bara e x kvar att integrera och då är det lätt ( ) e x x dx = e x x e x xdx = e x x e x x e x dx = e x x (e x x e x ) = e x( x x + ) + C Håkan Strömberg 4 KTH Syd

25 INNEHÅLL Uppgift Bestäm integralen sinx cosxdx I: Vi löser problemet med partiell integration och väljer f(x) = sinx. sinx cos xdx = cosx cosx ( cosx)( sinx) dx = cos x cos x sinxdx Vi har fått tillbaka samma integral igen och kan skriva sin x cosxdx = cos x sinx cosxdx = cos x II: Vi löser problemet med substitution och väljer t = cosx, som leder till dt = sinxdx eller dt = sinxdx och vi får t dt = t = x cos + C + C III: Vi löser problemet med följande trigonometriska samband. sinα = sinα cosα och ersätter vår integral med sinx cosxdx = sinxdx = cosx + C För att komma till samma utseende på vårt svar, som ovan, måste vi även blanda in cosα = cos α som vi skriver om till och substituerar i vårt resultat cosx cosα + C = cos x = cos α + C = cos x + C = cos x + C plus ett tal C vilket som helst måste förstås vara ett tal C vilket som helst! Tre olika metoder som leder till samma mål. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

26 INTEGRERING MED SUBSTITUTION Integrering med substitution Uppgift Bestäm dx (3 5x) En uppgift som gjord för substitution. Vi väljer Integralen övergår nu i t = 3 5x x = 3 t 5 dx = 5 dt dt 5 = dt t 5 t = 5 t + C = 5(3 5x) + C Uppgift Bestäm integralen + x dx Sätt t = x och vi får x = t och dx = t dt + x dx = Återställ nu substitutionen ( t + t dt = + t x log + x + C ) dt = t log + t = Håkan Strömberg 6 KTH Syd

27 INNEHÅLL Uppgift 3 Beräkna 3x cosx 3 dx Funktionen t = x 3 är ett lämpligt val. Vi bestämmer inversen x = t 3 Vi deriverar och får dx dt = 3t 3 omskrivet till dx = dt 3t 3 Nu vet vi vad vi ska ersätta dx och x med i integralen. ( ) cost 3 t dt 3 3t 3 3t 3 cost dt 3t 3 = costdt = sint + C = sinx 3 + C Egentligen är det i detta skede ganska lätt att se att 3x är innerderivatan när vi bestämmer D[cosx 3 ] Håkan Strömberg 7 KTH Syd

28 INTEGRERING MED PARTIALBRÅKSUPPDELNING Integrering med partialbråksuppdelning Uppgift Faktorisera nämnaren. Ekvationen x x + x 6 dx x + x 6 = 0 har rötterna x = och x = 3 och integralen övergår nu till ansatsen där vi nu söker A och B. A x + B x + 3 A x + B x + 3 = A(x + 3) + B(x ) (x )(x + 3) = (A + B)x + (3A B) (x )(x + 3) Som leder till ekvationssystemet { A + B = 3A B = 0 med lösningen A = och B = 3. Till sist har vi nu att integrera 5 5 ) ( x x + x 6 dx = 5(x ) + 3 5(x + 3) dx = 5 5 ln x + 3 ln x C 5 dx x dx dx x + 3 dx = Håkan Strömberg 8 KTH Syd

29 INNEHÅLL Uppgift Bestäm integralen x 3 3x Partialbråksuppdelning är den metod som ska användas här. Först startar vi med att faktorisera nämnaren genom att lösa ekvationen: x 3 3x = 0 En tredjegradsekvation där det är enkelt att gissa att en rot är x =. Genom polynomdivisionen x 3 3x x kommer vi att få ett polynom av andra graden, vars motsvarande andragradsekvation kommer att ge de andra två rötterna. x 3 3x : x = x +x + x 3 x x x 3x 4x x x 0 Det uttryck vi fått kan vi faktorisera direkt med första kvadreringsregeln x + x + = (x + )(x + ) Vi kan nu skriva om vår integral till (x + )(x + )(x ) dx Vi gör en ansats (x + )(x + )(x ) = A x + + B (x + ) + C x Observera alltså hur man hanterar en partialbråksuppdelning där samma faktor, (x+) förekommer två gånger. Med hjälp av identifiering ska vi nu ta reda på A, B och C. Vi gör liknämnigt A(x + )(x ) (x + ) (x ) + B(x ) C(x + ) + (x + ) (x ) (x + ) (x ) = Håkan Strömberg 9 KTH Syd

30 INTEGRERING MED PARTIALBRÅKSUPPDELNING (Ax Ax A) + (Bx B) + (Cx + Cx + C) (x + ) (x ) (A + C)x + (B A + C)x + (C A B) (x + ) (x ) Detta leder fram till följande ekvationssystem A + C = 0 A + B + C = 0 C A B = Med lösningen A =, B = 9 och C =. Detta leder till att integralen kan 3 9 skrivas: (x + )(x + )(x ) dx = 9 x + dx 3 = = (x + ) dx ln x + + 3(x + ) + ln x + C 9 x dx Håkan Strömberg 30 KTH Syd

31 INNEHÅLL Bestämd integral Uppgift Bestäm π 0 x sinxdx Vi tar till partiell integrering för att finna den primitiva funktionen. f(x) = sinx och g(x) = x. f(x)g(x) dx = F(x)g(x) F(x)g (x) dx ger π 0 sinx xdx = [ cosx x] π 0 cosx dx = [ cosx x] π 0 + [sin x]π 0 = π ( 0) + (0 0) = π Uppgift Bestäm b b ln xdx = Vi har här alltså en ekvation där vi ska bestämma b så att den bestämda integralen får värdet. Först tar vi itu med att finna den primitiva funktionen till: lnxdx = lnxdx = x ln x x dx = x ln x x + C x Vi ordnar det alltså med partiell integrering, där vi sätter f(x) =. Återstår så att lösa ekvationen b ln xdx = [x lnx x] b = b lnb b ( ln ) = b(lnb ) + = b(lnb ) = 0 ln b = b = e Svar: b = e Håkan Strömberg 3 KTH Syd

32 GENERALISERAD INTEGRAL Generaliserad integral Uppgift Bestäm 0 dx + x T dx lim T 0 + x = lim T [arctanx]t 0 = lim arctant arctan0 = π T Vilken kurva är vilken? Svar: π Håkan Strömberg 3 KTH Syd

33 INNEHÅLL Uppgift Bestäm Vi skriver om integralen T [ dx lim T (x ) = lim 3 T (x ) dx (x ) 3 ] T ( ) = lim T ( ) + = (T ) Håkan Strömberg 33 KTH Syd

34 ROTATIONSVOLYM Rotationsvolym Uppgift En del av arean under kurvan till funktionen f(x) = x + 3 roteras kring x-axeln. Bestäm denna kropps volym Med hjälp av formeln får vi π b a (f(x)) dx π 3 ( x + 3 ) dx = π 3 [ ] x x 4 + 6x dx = π 5 + x3 + 9x dx = ) ( 3 5 π = 59π 5 Håkan Strömberg 34 KTH Syd

35 INNEHÅLL Uppgift Det område som innesluts av f(x) = x 3 och g(x) = x och x = ska roteras kring x-axeln. Med hjälp av formeln π b a (f(x)) (g(x)) dx kan vi bestämma denna volym. Först måste vi lösa den enkla ekvationen f(x) = g(x) x 3 = x som har roten x =. Vi vet dessutom att x 3 > x då x >, så nu kan vi teckna vår integral ( π ) x 3 ( ) [ ] x x dx = π x 6 x 4 7 dx = π = ( ) 7 π = 48π 35 7 x5 5 Håkan Strömberg 35 KTH Syd

36 ROTATIONSVOLYM Uppgift Rotera den skuggade ytan mellan funktionen och x-axeln kring y-axeln. Med hjälp av formeln -3 f(x) = 4x x 3 V = π b a xf(x) dx får vi den önskade volymen. Genom att lösa ekvationen 4x x 3 = 0 som har rötterna x = och x = 3 får vi gränserna och vår integral blir V = π 3 x(4x x 3) dx = π 3 [ ] 4x 4x x xdx = π 3 x4 4 3x = )) ( π ( = 6π 3 Håkan Strömberg 36 KTH Syd

37 INNEHÅLL Uppgift 4 Den cirkulära badringen i figuren har en innerdiameter på 30 cm. Tvärsnittsarean är också en cirkel med diametern 8 cm. Bestäm badringens volym. En cirkel med radien r har ekvationen x + y = r så länge den är placerad med centrum i origo. En cirkel som har sitt centrum i punkten (x, 0), alltså någonstans på x-axeln har ekvationen (x x ) + y = r I vårt fall är radien 9 och x = om vi placerar badringen som i figuren ovan med sitt stora centrum i origo. Vi får då cirkelns ekvation till (x 4) + y = 8 Som en kontroll, då y = 0 är x = 5 och x = 33. Om vi löser ut y ur ekvationen får vi y = ± 8 (x 4) Med hjälp av formeln Får vi V = π V = π 33 5 b a xf(x) dx x 8 (x ) dx Håkan Strömberg 37 KTH Syd

38 ROTATIONSVOLYM Gränserna kommer från 5 = 4 9 och 33 = Detta är tyvärr en svår integral som vi inte klarar i den här kursen. Datorn ger oss den den här primitiva funktionen (( x x 369 ) ( ) 8 (x 4) ) x 4 π + 97 arcsin + C 3 9 Med gränserna insatta ger detta volymen 944π. Eftersom detta är halva badringens volym, vi har ju bara roterat den övre halvan av cirkeln, är hela volymen 3888π Håkan Strömberg 38 KTH Syd

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

f (a) sin

f (a) sin Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

8.4. Integration av trigonometriska uttryck

8.4. Integration av trigonometriska uttryck 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

REDOVISNINGSUPPGIFTER

REDOVISNINGSUPPGIFTER REDOVISNINGSUPPGIFTER Eleven får en mer omfattande uppgift som under eget ansvar ska analyseras, genomföras och redovisas, såväl muntligt som skriftligt. Uppgiften kräver kunskaper från olika områden av

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer