Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.
|
|
- Håkan Bergqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor. A Sök det största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 + 2y 2 x på cirkeln x 2 + y 2 = 1. A Vilka värden kan funktionen f antaga om f(x,y) är given av a. x 2 + 2y 2 då 2x 2 + y 2 = 1. b x y 2 då x2 + y 2 = 1. c. xy 2 då 5x 2 + y 2 = 15. A Bestäm det största och minsta värde funktionen antar om f(x,y) är given av a. x 2 y 2 xy då x 2 + y 2 = 1. b. xy då x 2 + 4y 2 = 1. A Vilka värden antar f(x,y) = x 2 + 2y 2 10y på cirkeln x 2 + y 2 = 6y? A Bestäm värdemängden till funktionen f om f(x,y) är given av a. x 2 + 4y 2 om x 4 + y 4 = 17 b. x 2 2x + y 2 2y om x 2 + y 2 = 1 c. x 4 y 4 om x 4 + y 4 = 16. A Vilka värden antar funktionen f(x,y,z) = xyz då x + 2y + z = 2 och x 0, y 0, z 0? A Bestäm största och minsta värdet av f(x,y,z) = x 2 + 2y 2 + z 2 när x 2 + y 2 + 2z 2 2 = 0. A a. Vilken är den maximala produkten av tre positiva tal med summan 6? b. Vilken är den maximala arean av en rätvinklig triangel med omkretsen 2? 1
2 A En parallellepiped har sju hörn på koordinatplanen och det åttonde hörnet på ellipsoiden x2 2 + y2 3 + z2 = 9. Vad är den maximala volymen? 4 A Kan summan av tre positiva tal vara 5 om deras produkt är 10? B Sök största och minsta värdet av x 2 + y 2 då x 4 y 2 + x 2 y 4 = 2. B Beräkna minimum av 4x 2 + 3y 2 + 5z 2 om xy + 2yz + 3zx = 6. B Bestäm största och minsta värdet av f(x,y,z) = xy + yz + zx på sfären x 2 + y 2 + z 2 = 1. B En triangel har vinklarna x, y och z. Vilka värden kan antas av a. f(x,y,z) = sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z b. f(x,y,z) = sin x sin y sin z? B Vilka punkter på kurvan 5x 2 + 4xy + 2y 2 6 = 0 ligger närmast origo? B Vilka värden antar funktionen f(x,y) = x + y 1 då (x,y) ligger på ellipsen x 2 + xy + y 2 = 3. B Undersök om ekvationssystemet har någon lösning. x 3 + 3x + y 3 + 3y = 7 2 x 2 + y 2 = 1 2 B Låt f(a,b) betyda minsta värdet av funktionen g(x) = arctan (x 2 + ax + b). Bestäm största värdet av f under bivillkoret a 2 + b 2 = 1. B I ett klot inskrivs en rät cirkulär cylinder. Bestäm förhållandet mellan höjden och bottendiametern i denna cylinder, så att den får största möjliga totala begränsningsyta. 2
3 B Genom en given punkt (a,b,c) i första oktanten läggs ett plan, som tillsammans med koordinatplanen begränsar en tetraeder. Bestäm planets ekvation då tetraederns volym blir så liten som möjligt. A Bestäm det största och minsta värdet av funktionen f given av f(x,y) = a. x 2 + 2y 2 då 2x 2 + y 2 1 b. x 2 + 2y 2 x då x 2 + y 2 1 c. 3xy + 4y 2 då x 2 + y 2 1 d. xy då x 2 + 4y 2 1 e. x 2 10x + y 2 14y då x 2 + y 2 20y f. x 2 2xy + 2y 2 2y i den slutna triangeln med hörnen i punkterna (2, 2), (2,3) och ( 3, 2) g. x 2 2x 2y i den slutna kvadraten med hörnen i (0,0), (1,0), (1,1) och (0,1) h. x 2 + y 2 då x + y 10, xy 9 och x > 0 i. 1 + x (1 4y) då x 0, y 0 och x + 2y 4 2 j. xy + 3x 5y i mängden x 2 y 2 x k. x 2 y 4xy + 2y 2 i mängden 0 x 4 och 0 y x 2 l. x 2 + 2xy + 2y 2 10x 16y + 34 i den slutna triangeln med hörnen i (0,0), (3,0) och (0,3) m. xy då x 2 y 2 9 och 0 < x 5 n. x 2 y 2 + 4y då x 2 + y 2 9 och y 1 B Bestäm det största och minsta värdet som funktionen f(x,y) = 5x + 12y x 2 + y 2 kan anta i området x 2 + y 2 1 och x 1 2. B Bestäm det största och minsta värde som funktionen f given av f(x,y) = xe (x2 + y 2 ) antar i första kvadranten. B Sök största och minsta värdet av f(x,y) = x + y x 2 y 2. B Visa att 1 + x y 2 6 om x 2 + y 2 1. B För vilka värden på a har ekvationen x 2 + xy + y 2 + a = 1 x 2 y 2 någon lösning (x,y)? 3
4 C Sök största och minsta värdet av a. f(x,y) = (x y)e (x + 2y) då x 1 och y 1. b. f (x,y) = (x + y)e (x + 2y) då x 1 och y 1. C Visa att x 4 + 4xy + 2y 4 3y 4/ för alla punkter i xy-planet. C Funktionen M(R) definieras som det största värdet funktionen f(x,y,z) = x + 2y 1 + x 2 + y 2 + z 2 antar i området x 2 + y 2 + z 2 R 2. Bestäm M(R). 4
5 Ledningar till uppgifterna På cirkeln x 2 + y 2 = 1 gäller det att y = ± 1 x 2, där x 1. Vi får f(x,y) = x 2 + 2( ± 1 x 2 ) 2 x = 2 x 2 x = betecknas g(x). Det gäller att minsta resp största värdet av f är = minsta resp största värdet av g. Dessa värden kommer att antas antingen i en lösning till ekvationen g (x) = 0 eller i någon av ändpunkterna på intervallet x Sök det största och minsta värdet av f. Jämför med1001. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig a. Parametrisera den tillåtna mängden genom x = cos t, y = sin t där 0 t 2π. Vi får f(x,y) = x 2 y 2 xy = cos 2 t sin 2 t cos t sin t = betecknas g(t). Det gäller att minsta resp största värdet av f är = minsta resp största värdet av g. Dessa värden kommer att antas antingen i en lösning till ekvationen g (x) = 0 eller i någon av ändpunkterna på intervallet 0 t 2π. b. Parametrisera den tillåtna mängden genom x = cos t, y = 1 2 sin t där 0 t 2π. Vi får f(x,y) = xy = 1 4 sin 2t största värdet = 1 4 och mista värdet = Se exempel10.15 sid174. Använd Lagranges metod: 2x + 2λx = 0 (A) 4y 10 + λ(2y 6) = 0 (B) x 2 + y 2 6y = 0 2x = 0 2y 6 = 0 x 2 + y 2 6y = 0. (B) saknar lösning då cirkeln inte har några singulära punkter. (A) ger (0,0), (0,6) och (± 5,1). Den tillåtna mängden är sluten och begränsad och f är kontinuerlig. Största och minsta värden antas i dessa punkter. 5
6 1005 Sök det största och minsta värdet av f. Jämför med1001. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig Använd Lagranges metod. Man får fyra intressanta punkter (2,0,0), (0,1,0), (0,0,2) och 1 3, 2 3, 1. Den tillåtna mängden är sluten och begränsad och f är kontinuerlig största och minsta värden antas i 3 dessa punkter. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig Använd Lagranges metod. Man får sex intressanta punkter (± 2, 0, 0), (0,± 2,0) och (0,0,±1). Den tillåtna mängden är sluten och begränsad och f är kontinuerlig största och minsta värden antas i dessa punkter a. Sök största värdet av xyz då x + y + z = 6, (x > 0, y > 0, z > 0). Använd Lagranges metod. b. Placera triangeln i xy planet, så att dess hörnpunkter är (0,0), (0,x) och (y,0). Sök största värdet av arean = största värdet av xy 2 under bivillkoret att omkretsen = x + y + x 2 + y 2 = Om (a,b,c) är den hörnpunkt som ligger på ellipsoiden volymen är = abc. Sök största värdet av abc då (a,b,c) satisfierar ellipsoidens ekvation. Använd Lagranges metod Sök minsta värdet av x + y + z då xyz =10, (x > 0, y > 0, z> 0). Använd Lagranges metod Är den tillåtna mängden sluten och begränsad? Låt M r vara skärningen mellan cirkelskivan x 2 + y 2 r 2 och den tillåtna mängden. M r är sluten och begränsad och f antar där ett största och ett minsta värde. Detta inträffar i någon av punkterna (±1,±1) (Lagrange metod med bivillkoret x 4 y 2 + x 2 y 4 = 2) eller på cirkelns rand. För varje r 2 finns det punkter i den tillåtna mängden, sådana att x 2 + y 2 = r 2, varför f(x,y) = r 2 kan göras hur stor som helst, men 2. 6
7 1012 Observera först att f(x,y,z) = 4x 2 + 3y 2 + 5z 2 antar ett minsta värde på den tillåtna mängden xy + 2yz + 3zx = 6: Låt M r vara den del av den tillåtna mängden som ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 r 2. M r är sluten och begränsad och f är kontinuerlig alltså antar f ett minsta värde på M r. Existensen av f:s minsta värde på den tillåtna mängden följer nu av det att f(x,y,z) då x 2 + y 2 + z 2 = r 2. Vi kan bestämma detta värde med hjälp av Lagranges metod: F(x,y,z,λ) = 4x 2 + 3y 2 + 5z 2 + λ(xy + 2yz + 3zx 6) = f(x,y,z) + λg(x,y,z). (A) F x =10x + λy + 3λz = 0 F ý = λx + 6y + 2λz = 0 (B) g x = y + 3z = 0 g ý = x + 2z + 3x = 0. F ź = 3λx + 2λy + 10z = 0 F λ = xy + 2yz + 3xz 6 = 0 g ź = 3x + 2y = 0 (B) saknar lösningar. (A) är ett ekvationssystem med triviala lösnin- 8 λ 3λ gen (0,0,0) om determinanten λ 6 2λ 3λ 2λ Undersök när determinanten är = 0: λ 3 96λ 2 λ 1 = 2 och λ 2,3 = 5 ± 5. Man får xf x + yf ý + zf ź = 2(4x 2 + 3y 2 + 5z 2 ) + 2λ(xy +2yz + 3zx ) = 2f + 12λ = 0 f = 6λ. Då f 0 λ < 0. Alltså duger endast λ 1 = 2 som ger f = Använd Lagranges metod Sök största och minsta värdet av f under bivillkoret x + y + z = π, där x 0, y 0, z 0. Använd Lagranges metod. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig Avståndet = x 2 + y 2. Sök punkter där funktionen x 2 + y 2 antar ett minsta värde under bivillkoret 5x 2 + 4xy + 2y 2 = Sök extremvärden till funktionerna x + y 1 respektive 1 x y under det givna bivillkoret. Om dessa värden är M resp m, så gäller det att f antar alla värden i intervallet [m,m]. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig Sök extremvärden till funktionen f(x,y) = x 3 + 3x + y 3 + 3y på mängden x 2 + y 2 = 1 2. Om dessa värden är M resp m och m 7 2 M finns minst en lösning. Detta på grund av att den tillåtna mängden är sammanhängande och f är kontinuerlig. 7
8 1018 g (x) = 0 ger x = a 2. Verifiera att minsta värdet av g(x) är = g a 2 = = arctan b a2. Sök största värdet av f(a,b) = arctan b a2 4 4 bivillkoret a 2 + b 2 = 1. under x = höjden, 2y = bottendiametern, y 2 + 2xy = begränsningsytan. Om R = klotets radie x 2 + y 2 = R 2. Sök extrempunkter till y 2 + 2xy under bivillkoret x 2 + y 2 = R Ett plan som skär koordinataxlarna i punkterna (A,0,0), (0,B,0) och (0,0,C) har ekvationen x A + y B + z C = 1. Sök minsta värdet av 1 ABC under bivillkoret a A + b B + c C = Aktuella punkter (anges nedan) är inre punkter (som fås ur ekvationssystemet f x = f ý = 0), randpunkter (kan fås med hjälp av Lagranges metod) och hörnpunkter (= skärningspunkter mellan begränsningskurvorna). I någon av dessa punkter antar f ett största resp minsta värdet eftersom området är sluten och begränsad och målfunktionen är kontinuerlig. a. (0,0), ±(0,1), ± 1, Kritiska punkter i det inre av området, 2x 2 + y 2 < 1: f x = f ý = 0 ger punkten (0,0). 2 Kritiska punkter på områdets rand, g(x,y) = 2x 2 + y 2 1 = 0: F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y). Lagranges metod ger F x = 0 F ý = 0 F λ = 0 ±(0,1), ± 1 2, 0, g x = 0 g ý = 0 g = 0 saknar lösning. Kontrollera att de erhållna punkterna (0,0), ±(0,1), ± 1 2, 0 tillhör det tillåtna området. I någon av dessa punkter antar f ett största resp minsta värdet eftersom området är sluten och begränsad och målfunktionen är kontinuerlig. Vi har f(0,0) = 0, f(0,±1) = 2 och f ± 1,0 2 = 1 alltså det största värdet är 2 och det minsta är 0. 2 b. 1 2,0, ±(1,0), 1 2, ±
9 1021 c. (0,0), ± 1, , ± 3, d. (0,0), ± 1, ± e. (4,7), (8,4), ( 8,16). f. (1,1), 3, 2, ( 2, 2), (0,1), hörnen. 2 g. hörnen. h. (3,3), (5,5), (1,9), (9,1). Vid undersökning av randen sök: Kritiska punkter på linjen x + y = 10, kritiska punkter på hyperbeln xy = 9, skärningspunkter mellan linjen och hyperbeln. i. 1 2, 1, (2,1), (0,0), (4,0), (0,2). 4 j. ( 2,4), (1,1), 1 3, 1 9. k. (2,1), (1,1), (0,0), (4,0), (4,16). l. hörnen. m. (5,±4). n. (2,0), (0,1), (±2 2,1) Se1021. Intressanta punkter är 1 2, 1 3, 1 2, 3 4, 1 2, ± Det är inte säkert att extremvärden finns eftersom den tillåtna mängden inte är begränsad. Bestäm kritiska punkter. Undersök vad som händer när x och/eller y Sök största och minsta värden av f på ellipsen 30 2x 2 y Sök största värdet av f(x,y) = vänsterledet i området x 2 + y Bestäm värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 x 2 y 2 x 2 xy y 2 på dess definitionsmängd x 2 + y 2 1. Talet a skall tillhöra värdemängden ab. Sök lokala extrempunkter. Undersök vad som händer med f när x och/eller y. 9
10 1028 Sök lokala extrempunkter. Undersök vad som händer när x och/eller y Observera att f(x,y,z) = x + 2y om (x,y,z) tillhör randen. 1 + R2 10
11 Svar till uppgifterna Största värdet = 9 4 i 1 2, ± 3 2 och minsta värdet = 0 i (1,0) a. 1 2, 2 3 2, 4 3 c. [ 10, 10] a. 1 4, 3 4. b. 1 4, [ 1, 24] a. [ 17, 17]. b. [1 2 2, ]. c. [ 16, 16] , och a. 10. b Nej Minsta värdet = 2, största värdet antas inte Min = ; a. 0, 9 4. b. 0, ± 2, Alla värden i [0, 3]. 11
12 1117 Saknar lösning π Den minsta volymen är 9 2 abc då planet är x a + y b + z c = a. 0 ; 2. b. 1 4 ; 9 4. c. 1 2 ; 9 2. d. 1 4 ; 1 4. e. 65 ; 160. f. 1 ; 24. g. 3 ; 0. h. 18 ; i. 9 2 ; 7. 2 j. 34 ; k. 2 ; 512. l. 4 ; 34. m. 20 ; 20. n. 3 ; ; ; 1 2e ; a a. e 4 ; 1 2 e 4. b. Största värdet = 2e 3, minsta värdet antas inte M(R) = 5R 1 + R 2 om R om R 1 12
Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH VT 2018 1 Dagens program Extremvärdesproblem (största och minsta värde) kap 13.2 Extremvärdesproblem med bivillkor Lagranges multiplikatormetod kap 13.3 (+ev
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merKap Dubbelintegraler.
Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara
Läs merOptimering med bivillkor
Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merOptimering med bivillkor
Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs mer) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2
ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merKap Implicit givna funktioner
Kap 12.8. Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen?
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merKontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merOptimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.
Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs mer2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merUppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.
Uppgifter inför KS4 den 11 april 011. Matematik II för CL. SF1613. 1. En humla flyger längs kurvan (given på parameterform) x = t,y = t 3, t " 0. Då t = 1 upptäcker humlan en blomma i punkten (5,3) och
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merExistensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.
OPTIMERING PÅ ICKE-KOMPAKTA OMRÅDEN. Låt f,..., ) vara en reell funktion med en icke-kompakt definitionsmängd D. ( n Eistensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet. För att bestämma
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merCampus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)
ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov 734-4 3 3 (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag3 7 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merOm för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande
OPTIMERING PÅ KOMPAKTA OMRÅDEN. Om för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande 1. D är en KOMPAKT mängd. funktionen f är KONTINUERLIG på D då antar f sitt största och sitt
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merLösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004.
Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 24. 1. Gausselimination ger: 2 3 5 2 1 5 6 b 1 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 3 b/3 1 8 1
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 17, 1934 Första häftet 654. Lös ekvationen sin x + cos x + tan x + cot x = 2. (S. B.) 655. Tre av rötterna till ekvationen x 4 + ax 2 + bx + c = 0 äro x 1, x 2 och x 3. Beräkna x 2 1 + x2 2 + x2
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 43, 1960 Första häftet 2244. Vilka värden kan a) tan A tanb + tan A tanc + tanb tanc, b) cos A cosb cosc anta i en triangel ABC? 2245. På en cirkel med centrum O väljes en båge AB, som är större
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan
Läs merEnklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet
Elementa Årgång 21, 1938 Årgång 21, 1938 Första häftet 957. En cirkel, en punkt A på cirkeln och en punkt B på tangenten i A äro givna. Att konstruera den punkt P på cirkeln, för vilken AP + BP är maximum.
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 40, 1957 Första häftet 2082. I punkterna 0, v, 2v,... nv på enhetscirkeln placeras massorna ( n ( 0), n ) ( 1,..., n ) n resp. Hur långt från cirkelns medelpunkt ligger tyngdpunkten för detta massystem?
Läs merArkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs mer5 Lokala och globala extremvärden
Nr 5, mars -5, Amelia 5 Lokala och globala extremvärden Ienvariabelinträffar lokala extremvärden i punkter där f (x) =, om f är deriverbar och det inte är en randpunkt. Vilken typ av extremvärde det är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merTentamensproblem i Matematik 1 β. Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström
Tentamensproblem i Matematik β Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström 25 maj 24 . Derivator. För vilka värden på den reella konstanten a gäller att x 3 5x 2 +3x +3 a för alla x? jan
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 36, 1953 Årgång 36, 1953 Första häftet 1848. Triangeln ABC är inskriven i cirkeln O, vars tangenter i B och C råkas i D. Sök sambandet mellan triangelns sidor, då punkterna A och D ligga
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs meri=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n
Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 45, 1962 Årgång 45, 1962 Första häftet 2353. Triangeln ABC och punkterna P 1 och P 2 ligger i samma plan. Om triangeln ABC symmetriseras med avseende på P 1 och P 2, uppstår trianglarna
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merEnklare uppgifter, avsedda för skolstadiet
Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs mer