= 0 vara en given ekvation där F ( x,

Transkript

1 DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering d v s utan att bestämma,)) b) genom att bestämma på eplicit form,), den gren av funktionen som går genom punkten P. a) Låt F,, ) 0 vara en given ekvation där F,, ) är en C funktion i en omgivning av punkten,, ). Om vi betraktar som en funktion av, och och deriverar på ekvationen F,, ) 0 får vi med kedjeregeln) + 0 På samma sätt + 0 I vår uppgift har vi F F, F 4, och F 6. Därför. I punkten P gäller 6 4. I punkten P gäller 6 b) Vi kan beräkna derivator genom att först lösa ut d v s, skriva på eplicit form) ur ekvationen av 6

2 ± 6 Vi får två eplicita) funktioner där 6 svarar motpunkten P,,-). Vi deriverar och får / och / 6 ) / På samma sätt / Svar: /, / När vi har en funktion given på implicit form med en ekvation F,,) 0 är det oftast svårt eller praktiskt omöjligt att lösa ut en variabel t e ) ur ekvationen och ange funktionen på eplicit form. I ett sådant fall är implicit derivering, d v s direkt derivering av ekvationen F,,)0, den metod som vi kan använda för att bestämma partiella derivator utan att behöva lösa ekvationen. Anmärkning: Det finns ekvationer som inte definierar några deriverbara funktioner i närheten av en given punkt P, som t e i följande två eempel.. Ingen punkt satisfierar ekvationen +.. Endast en punkt 0,0) satisfierar + 0 och därmed ingen deriverbar funktion definieras av denna ekvation. Därför är det viktigt att kontrollera om det finns deriverbara funktioner som satisfierar givna implicita ekvationer. Nedanstående implicita funktionssatser för en/ två ekvationer) ger tillräckliga villkor för eistensen av deriverbara funktioner i närheten av en given punkt. Implicita funktionssatsen ekvation) Låt F vara en reellvärd funktion. Vi betraktar ekvationen F,,..., ) 0 *) n i närheten av punkten P a, a,..., a ). n av 6

3 Om följande gäller. punkten P satisfierar ekvationen *). F har kontinuerliga partiella derivator kortare F är en C -funktion) i en omgivning till P F. 0 n då eisterar n som en C -funktion av,,..., n i närheten av punkten P ). Implicit derivering. För enkelhets skull betraktar vi en ekvation med tre variabler F,, ) 0 *) På liknande sätt ger vi om F,,..., ) 0 ) För att bestämma n och deriverar vi ekvationen *), betraktar som en funktion, ) av och och använder kedjeregeln: Om vi deriverar F,,, )) 0 **) på, som finns i första och tredje koordinaten, får vi enligt kedjeregeln F + 0 och därför enligt antagande F 0 ) På samma sätt F F Implicita funktionssatsen ekvationer) av 6

4 Vi betraktar ekvationer F,,..., ) 0 ekv ) n G,,..., ) 0 ekv ) n i närheten av punkten P a, a,..., a ). Om följande gäller n. punkten P satisfierar ekvationen båda ekvationer. F och G har kontinuerliga partiella derivator av första ordningen kortare F, G är C - funktioner ) i en omgivning till P. Funktionaldeterminanten Jacobis determinant) i punkten P d F, G) 0 d n, ) n då, eisterar n och n som C -funktioner av,,..., n i närheten av punkten P ). Uppgift. Visa att ekvationen definierar en eplicit C -funktion, ) i närheten av punkten P,,) och bestäm och. Punkten P satisfierar ekvationen.. Funktionen F har kontinuerliga partiella derivator F, F 6 ; F, F 4 ; F 6, F F Därför 6 och Uppgift. 4 av 6

5 a) Bestäm om ekvationen + + sin 5 definierar en eplicit C -funktion π, ) i närheten av punkten P,, ). b) Visa att ekvationen definierar en eplicit C -funktion, ) och bestäm och F, F ; F, F ; cos, F P) 0!!! Svar a) Nej, eftersom 0 F b) Ja, punkten P satisfierar ekvationen, F har kontinuerliga part. derivator och F 0. Vi betraktar som en funktion av oberoende variabler och ; dvs, ). För att bestämma deriverar vi F, ),, ) 0 på och får F F + 0 på samma sätt F + 0 F 0 Svar b), 0. Uppgift. Visa att följande två ekvationer , definierar två C -funktion ) och ) i närheten av punkten P,,) och bestäm och. Punkten P,,) satisfierar båda ekvationer.. Vi betecknar F och G + + 4, och beräknar partiella derivator 5 av 6

6 F, F, F, F ; F 4 ; F G, G, G, G,, G, Som vi ser ovan, alla partiella derivator av första ordningen är kontinuerliga i närheten av punkten P Ovanstående partiella derivator är faktiskt kontinuerliga funktioner för alla,,). Funktionaldeterminanten Jacobis determinant) i punkten P d F, G) F d, ) är skild från 0. Enligt implicita funktionssatsen ekvationer) definierar ekvationerna F,, ) 0 G,, ) 0 **) två variabler och som funktioner av alla andra variabler. Den här gången har vi endast kvar och vi kan betrakta och om funktioner av : ), ). För att bestämma och deriverar vi ekvationer **),på enligt kedjeregeln, tar hänsn till att och betraktas som funktioner av, och får + F + F Vi substituerar värdena för part. derivator i punkten P som vi har beräknat ovan och får Vi löser sstemet och får 7 och 9 6 av 6