Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)"

Ellinor Eriksson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER LR KRETSAR Låt vara strömmen i nedanstående LR krets (som innehåller element en spole med induktansen L henry, en motstånd med resistansen R ohm, en kondensator med kapasitansen farad och en spänningskälla med spänningen U( vol För att ange en differential ekvation för använder vi potentialvandring (dvs Kirchhoffs spänningslag) och följande samband: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( eller kortare U L = L i ( (*) Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R eller kortare U R = R (**) Spänningsfallet över en kondensator med kapasitansen är lika med q ( /, dvs U = (***) där q ( = och är laddningen i coulomb Enligt Kirchhoffs spänningslag (eller "potentialvandring") gäller då U( U L U R U = 0 eller U L + U R + U = U( (ekv) (I denna enkla krets är alltså summan av spänningsfall = spänningskälla ) Om vi substituerar (*), (**) och (***) i ekv får vi följande grundekvation för LR krets: L i ( + R + = U( (ekvation A) Ekvation A har två okända funktioner i ( och q ( För att lösa ekvationen måste vi först eliminera en av dem med hjälp av sambandet q ( = Följande två metoder är ekvivalenta: Metod Om vi vill eliminera q ( deriverar vi ekvation A och därefter ersätter q ( = Vi får följande ekvation med endast en variabel i ( L i ( + R i ( + = U ( ( ekvation B) (notera derivatan U ( i högra lede Sida av 8

2 Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar Metod Om vi vill eliminera i ( i ekvation A vi substituerar i ( ( och i ( ( i ekvationen och får Vi får följande ekvation med endast en variabel i ( : L q ( + R q ( + = U( (ekvation ) ( notera att U( inte deriveras i den här metoden) Vi bestämmer först och därefter i ( ( Begynnelsevillkor: Om vi har en andragrads DE behöver vi två villkor för att bestemma konstanter i den allmänna lösningen Följande startvillkor i en LR krets används oftast: i ( 0) = a och q ( 0) = b I detta fall har vi q ( 0) = 0) = a och då är enklast att använda (ekvation ) och bestämma q ( Därefter får vi i ( ( q ( 0) = a och q ( 0) = b I detta fall är det naturligt att använda ( ekvation ) 3 i ( 0) = a och i ( 0) = b I detta fall är det lämpligt att använda ( ekvation B) Speciella fall: LR krets Från U ( U L U R = 0 dvs U L + U R = U( får vi L i ( + R = U( Notera att ekvationen är av första ordningen och att det räcker med ett villkor Här används oftast villkoret i ( 0) = a R krets R krets beskrivs med R + = U( Med hjälp av i ( ( eliminera en obekant funktion Om vi t ex eliminerar i ( har vi R q ( + = U( Sida av 8

3 3 Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar Övningsuppgifter Uppgift Bestäm strömmen i nedanstående LR- krets om a) L= henry, R= 8 ohm, u( = volt Vid t=0 är strömmen 0)=0 ampere b) L= henry, R= 8 ohm, Lösning: u( a) Från kretsen får vi följande diff ekv d L + R (ekv) ( efter subst L och R) i ( + 8 = ( dela med ) i ( + 4 = 6 (ekv ) Härav i H ( = e 4t = e V och 0)=0 A Partikulärlösning : i ( = A i ( = 0 4A = 6 p i ( = 3/ p p A = 3/ Alltså: = i H = e ( + i 4t + p ( 3 För att bestämma använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = 0 och får 4t 3 3 = e + = 3 3 och ( ) 4 t i t = e + Svar a) i ( = Svar b) = 3 3 e e 4t 4 t + + 3e 3 Sida 3 av 8

4 4 Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar Uppgift Bestäm strömmen i nedanstående R krets där R= Ω, = F u( = 4 V då 0 a) vid t=0 är strömmen 0)= A b b) vid t=0 är laddningen 0)= coulomb Lösning: a) Från kretsen får vi följande diff ekv R + (ekv) eller ( efter subst R och ) i ( + 0 = 4 (ekv) För att eliminera q ( deriverar vi ( ekv ) och ( eftersom q ' ( = ) får: i ( + 0 = 0 (ekv 3) Härav 0t = e (*) [ den allmänna lösningen för ] För att bestämma använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = och får = därmed 0t = e 0t Svar a) = e ( ampere) b) Vi använder villkoret 0)= och den allmänna lösningen från a-delen För att bestämma 0) substituerar vi 0)= i ekv och får i ( 0) + 0 = 4 0) = 4 Nu fortsätter vi som i a-delen, med den nya villkoret för 0)=4 och får 4 = 0t Därför = 4e 0t Svar b) = 4e (ampere) e 0t = Uppgift 3 Bestäm strömmen i nedanstående LR krets om Sida 4 av 8

5 5 Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar L= H, R= Ω, R= 3 Ω, = F och u(=0v 6 Vid t=0 är strömmen 0)=0 A och laddningen q ( 0) = Lösning: Från kretsen får vi följande diff ekv d L + R + R + dvs d L + ( R + R ) + (ekv) (efter subst L, R och ) i ( = 0 (ekv ) 0)=0 och 0) = ger i (0) + 50) + 60) = 0 i (0) + 6 = 0 i (0) = 4 Derivering av ( ekv ) ger: i ( + 5i ( + 6 = 0 (ekv 3) Härav = e + e Alltså: = e + e medför i ( = e 3 e För att bestämma och använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = 0 och i ( 0) = 4 och får + = = Härav 4, = 4 och därför Svar: = = 4e 4e = 4e 4e Uppgift4 Bestäm strömmen i nedanstående LR krets om L= H, R= Ω, R= Ω, = F och u ( = sin( + 6cos( V, Sida 5 av 8

6 då 0)=4 A och i ( 0) = 3 6 Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar Lösning: Från kretsen får vi följande diff ekv d L + R + R + dvs d L + ( R + R ) + ( efter subst L, R och ) i ( = sin( + 6cos( Derivering ger: i ( + 3i ( + = 44 cos( sin( Härav i H ( t = e + e Partikulär lösning: i p = Asin t + B cos t 6A B = 44 A 6B = A = 6, B = 4 i p ( = 6sin t + 4 cos t Alltså: = e + e 6sin t + 4 cos t För att bestämma och använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = 4 och i ( 0) = 3 och får = 5, 5 = = 5e 5e 6sin t + 4cos t Svar: = 5e 5e 6sin t + 4cos t Uppgift 5 Bestäm strömmen och laddningen i nedanstående LR krets om L= henry, R= 3 ohm, = farad och Sida 6 av 8

7 u( = sin t + 3cos t volt då 0)=0 ampere och 0)= coulomb 7 Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar ( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation p; korrekt lösning för den allmänna ekvationen p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet p ) Lösning: Från kretsen får vi följande diff ekv d L + R + = U (ekv) Om vi använder q ( = då får vi följande ekvation med en variabel: L q ( + R q ( + = U, ( efter subst L, R och ) q ( + 3q ( + = sin t + 3cost (ekv ) Ekvationen har den allmänna lösningen = e + e + sin t Eftersom q ( = får vi = e e Från begynnelsevillkoren 0)=0 och 0) = får vi ekv: + = 0 ekv: + = Härav = och = 0 och därför = e t och = e + sin t Svar: = e t e + sin t = Uppgift 6 Bestäm strömmen och laddningen i nedanstående LR krets om L= henry, R= 3 ohm, = farad och u( = sin t + 3cos t volt då 0)=0 ampere och 0)= coulomb Sida 7 av 8

8 8 Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar Lösning: Från kretsen får vi följande diff ekv d L + R + = U (ekv) Om vi använder q ( = då får vi följande ekvation med en variabel: L q ( + R q ( + = U, ( efter subst L, R och ) q ( + 3q ( + = sin t + 3cost (ekv ) Ekvationen har den allmänna lösningen = e + e + sin t Eftersom q ( = får vi = e e Från begynnelsevillkoren 0)=0 och 0) = får vi ekv: + = 0 ekv: + = Härav och 0 och därför = = e t och = e + sin t Svar: = e t = e + sin t = Sida 8 av 8

Relevanta dokument

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t) TILLÄMPNINGA AV DIFFEENTIAL EKVATIONE L KETSA Låt vara strömmen i nedanstående L krets (som innehåller element en sole med induktansen L henry, en motstånd med resistansen ohm, en kondensator med kaacitansen