Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar"

Mattias Sundberg
för 5 år sedan
Visningar:

1 Svängningar Innehåll Inledning Inledning... 1 Litteraturhänvisning... 1 Förberedelseuppgifter... 1 Utförande... 3 Det dämpade men odrivna systemet... 3 Det drivna systemet... 4 Några praktiska tips... 5 En elektrisk svängningskrets.. 6 I naturen hittar man mängder av saker som svänger. De mekaniska delarna på en bil svänger då bilen kör, dina armar pendlar då du går, molekylerna i luften vibrerar liksom elektronerna i antennen i din mobiltelefon. I detalj är dessa system inte lätta att studera, men ofta duger en så enkel modell som en harmonisk oscillator som en första approximation. Syftet med denna laboration är att du genom att experimentera med svängande system skall få känsla och förståelse för de egenskaper som dessa system har, t.ex. begreppen frekvens, amplitud, fasförskjutning, dämpning, resonans mm. Målsättningen är också att ge dig träning i att använda datorer för insamling och behandling av mätdata. Under laborationen ska du använda programmen DataStudio för insamlingen och MatLab för bearbetningen. Om du är intresserad kan du hitta en manual till programmet DataStudio på Hemsidan/Laborationer/ Svängningar. Du får också träna på att använda ett oscilloskop för att studera transienta fenomen. Litteraturhänvisning Physics for scientists and engineers (sixth edition), Kap 14. Förberedelseuppgifter 1. Massan 100 g hänger i en fjäder med fjäderkonstanten 40 N/m. Massan sätts i svängning genom att fjädern sträcks 14 mm. Försumma alla energiförluster. a) Använd MatLab och rita ett diagram som visar avståndet från jämviktsläget som funktion av tiden med begynnelsevillkoren x(0) = 14 mm och v(0) = 0 mm/s b) Bestäm hastigheten som funktion av tiden. c) Rita ett s.k. fasdiagram som illustrerar svängningen. I diagrammet avsätter du hastigheten som funktion av läget, v = f(x).. Låt oss nu titta på det svängande systemet i uppgift 1 med tillägget att svängningen är dämpad, med konstanten b = 0,4 kg/s. a) Hur lång tid tar det för amplituden att halveras? b) Använd MatLab och rita ett diagram som visar avståndet från jämviktsläget som funktion av tiden. Markera halveringstiden i diagrammet. c) Rita ett fasdiagram som illustrerar svängningen. (Obs du måste derivera en produkt för att få hastigheten i detta fall!) Laborationsinstruktioner För E1 1

2 3. På svängningen i föregående uppgift appliceras en drivande kraft med frekvensen. a) För liten dämpning inträder det vi kallar för resonans då 0. Vad händer då med amplituden A? b ) Skissa hur systemets amplitud varierar med drivfrekvensen. 4. En elektrisk krets består av en spole (induktansen L = 1 mh), en kondensator (kapacitansen C = 1,6 F) och ett motstånd (resistansen R) i serie. Genom att ladda upp kondensatorn tillför vi energi till kretsen. Enligt Kirchoffs lag är summan av alla spänningar i en sluten krets lika med noll, dvs. d q L R dt dq dt 1 q 0 C a) Bestäm R så att kretsens svängningsfrekvens, med hänsyn till energiförlusterna, blir f = 1 khz. b) Hur lång tid tar det för svängningens amplitud att halveras. Svar: a: 0,35 s. 4a: 85, Ω. 4b: 0,195 ms. Laborationsinstruktioner För E1

3 . Utförande Det svängande mekaniska systemet som du skall undersöka består av en figur som hänger i en lång fjäder. Du kan sätta detta system i svängning antingen genom att dra ut fjädern och släppa den eller med hjälp av en motor vars varvtal regleras genom att varierar motorns drivspänning. På detta sätt har du alltså tillgång till ett drivet och dämpat system. För att inhämta mätdata använder du två givare som är kopplade till en dator. Den ena givaren är en vinkelgivare (Rotary Motion Sensor, RMS) som ger den drivande motorns vinkelposition och den andra givaren är en ultraljudssändare (Motion Sensor, MS) som ger dig figurens höjd över marken. Med hjälp av programmet DataStudio kan du samla in mätvärden och delvis bearbeta dem, övrig analys av mätdata genomför du i MatLab. Då laborationen börjar kommer laborationshandledaren att ge dig en demonstration av hur du använder DataStudio. Uppgift 1. Det dämpade men odrivna systemet I detta fall beskrivs rörelsen av ekvationen: d x b dx k x k 0 0 med den ostörda egenvinkelfrekvensen. dt m dt m m Ekvationen har lösningen: b t m b x( t) A0 e cos( ' t ) där ' 0. m a) Registrera den dämpade svängningen med DataStudio och rita den i ett diagram. Bestäm systemets egenvinkelfrekvens. Hur skulle den kunna ändras? b) Använd DataStudio och rita ett fasdiagram, d.v.s. avsätt hastigheten som funktion av läget, för det svängande systemet. Varför ser det ut som det gör? Kan du få det att rotera på andra hållet? Varför eller varför inte? Laborationsinstruktioner För E1 3

4 c) Studera den totala energin E = K + U som funktion av tiden. Flytta över data ( t, x ) till MatLab, t.ex. via en fil (File / Export Data). Transformera de uppmätta absolutpositionerna x(t) till positioner relativt viloläget. Beräkna hastigheterna. 1 1 E k Etot K U mv kx v x v 0 x. m m Rita i samma diagram v 0 x, och summan. d) Bestäm ur detta diagram vilken tidskonstant systemet har. Vad blir halveringstiden för energin? Uppgift. Det drivna systemet I detta fall beskrivs rörelsen av ekvationen: F dt m dt m m d x b dx k 0 cos( t) x Ekvationen har en transient lösning (den exponentiellt dämpade lösningen ovan) och den stationära lösningen: där x ( t) Acos( t ) stat F0 m( 0 ) A och - med tan m ( ) b b 0 a) Sök upp den frekvens vid vilket systemet uppnår resonans. Stämmer frekvensen med den ni förväntade er? b) Studera kvalitativt systemets fasförskjutning för någon frekvens under, vid och över resonansfrekvensen. Vad säger teorin? 4 Laborationsinstruktioner För E1

5 . Några praktiska tips ang. laborationen Svängningar Starta den svarta Pascolådan FÖRE datorprogrammet DataStudio Välj DIGITALA sensorer: Motion Sensor (kanal 1+), Rotary Sensor (kanal 3+4). Position, hastighet vs. tid Var noggrann att starta figurens vertikala rörelse eftersom det är lätt att få pendling också. Bäst med motorn. Mätning: Välj Graph position vs. time. Starta svängningen, starta mätningen. högerklicka i grafen och välj scaling För att byta till fasdiagram, klicka på y-axelbeteckningen och välj velocity, och på x- axelbeteckningen och välj position. Flytta data till MatLab via en fil. File / Export Data. Öppna filen med en editor och ta bort de två första textraderna samt byt decimalkomma till decimalpunkt. Markera, kopiera och klipp in i en m-fil. Ultraljudsmätaren mäter absoluta positionen relativt mätaren medan vi vill ha positionen relativt jämviktsläget. Denna får du genom att studera konvergensen i diagrammet över den dämpade svängningen. Ta t.ex. medelvärdet av sista svängningen och subtrahera från alla positionerna. Labinstruktionen visar de flesta analysstegen. För att få riktigt jämn o fin totalenergikurva är det viktigt att transformera x- och t-skalan så att den beräknade hastigheten motsvarar centrum på intervallen. v(i) = (x(i+1) - x(i)) / (t(i+1) t(i)). Därefter t(i) = (t(i+1) + t(i))/. i = 1,...N-1. Resonans Experimentera kvalitativt först Starta en graf med x(t) och en annan med rotationen mot tiden. Svep sakta manuellt spänningen till motorn, notera när amplituden blir stor, fortsätt lite till. Bestäm i x(t) diagrammet vid vilken tid amplituden var max. Läs sedan av motorns frekvens vid denna tid i den andra grafen. Fasen Välj en graf med position mot rotation. Registrera kurvor vid en frekvens under, på och över resonans. Notera hur kurvorna lutar. Laborationsinstruktioner För E1 5

6 Uppgift 3. En LCR-krets. Enligt Kirchhoffs spänningslag lag uppfyller laddningen q i en elektrisk RCL-krets: d q R dq 1 q 0 dt L dt LC Vilket ju är ekvationen för en dämpad svängning, där dämpningen uppkommer pga energiförlusten via värmeutveckling i kretsens resistans. Koppla upp kretsen i figuren nedan och ställ in funktionsgeneratorn på att ge en fyrkantsvåg med en frekvens omkring 00 Hz. Observera att ett oscilloskop refererar spänning till en absolut jordreferens - alltså inte relativt, som en voltmeter. Detta innebär att du måste se till att kondensatorn och bägge oscilloskopkanalerna är kopplade till samma jordpunkt. Oscilloskop kanal Oscilloskop kanal 1 a) Studera spänningen över kondensatorn samtidigt som du varierar resistansen, R. Hitta läget för det svaga-, det kritiska- och det över-dämpade fallet. b) Välj det svagt dämpade fallet och bestäm svängningens frekvens. Jämför med teorin beräknad på komponenternas angivna parametrar. c) Bestäm den exponentiella dämpningen. Jämför med teorin beräknad på komponenternas angivna parametrar. d) Variera frekvensen på fyrkantssignalen och hitta den frekvens där svängningsamplituden blir maximal. Jämför med resonansfrekvensen beräknad från komponentvärdena. 6 Laborationsinstruktioner För E1

Relevanta dokument

Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar

Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar Svängningar Innehåll Inledning Inledning... 1 Litteraturhänvisning... 1 Förberedelseuppgifter... 1 Utförande Det dämpade men odrivna systemet... 3 Det drivna systemet... 4 Observation av ett urval av svängande