Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar"

Sven-Erik Nyström
för 5 år sedan
Visningar:

1 Svängningar Innehåll Inledning Inledning... 1 Litteraturhänvisning... 1 Förberedelseuppgifter... 1 Utförande Det dämpade men odrivna systemet... 3 Det drivna systemet... 4 Observation av ett urval av svängande system... 5 Appendix 1: Steg för steg beskrivning hur man använder Capstone programmet... 7 I naturen hittar man mängder av saker som svänger. De mekaniska delarna på en bil svänger då bilen kör, dina armar pendlar då du går, molekylerna i luften vibrerar liksom elektronerna i antennen i din mobiltelefon. I detalj är dessa system inte lätta att studera, men ofta duger en så enkel modell som en harmonisk oscillator som en första approximation. Syftet med denna laboration är att du genom att experimentera med svängande system skall få känsla och förståelse för de egenskaper som dessa system har, t.ex. begreppen frekvens, amplitud, fasförskjutning, dämpning, resonans mm. Målsättningen är också att ge dig träning i att använda datorer för insamling och behandling av mätdata. Under laborationen ska du använda programmet Pasco Capstone för datainsamling och bearbetning. Litteraturhänvisning Läs i Våglära och optik, Göran Jönsson om: periodisk svängning (sid 12-23) tvungen svängning och resonans (sid 32-37) Förberedelseuppgifter 1. Harmonisk svängning. Massan 1 g hänger i en fjäder och sätts i svängning genom att fjädern sträcks 14 mm. I diagrammet nedan visas avståndet från jämviktsläget (y) som en funktion av tiden (t). a) Vilket värde har fjäderkonstanten? b) Ungefär vilken hastighet har massan när den passerar jämviktsläget? Laborationsinstruktioner För M1 1

2 c) Om fjädern istället initialt sträcks 18 mm, hur förändras systemets energi? Ange svaret i procent. 2. Dämpad svängning. Låt oss nu titta på det svängande systemet i föregående uppgift, med tillägget att svängningen är dämpad. a) Hur lång tid tar det för amplituden att halveras om dämpningen är = 1,2 ss 1? b) Hur lång tid tar det för energin att halveras om dämpningen är γγ = 1,2 ss 1? Ett diagram som anger hastigheten som en funktion av läget, v = f(y), kallas för fasdiagram. Här visas ett sådant för vårt dämpade system. c) Hur många perioder av svängningen visas i fasdiagrammet? d) Hur skulle motsvarande fasdiagram se ut för den odämpade svängningen i uppgift 1? e) I diagrammet nedan visas hur det dämpade systemets kinetiska energi varierar med tiden, W kin (t)=mv(t) 2 /2. Lägg till/skissa ungefärligt hur den potentiella energin, W pot (t)=ky(t) 2 /2, varierar med tiden. (Ledning, fundera över hur stor den potentiella energin är när den kinetiska energin är som störst och vice versa.) f) Visa även i diagrammet ovan hur systemets totala energi varierar med tiden. Svar 1 a) 4 N/m, b) ~,28 m/s, c) Ökar med 65%, 2 a) 1,2 s, b),6 s 2 Laborationsinstruktioner För M1

3 . Utförande Det svängande mekaniska systemet som du skall undersöka består av en figur som hänger i en lång fjäder. Du kan sätta detta system i svängning antingen genom att dra ut fjädern och släppa den eller med hjälp av en motor vars varvtal regleras genom att varierar motorns drivspänning. På detta sätt har du alltså tillgång till ett drivet och dämpat system. För att inhämta mätdata använder du två givare som är kopplade till en dator. Den ena givaren är en vinkelgivare (Rotary Motion Sensor) som ger den drivande motorns vinkelposition och den andra givaren är en ultraljudssändare (Motion Sensor II) som ger dig figurens höjd över sändaren. Med hjälp av programmet Capstone kan du samla in och bearbeta mätvärden. Då laborationen börjar kommer laborationshandledaren att ge dig en demonstration av hur du använder programmet. Se också Appendix 1 för en "hands on" beskrivning Uppgift 1. Det dämpade men odrivna systemet I detta fall beskrivs rörelsen av ekvationen: d 2 x + b dx + k x = ω k = med den ostörda egenvinkelfrekvensen. 2 dt m dt m m Ekvationen har lösningen: b 2 t 2m 2 b xt ( ) = A e cos( ω' t+ ϕ), där ω' = ω 2m a) Registrera den dämpade svängningen med Capstone och rita den i ett diagram. Bestäm systemets egenvinkelfrekvens. Hur skulle den kunna ändras? b) Använd Capstone och rita ett fasdiagram, d.v.s. avsätt hastigheten som funktion av läget, för det svängande systemet. Varför ser det ut som det gör? Laborationsinstruktioner För M1 3

4 c) Studera den totala energin E = K + U som funktion av tiden E 2 k E = K + U = mv + kx = v + x = v + ω x. 2 2 m m Rita i samma diagram v ω x, och summan. d) Bestäm ur detta diagram vilken tidskonstant systemet har. Vad blir halveringstiden för energin? Uppgift 2. Det drivna systemet I detta fall beskrivs rörelsen av ekvationen: F dt m dt m m 2 d x b dx k + + cos( t) 2 x = ω Ekvationen har en transient lösning (den exponentiellt dämpade lösningen ovan) och den stationära lösningen: där x ( t) = A cos( ωt δ) stat A F = och d = - φ med tanφ = m ( ω 2 - ω ) + b ω π m( ω - ω ) 2 2 a) Experimentera kvalitativt först. Svep spänningen till rotationsmotorn och notera hur svängningen uppför sig b) Bestäm resonansfrekvensen för systemet. Starta en graf med positionen som funktion av tiden. Ändra den drivande frekvensen sakta och notera hur amplituden ökar. Nära resonans låter du det gå några hela svängningar innan du ändrar frekvensen igen. Fortsätt förbi resonans och avbryt sedan. Använd cursorfunktionen och bestäm frekvensen när amplituden är maximal. Jämför med ω. Stämmer det kvalitativt med vår modell? c) Studera systemets fasförskjutning vid resonans. Starta en graf med positionen som funktion av tiden och lägg till en kurva till med vinkeln för rotationsmotorn som funktion av tiden med add similar measurments. Vilken fasförskjutning ser du? Vad säger teorin? bω 4 Laborationsinstruktioner För M1

5 . Uppgift 3. Observation av ett urval av svängande system a) Guppande densitometer. En densitometer som används för att mäta vätskors densitet ligger i ett vattenbad. Lyft upp densitometern lite så att den guppar upp och ned i vattnet och mät perioden för svängningen. Härled ett uttryck för perioden och jämför med den experimentellt uppmätta perioden. b) Metallblad. Tunna metallblad med olika längd har monterats på ett högtalarmembran. Undersök resonansfrekvensen för metallbladen som funktion av längd. Är sambandet som Du skulle förvänta Dig? Figur 2 Densitometrar. Ofta kallas dessa instrument för aerometrar. c) Metallfjäder. Övre ändan av en metallfjäder är fix och den nedre är monterad på ett högtalarmembran. Hur stor är den longitudinella vågutbredningshastigheten för fjädern? Visa hur man kan ändra vågutbredningshastigheten! Laborationsinstruktioner För M1 5

6 6 Laborationsinstruktioner För M1

7 . Start: Steg-för-steg instruktioner till Pasco Capstone programmet för svängningar. Starta PASCO Capstone från ikonen på skrivbordet. När prog startar: dubbelklicka på "Graph" i listan längst till höger Välj "Hardware Setup" i listan längst till vänster Klicka på kanal 1 i bilden - välj "motion sensor II" Klicka på kanal 3 i bilden - välj "rotary motion sensor" Mät upp läget som funktion av tiden för det dämpade och odrivna systemet Klicka på x-axeln och välj "tid (s)" Klicka på y-axeln och välj "position ch 1+2" Starta svängningen med motorn för bästa resultat. Stäng av motorn och starta /stoppa datainsamlingen med knappen "record" Mät så länge att du kan uppskatta jämviktspositionen (y ) noggrant. Värden i grafen kan avläsas med hjälp av cursorsymbolen i listan ovanför grafen och sedan "Add multi-coordinates tool". Beräkna sedan ω o. Beräkningar 1: Korrigera så att svängningen sker runt noll och beräkna o. Klicka på "calculator" i listan längst till vänster Välj "new" skriv (t.ex.) y = pos - y. Programmet skriver pos = på en ny rad. Sätt in markören så att fältet är vitt (inte grått), högerklicka, insert data, position ch 1+2 Klicka på y-axeln i diagrammet och välj nu "y" i listan för att se svängningen kring noll. Du behöver denna korrigerade variabel senare också. Avläs tiden för t.ex. 5 svängningar med hjäp av cursorsymbolen. Rita ett fasdiagram över den dämpade svängningen Klicka på x-axeln och byt till variabeln "y" Klicka på y-axeln och byt till variabeln "velocity ch 1+2" Beräkningar 2: Den totala- (E), den kinetiska- (K) samt den potentiella-energin (U) 2 2 I calculator: K = v, U = ( ω y) och E = K + U Rita E mot tiden Klicka på y-axeln, välj "add similar measurements" och lägg in K och U i samma diagram Notera att E minskar snabbast när K är max och har en platå där U är max, d.v.s. i vändlägena, därför att i vår modell så är förlusterna proportionella mot första derivatan, dvs hastigheten. Beräkningar 3: Tidskonstanten för svängningen I calculator: lne = ln(e) Rita lne mot tiden och anpassa en linjär kurva till grafen med funktionen Linear: mt+b under Apply selected. i listan ovanför grafen. Använd fönsterfunktionen Highlight range för att välja lämpligt område, använd lutningen för att beräkna tidskonstanten. Laborationsinstruktioner För M1 7

Relevanta dokument

Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar

Svängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar Svängningar Innehåll Inledning Inledning... 1 Litteraturhänvisning... 1 Förberedelseuppgifter... 1 Utförande... 3 Det dämpade men odrivna systemet... 3 Det drivna systemet... 4 Några praktiska tips...