Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system

Transkript

1 1 KOMIHÅG 16: Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system Fjäderkraft: När en rak fjäder är i vila har den en längd som kallas vilolängd Om en fjäder sitter fast i ena änden och i andra änden påverkas av en dragkraft F drag ändras dess längd En ideal fjäder ändrar sin längd proportionellt mot kraftens styrka, dvs dubbelt så stor förändring av längd för dubbla kraften Sambandet mellan dragkraft och förlängning kan skrivas: F drag = k( x " L)e x, där x anger läget av den rörliga änden, L är vilolängden och k är den så kallade fjäderkonstanten som bestämmer styvheten i fjädern Vektorn e x anger förlängningsriktningen OBS: Fjäderns egen kraft är motsatt riktad dragkraften! Dvs: F fjäder = "k( x " L)e x (fjäderkraften)

2 2 Ofta betecknas fjäderkraften i denna kurs med F k, där k betyder fjäderkonstanten för fjädern När den rörliga fjäderänden är i (det enda) läget x = L finns ingen kraft i fjädern Exempel: Betrakta en massa som hänger i en fjäder med känd vilolängd L och känd fjäderkonstant k Bestäm massans jämviktsläge! Lösning: Massan påverkas av två krafter, tyngdkraften mge x (neråt i figuren) och en fjäderkraft "k( x " L)e x (uppåt) Vid jämvikt blir totala vertikala kraften noll, dvs "k(x " L) + mg = 0 Den rörliga fjäderänden befinner sig i läget x = L + mg, som även beskriver jämviktsläget för k massan Där kan massan ligga still Jämviktslägen kan vara stabila eller instabila I detta fall är jämviktsläget stabilt

3 3 Sammanfogade fjädrar Sammanfogade fjädrar dras ut en total sträcka x = x 1 + x 2 för en given dragkraft F Kraften är lika i båda fjädrarna enligt Newton 2 för den masslösa fogen mellan fjädrarna Man får: F x = x 1 + x 2 = 1 + F F k 1 Den sammansatta fjädern 1 k 2 beter sig som en fjäder med fjäderkonstant k sådan att: 1 = 1 + k k 1 1 k 2 Fria svängningar I Fjäderkraften I fjäderns viloläge är kraften noll Om massan förskjuts ett stycke x från jämviktsläget uppstår den återförande kraften: F = "kx e x

4 4 Viskös friktion Bromskraften är hela tiden motriktad röreseriktningen ( v = x e x ) och kan skrivas: F = "c x e x, där c beror av vätsketyp samt storlek och form hos husvagnen Ekvationen för dämpad svängning Newtons 2:a lag för vagnen ger m x = "c x " kx, eller x + 2"# n x + # 2 n x = 0, med konstanterna " n 2 = k m och 2"# n = c m Den nya parametern är dämpningsfaktorn eller dämpningsförhållandet " # 0 Det odämpade fallet " = 0: Amplitud och fas Man kan lätt verifiera att tidsfunktionen x(t) = Acos " n t + # ( ) + x j av utslaget satisfierar den odämpade, fria svängningsekvationen: x + " n 2 x = " n 2 x j Den fria, odämpade vibrationsrörelsen beskrivs av jämviktsläget: x j, amplituden: A, naturliga vinkelhastigheten: " n = fas: " = # n t + $, begynnelsefas: " k m,

5 5 Olika trigonometriska uttryck Två olika men ekvivalenta matematiska skepnader $ & Acos (" n t + #) + x j, x = % Enligt trigonometriskt '& Bcos (" n t) + Csin (" n t) + x j samband: cos(" n t + #) = cos(#)cos(" n t)$ sin(#)sin(" n t) fås koefficientsambandet: A = B 2 + C 2 Problem: En partikel med massan m sitter fast i en fjäder och lyder svängningsekvationen x + " 2 n x = 0 Rörelsen börjar i jämviktsläget x = 0 med hastigheten x = v 0 a) Hur stor är fjäderkonstanten k? b) Hur stor är då den totala mekaniska energin E i rörelsen? c) Bestäm även amplituden i svängningsrörelsen Korta svar: a) Fjäderkonstanten: k = m" n2 b) Energin: E = m 2 v 2 0 c) Amplituden (enl EP): k 2 A2 = m 2 v 0 2 " A = v 0 " n

6 6 Problem: En vagn med massa 2M som befinner sig i jämviktsläget enligt figuren ges plötsligt farten v 0 så att den påbörjar en svängningsrörelse Fjädern som är fäst i vagnen har en känd fjäderkonstant k Bestäm den tid det tar för vagnen att återkomma till jämviktsläget Lösning: Bara fjäderkraften F = "kx i rörelseriktningen Newtons 2:a lag: 2M x = "kx Svängningsekvationen: x + k 2M x = 0 Naturliga vinkelfrekvensen för svängningen: k " n = 2M Svängningsperioden: " = 2# 2M n k Vagnen återkommer efter en halv period : Svar: t = 1 2 " n = # 2M k

7 7 KOMIHÅG 19: x + " 2 n x = " 2 n x j (fri odämpad svängningsekv) Fri odämpad svängningsrörelse: $ Acos (" n t + #) + x j, x = % & Bcos (" n t) + Csin (" n t) + x j Föreläsning 18: Fria svängningar II Den svagt dämpade svängningen Betrakta svängningsekvationen x + 2"# n x + # 2 n x = # 2 n x j Svängningen i föregående föreläsning: x(t) = Acos " n t + # minskar aldrig Denna svängningsfunktion kan inte satisfiera svängningsekvationen med " # 0 ( ) + x j är odämpad och amplituden Visa att funktionen x(t) = Ae "#$ nt cos( 1"# 2 $ n t + %) + x j satisfierar svängninsekvationen Bevis: Derivera funktionen en gång och använd (1): x (t) = "#$ n [ x(t) " x j ] " 1"# 2 $ n Ae "#$ n t sin( 1"# 2 $ n t + %) (2) Derivera ytterligare en gång och använd (2) samt (1): (1)

8 8 x (t) = "#$ n x (t) "#$ n { x (t) + #$ n [ x(t) " x j ]} "( 1"# 2 )$ 2 n [ x(t) " x j ] = "2#$ n x (t) "$ 2 n x(t) " x j Detta är ekvivalent med den dämpade svängningsekvationen x + 2"# n x + # 2 n x = # 2 n x j VSB [ ] I praktiska problemlösningar används uttrycket: x(t) = e "#$ ( nt Bcos( 1"# 2 $ n t) + Csin ( 1"# 2 $ n t) ) + x j för det fall att 0 " # <1 Man måste även veta två (extra) sanningar om x(t), t ex begynnelsevillkoren x(0) = x 0 och x (0) = v 0, dvs läge och hastighet vid tiden t = 0 c=42 Ns/m 2 kg k=392 N/m x Problem: Bestäm dämpningsförhållandet för systemet i figuren k Lösning: " n = m = s-1 =14 s -1 2" n # = c m " c " = 2# n m = 42 4 $14 = 3 4

9 9 Egenskaper-svag dämpning: - Perioden " d : En del av funktionen x(t) (som finns innanför stora parentesen, dvs cosinus och sinus) är trots allt periodisk Den tid det tar för den delen att upprepa sig är perioden " d : " d = 2# $ d = 2# $ n 1%& 2 -Logaritmiska dekrementet " : Experimentellt mäter man förhållandet mellan två på varandra följande amplituder A N och A N +1 på samma sida och får det logaritmiska dekrementet " : # " = ln A & N % ( $ A N +1 ' Det man mäter motsvarar alltså i teorin produkten "# n $ d

10 10 Problem: Bestäm vilka entydiga koefficienter i den allmänna lösningen som motsvarar en svagt dämpad rörelse som börjar i utslagsläget x 0 med hastigheten v 0 Lösning: Allmän lösning: ( ) + Csin ( 1"# 2 $ n t) x(t) = e "#$ ( nt Bcos 1"# 2 $ n t ) + x j I begynnelsen är läge och hastighet: x(0) = B + x j och x (0) = "#$ n B + $ n C 1"# 2 Om vi sätter in initialvärdena och löser ut koefficienterna får vi: B = x 0 " x j, ( ) C = v 0 + "# n x 0 $ x j # n 1$" 2 Alltså: % ( x 0 " x j )cos 1"# 2 ( ' ( $ n t) * x(t) = e "#$ n t' + v * 0 + #$ n ( x 0 " x ' j ) ' sin 1"# 2 $ $ n ( 1"# 2 n t * )* & )

11 11 II: Kritisk dämpning, " =1: Vad händer med svängningen i exemplet om dämpningsförhållandet blir 'kritiskt', dvs " #1 Kritisk dämpningsrörelse Genom en gränsövergång kan vi se vad som händer med den svagt dämpade rörelsen: % ( x 0 " x j )cos 1"# 2 ( ' ( $ n t) * x(t) = e "#$ n t ' + v + #$ x " x * ' 0 n( 0 j) ' sin 1"# 2 $ $ n ( 1"# 2 n t * )* & ) Tänk att tiden t är godtycklig men fix Låt sedan " #1 Cosinusen blir 1, men sinusen blir 0 samtidigt som koefficienten framför blir oändlig Man måste använda övergången sin 1" # 2 $ n t ( ) % 1" # 2 $ n t innan man får resultatet: x(t) = e "# n t x 0 + ( v 0 + # n x 0 )t ( ) + x j

12 12 Problem: Visa att den kritiska rörelsen satisfierar svängningsekvationen med " =1 Bevis: Först tar vi fram hastighetsfunktionen ur x(t) = e "# n t ( x 0 + ( v 0 + # n x 0 )t) + x j, dvs x (t) = "# n [ x(t) " x j ] + e "# n t ( v 0 + # n x 0 ) (*) Då ser vi att x(0) = x 0 + x j och x (0) = "# n [ x(0) " x j ] + ( v 0 + # n x 0 ) = v 0 Accelerationen beräknas nu: x (t) = "# n x (t) "# n e "# n t ( v 0 + # n x 0 ) men från hastigheten (*) fås e "# n t ( v 0 + # n x 0 ) = x (t) + # n [ x(t) " x j ], dvs x (t) = "# n x (t) "# n [ x (t) + # n [ x(t) " x j ]] eller x (t) + 2" n x (t) + " 2 n x(t) = " 2 n x j, som är svängningsekvationen i det kritiska fallet

13 13 3 dämpningstyper I: Svag dämpning, 0 < " <1 ( ) + Csin ( 1"# 2 $ n t) x(t) = e "#$ ( nt Bcos 1"# 2 $ n t ) + x j Dämpningseffekter: Amplituden försvinner alltid, till sist Svängningsfrekvensen (takten) " d = 1#$ 2 " n är mindre än " n II: Kritisk dämpning, " =1 x(t) = e "# n t B + Ct ( ) + x j III: Stark dämpning, " >1 x(t) = e "#$ ( nt Be # 2 "1 $ t n + Ce " # 2 "1 $ n ) t + x j