Tentamen i Mekanik - partikeldynamik

Transkript

1 Tentaen i Mekanik - partikeldynaik TMME , kl Tentaenskod: TEN1 Tentasal: Exainator: Peter Schidt Tentajour: Peter Schidt, Tel , (Besöker salarna ca 9.00 och 11.00) Kursadinistratör: Anna Wahlund, Tel , eail anna.wahlund@liu.se Antal uppgifter: 6 Hjälpedel: Inga hjälpedel; (Forelblad bifogas). Svar anslås på Mekaniks anslagstavla efter skrivningstillfället (Ing. A17 C-korr.). Tentan länas efter rättning till Studerandeexpeditionen i A-huset, ing 19C. Betygsgränser: 5 = 1-15 p 4 = 9-11 p 3 = 6-8 p 1 = 0-5 p (UK) Totalt antal sidor inkl. försättsbladet: 6

2 Tentaen i Mekanik-partikeldynaik, TMME08, Teoridel: 1) Utgå från definitionen av kraftoent och definitionen av rörelseängdsoent sat Newtons kraftlag och visa att för en partikel gäller M h där h är tidsderivatan av partikelns rörelseängdsoent ed avseende på en fix punkt i en inertialra. (1p) v F r ) Definitionen av arbetet so uträttas av en kraft F under en förflyttning från läge r 1 till r längs en kurva C lyder so bekant r U F d r r1,c Utgå från definitionen ovan och visa att det arbete U so kraften från en linjär fjäder uträttar på en partikel P under en godtycklig förflyttning från ett läge 1 till ett läge kan tecknas 1 U ( Ve (s ) Ve(s1 ) ), Ve(s) ks där är fjäderkraftens potentiella energi, k är fjäderkonstanten och s är förlängningen från V e L 0 obelastad längd. (p)

3 Tentaen i Mekanik-partikeldynaik, TMME08, Probledel: 3) En partikel ed assan är fastsatt i en fjäder vars ospända längd är L 0. Fjäderns andra ände är fix vid. Hela systeet befinner sig på ett glatt horisontellt bord, och när fjäderns längd är L 0 ger an partikeln en hastighet ed beloppet v 0 vinkelrätt ot fjädern. Fjäderns axiala längd blir L 0 under den efterföljande rörelsen. a) Utgå från ipulsoentekvationen och visa att partikelns fart blir v 0 / i det läge då fjäderns längd är axial. (1p) b) Beräkna fjäderkonstanten k uttryckt i, v 0 och L 0. (p) v 0 L 0 4) En partikel ed assan kan friktionsfritt röra sig på insidan av ett fixt cirkulärt rör ed radien R enligt figur. När partikeln är i högsta punkten har den hastigheten v 0 8 gr. Beräkna noralkraften från röret på partikeln so funktion av vinkeln. All rörelse sker i ett och saa vertikalplan. (3p) v 0 R g

4 Tentaen i Mekanik-partikeldynaik, TMME08, ) Ett block B ed assan befinner sig i vila och är fäst i två ospända fjädrar ed fjäderkonstanten k vardera enligt figuren. Ett annat block A ed assan och hastigheten u stöter an ot block B och fastnar på block B i en fullständig plastisk stöt (e=0). Bestä fjädrarnas axiala deforation för den efterföljande rörelsen. Försua friktionen ot det horisontella underlaget. (3p) u A B k k 6) En partikel ed assan kan friktionsfritt röra sig inuti ett horisontellt rör so roterar ed konstant vinkelhastighet θ ω 0 kring en fix vertikal z-axel geno. En fjäder ed fjäderkonstanten k och ospända längden L 0 är fäst i partikeln och i röret enligt figuren. Vid tiden t=0 släpps partikeln utan hastighet relativt röret då fjädern är ospänd. Man observerar att partikeln beskriver en oscillerande svängningsrörelse inuti röret. Beräkna r(t) sat noralkraften från röret på partikeln so funktion av tiden t. Avståndet r är avståndet från till partikeln och 0 < k/. (3p) r g

5 Forelblad so bifogas tentaen i Partikeldynaik: Kineatik: Hastighet och acceleration Naturliga koponenter n t v = ṡe t a = se t + ṡ ρ e n Krökningen κ och krökningsradien ρ för en kurva x = x(u), y = y(u) ges av: κ = d y dx du du dy d x du du { } 3/, ρ = 1/κ ( dx du ) + ( dy du ) Polära koordinater r θ v = ṙe r + r θe θ a = ( r r θ )e r + (r θ + ṙ θ)e θ Kinetik: Kraftlagen F = a Mekaniska energisatsen där U = 1 U = T + V g + V e F dr, T = 1 v, V g = gh, V e = 1 kx 1

6 Ipuls och ipulsoentekvationen t t t 1 Fdt = p p 1, p = v M o dt = h o h o1, h o = r v t 1 M o = r F Stöttal Svängningar e = (v ) n (v 1) n (v 1 ) n (v ) n ẍ + ζω n ẋ + ωn x = ω n x 1 + F 01 sinωt + F 0 cosωt Lösningen till differentialekvationen ovan kan skrivas x = x h + x p. Hoogena lösningen x h ges av: ζ > 1, x h = Ae ωnt( ζ+ ζ 1) + Be ωnt( ζ ζ 1) ζ = 1, x h = (A + Bt)e ωnt ζ < 1, x h = e ζωnt (Acosω d t + Bsinω d t) = Ce ζωnt sin(ω d t + Ψ) ω d = ω n 1 ζ Partikulärlösningen x p vid en haronisk störningskraft beräknas ed ansatsen: 1 x p = C 1 + C cosωt + C 3 sinωt 1 o ζ = 0 förutsättes att ω ω n