Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Transkript

1 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 1 KTH Mekanik Problemtentamen En tunn homogen stav i jämvikt med massan m har i ena ändpunkten en glatt kul-led Den andra änden hålls enligt figuren fixerad med två horisontella trådar på höjden c ovanför xy-planet Bestäm dessa trådkrafter för jämvikten, samt dessa trådkrafters resultant i origo Avstånd mellan punkter A, B och C anges i figuren Tyngdaccelerationen g är känd (3p) Betrakta en hylsa med massan m glidande på en glatt ledstång Ledstången har cirkulär form med radien R Om hylsan i sitt instabila, översta läge släpps, så kommer den så småningom att börja röra sig neråt Antag att den rör sig motsols a) Bestäm hylsans fart efter halva respektive hela vägen ner till nedersta läget b) Bestäm normalkraften på hylsan efter halva respektive hela vägen ner Tyngdaccelerationen g är känd (3p) 3 Två satellitbanor tangerar varandra i läget A (se figuren) Man önskar manövrera en satellit med massan m som befinner sig i den elliptiska banan så att satelliten med minsta möjliga energiändring kan frigöra sig från jordens dragningskraft Manövern beräknas ta mycket kort tid i läget A Bestäm den energiökning av rörelsen som krävs i manövern? Tyngdaccelerationen g är känd (3p) 4 Specificera (designa) en stötdämpares fjäderstyvhet för en tågvagn, som antas ha bara en sådan Stötdämparen beskrivs (modelleras) av två fjädrar och en dämpare vars ena ändar sitter fast i vagnen Dämparen har en känd kraftkonstant c, och vagnen har massan M Fjäderkonstanten k skall vara så att stötrörelsen blir en kritiskt dämpad rörelse Stötdämparen, som beskrivs i egen figur, har försumbar massa a) Bestäm värdet på k b) Bestäm även maxfarten v 0 för vagnen då stötdämparen träffar en fast vägg så att dess tolererade deformation D inte överskrids vid kollisionen (3p) /Thylwe Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter Motivera införda ekvationer och egna symboler!

2 Teoritentamen SG1130 Mekanik, baskurs P1 m fl a) Ge ett exempel som illustrerar ewtons 3:e lag, där tyngdkraften ingår b) Betrakta en kraft som angriper i punkten r A Bevisa att kraftmomentet av kraften med avseende på en punkt r P inte ändras, om kraften förflyttas från r A längs sin verkningslinje till den nya angreppspunkten r B c) Vilken/vilka ekvation(er) är korrekt(a) som sambandsformel för ett kraftsystems kraftmoment? I) M A = M B + ( r A ) # F II) M A = M B + F " ( r A # r B ) III) M A = M B + F A 6 a) Definiera ett kraftsystems totala kraftmoment och visa att för två godtyckliga momentpunkter A och B gäller den så kallade "sambandsformeln för kraftmoment" b) I en stöt mellan två partiklar registreras de hastigheter som visas i figuren Ange värdet på stöttalet c) En satellit befinner sig i sin bana kring jorden I det läge som illustreras, rita i en figur accelerationskomposanterna a r och a n som pilar Rimliga längder och riktningar på pilarna är ett krav 7 a) I bilden syns tre lägen för en stel partikelpendel i ett vertikalplan, där de två översta lägena är vändlägen för pendeln Pendeln består av en partikel i den rörliga änden av ett lätt stag vars andra ände sitter i en glatt led som inte rör sig Rita i en figur accelerationsvektorerna för partikeln i dessa tre lägen b) Härled lagen om kraftens effekt på en partikel c) Bevisa för en konservativ krafts arbete sambandet U 0"1 = V 0 #V 1 med kraftens potentiella energier 8 a) Bestäm konstanten A så att svängningsrörelsen x(t) = Asin"t satisfierar svängningsekvationen x + " n x = bsin"t t är den variabla tiden och ", " n samt b är konstanter b) Beskriv i diagram tidsfunktionerna x(t) för rak kritiskt dämpad svängning, samt för svagt dämpad svängning /Thylwe (p)

3 SG1130 Mekanik, baskurs P1 m fl Problemlösningar 1 Lösning: Kraftanalys (se figur): Spännkrafterna införs För jämvikt krävs att alla krafter och moment tar ut varandra u är vi mest intresserade av spännkrafterna i trådarna och kan klara oss medmomentjämvikten med avseende på origo a) Momentjämvikt (Euler) m a p origo (eliminerar stödkraften från kontaktpunkten där): (momentpunkt i origo) O: e x e y e z a b c "S AB "S AC Komponentekvationerna blir (kan också inses från figuren): cs AC " 1 mgb = 0 (1) cs AB " 1 mga = 0 () as AC "bs AB = 0 (3) De första två ekvationerna ger direkt: e x e y e z a b c 0 0 "mg S AC = 1 c mgb och S AB = 1 c mga = 0 (1) # b) Spännkrafternas resultant i origo blir: S = %" $ a c mg," b c mg,0 &( (kraftsumman) samt ' # M O = mgb mga %," $,0 & ( (momentsumman är första determinanten i ekv (1)) '

4 SG1130 Mekanik, baskurs P1 m fl Lösning: Kraftanalys i figuren, bara tyngdkraft och normalkraft på hylsan För glatt ledstång gäller energiprincipen och då översta läget har försumbar fart gäller alltså: I A: mv A + mgr = mgr, och i B: mv B = mgr Dessa ekvationer ger farterna: v A = gr respektive v B = 4gR ewtons :a lag i normalriktningarna ger sedan: mv A R = A respektive mv B R = B " mg Om vi löser ut normalkrafterna med insatta uttryck för farterna fås: A = mg respektive B = 5mg Lösning: Vi bestämmer fartändring för banbytet Ellipsbanans storaxel bestämmer totala mekaniska energin i den banan Satelliten har då energin E e = " mgr 5R, som förenklas till E e = " mgr Den minsta totala 5 energi som behövs för att frigöra satelliten är E p = 0 och den (paraboliska) banan leder ut mot oändligheten Energiändringen (bara rörelse energin ändras) är alltså "E = mgr (svar)

5 4 SG1130 Mekanik, baskurs P1 m fl Inför x-axel och origo för ospända fjädrar Infästningen till vänster rör sig som tågvagnen från det ospända läget i origo Fjäderkrafter F k = "kx i rörelseriktningen Dämpningskraften F c = "c x ewtons :a lag: M x = "kx " c x Svängningsekvationen: x + c { M x + k { x = 0 "# n M # n Svängningsparametrarna är införda i ekvationen Vi har naturliga vinkelfrekvensen för svängningen: " n = k Kritisk dämpning kräver " =1, så att i svängningsekvationen gäller M c M = k M, dvs k = c Svängningsrörelsen bestäms från den allmän rörelsens uttryck: 8M x( t) = ( B + Ct)e -" n t samt ur begynnelsevärden x( 0) = 0, x ( 0) = v 0 : Dvs B = 0, C = v 0 Vid kritiskt maxutslag gällerr: x ( t) = ( v 0 "# n v 0 t)e -# n t = 0, för tiden t 1 = 1 så att deformationen " n blir D = v 0 " n e -1 I detta kritiska läge bestäms nu farten: v 0 = D" n e = Dec M

6 SG1130 Mekanik, baskurs P1 m fl Teoridelen 5 a) Krafter uppstår i lika men motriktade par så att parets kraftsumma är noll Här är ett möjligt exempel: b) Definitionen av kraftmoment ger M P = r A " r P Skillnaden blir M P " M P # = r A ( ) # F respektive M P " = ( r B # r P ) $ F ( ) $ F Om r A och r B ligger på samma verkningslinje som kraften så är vektorn r A parallell med kraften F Kryssprodukten för två parallella vektorer blir nollvektorn Alltså M P = M P " c) II, III 6 a) Definitionen av totalt kraftmoment med avseende på en godtycklig momentpunkt A: M A = $ r j " r A, för krafter F j angripande i r j [ ] # F j Likaså för en annan momentpunkt B: M B = $ Skillnaden blir i detta fall: M B " M A = $ r j " r j " r A = $ r A [ ] # F j = r A [ ( )] # F j [ r j ] # F j [ ] # F j $ Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften F = " F j Vi får sambandet: M B = M A + [ r A ] # F b) Stöttalet = 0,6 c)

7 SG1130 Mekanik, baskurs P1 m fl a) b) Härledning: ewton : m v = F Båda leden multipliceras scalärt med hastigheten v Man får då: m v v = F v Enligt definition är HL kraftens effekt P VL är tidsderivatan av kinetiska energin, ty d mv def regel " % } $ ' = d mv v dt # & dt ( ) = } m ( v v + v v regel } ) = m ( v v ) = m v v def } Dvs T mv = P, där T = r c) Definition av en krafts potentiella energi: V (r) = " # F dr Utfört arbete från r 0 till r 1 definieras: U 0"1 = r # 1 F dr Arbetet delas upp i två integraler, via r 0 r referenspunkten, så att U 0"1 = # 0 % r $ F dr # # 1 ( ' F dr r ref $ * Enligt definition av & r ref ) potentiell energi för ett givet läge fås då: U 0"1 = V 0 #V 1 r ref 8 a) Rörelsen x(t) = Asin"t ska satisfiera svängningsekvationen x + " n x = bsin"t Tidsderivering av rörelsen ger x (t) = "# Asin#t Insättning av detta i svängningsekvationen ger " n #" A vara A = b " n #" ( )Asin"t = bsin"t Om detta alltid ska gälla måste b)