Envariabelanalys 5B Matlablaboration

Transkript

1 Mariana Dalarsson, ME & Johan Svenonius, IT Envariabelanalys 5B47 - Matlablaboration 7-- Kurs: 5B47 Handledare: Karim Daho

2 Uppgift Situationen kan illustreras med följande figur: Följande krafter verkar på kroppen med massan m: F Fjäder = -k( (.) F Dämpning = -cv = -c'( (.) F( = a cos( (.3) Uppgift Enligt Newtons andra lag kan vi skriva följande ekvation: ma = m''( = F( k( - c'( (.) vilket kan skrivas om som: c k F( ' '( + '( + ( = (.) m m m Om vi benämner c c = = m m, k = μ k μ = m m, F ( = f( (.3) m kan vi skriva: '' + ' + μ = f ( (.4) För f( =, ingen etern kraft, gäller den homogena ekvationen: '' + ' + μ = (.5)

3 Detta är en differentialekvation vars karakteristiska ekvation kan lösas enligt följande: k + k + μ = (.6) Lösningarna till den karakteristiska ekvationen är följande k (.7) / = ± μ Vi kan nu skilja på fyra olika lösningstyper beroende på värdena av konstanterna och μ. Dessa lösningstyper med motsvarande lösningar till den karakteristiska ekvationen är:. Överkritisk dämpning med > μ k = ± μ = ±, = μ (.8) / >. Kritisk dämpning med = μ k = k = (.9) 3. Odämpad harmonisk svängning med = k = ± μ = ± iμ, μ (.) / > 4. Dämpad harmonisk svängning med < < μ k = ± μ = ± i, = μ (.) / > Låt oss nu hitta lösningar till den homogena ekvationen med f( =, för dessa fyra olika fall. Lösning Överkritisk dämpning I detta fall blir både k och k reella, k k ( + H. Lösningen till differentialekvationen blir därför: k t k t = Ae Be (.) Insättning av värdena för k och k ger: + t t H ( = Ae + Be (.3) eller [ ] t Ae + Be t t H ( = e (.4) Detta är den allmäna lösningen för godtyckliga initialvillkor. Som ett eempel, skall vi testa den för de specifika värdena () = och () =. () = A + B = (.5) t t t t t t '() = ' = e ( Ae + Be ) + e ( Ae Be ) =. Med = blir detta: (.6) ( A + B) + ( A B ) '() = = (.7) Med vetskapen om att A + B =, kan vi vidare skriva: 3

4 ( A ) ' () = + B = eller (.8) ( A B) = (.9) eller = A B (.) Från (.) kan vi lösa ut uttryck för A och B. Vi börjar med att få fram A genom att addera till båda leden. A B + A + B = + (.) B försvinner och vi får: A = + = + + A = (.) För att få fram B, ersätter vi uttrycket för A i (.): A B = B = + (.3) Detta blir vidare: = + = B = + (.4) Med A och B bestämda, kan vi ersätta dem i (.4): = e t t t t ( e + e ) + ( e e ) t H ( (.5) Slutligen kan vi skriva ett uttryck för H (, enligt följande: H t ( = e cosh t ( + sinh( ) (.6) Lösning Kritisk dämpning För = μ, gäller: k = k = (.7) Lösningen för denna differentialekvation med dubbelrot till den karakteristiska ekvationen, är: t ( = ( ) At + B e (.8) 4

5 Derivatan av detta uttryck är: t ( At + B) ( e t '( = Ae + ) (.9) vilket kan skrivas om som: ' ( = e t ( A At B) '( = e t [ A( B) ] (.3) För de specifika villkoren () = och () =, kan vi få fram A och B enligt följande: () = B = (.3) () = A B = A = A = (.3) Med dessa insatta i (.8) kan vi slutligen få fram: t ( = ( t + ) e = ( + e t (.33) Lösning 3 Odämpad kritisk svängning För k = ± μ = ± iμ, μ, gäller följande allmäna lösning: / > iμt iμt H ( = Ae + Be (.34) För de specifika villkoren () = och () =, kan vi få fram A och B enligt följande: () = A + B = (.35) () = iμ ( A B) = (.36) Dessa villkor ger vidare: A + B = A = B = A = B (.37) Med dessa insatta i (.34) kan vi slutligen få fram: iμt iμt ( = ( e + e ) = cos μt Lösning 4 Dämpad harmonisk svängning (.38) Rötterna i lösningarna till den karakteristiska ekvationen är imaginära. k k gäller och k = ± i, = μ. Den allmäna lösningen kan fås enligt: / H ( = Ae ( i) t + Be ( i) t (.39) eller it it [ Ae + Be ] B = t H ( = e, A, (.4) där vi noterar att A och B är komplea tal. Dessa två komplea tal är inte helt oberoende av varandra, utan B måste vara lika med A komplet konjugerat för att lösningen H (, som anges i (.4), skall förbli ett reellt tal. 5

6 Detta är den allmäna lösningen för godtyckliga initialvillkor. Vi ska dock testa dem för de specifika värdena () = och () =. () = A + B = (.4) t it it t it it '() = ' = e ( Ae + Be ) + e ( Aie Bie ) = Med t = blir detta: (.4) ( A + B) + ( ia i ) ' () = B = (.43) Med vetskapen om att A + B =, fås följande fram efter viss omskrivning: ( A B) = i (.44) eller i = A B (.45) Från (.45) kan vi lösa ut uttryck för A och B. Vi börjar med att få fram A genom att addera till båda leden. A B + A + B = i (.46) B försvinner och vi får: A = A = = (.47) i i i För att få fram B, ersätter vi uttrycket för A i (.45): A B = + i B = i i Detta blir vidare: + B = = + = + = A i i i i i Med A och B bestämda, kan vi ersätta dem i (.4): it it it it ( e + e ) + ( e e ) t H ( = e i Slutligen kan vi skriva ett uttryck för H (, enligt följande: H ( = e t cost sin t (.48) (.49) (.5) (.5) De typiska lösningarna till den homogena ekvationen (.5), för f( =, visas i figurerna -3 i uppgiften 5 a) nedan. Dessa omfattar överkritisk dämpning, kritisk dämpning och dämpad harmonisk svängning. Lösningen för odämpad harmonisk svängning, med =, visas inte eftersom den representeras av en enkel trigonometrisk funktion, som t.e. cos(μ i (.38). 6

7 Uppgift 3 När den eterna kraften är skild från noll och lika med f( = a cos t, gäller följande ekvation: '' + ' + μ = acos t (3.) Partikulärlösningen till ekvationen (3.) beskriver de påtvingade svängningarna och vi kan anta att dessa svängningar har samma frekvens som kraften f(. Därmed kan vi skriva P ( = Acos t + Bsin t (3.) De första och andra derivatorna av funktionen (3.) är lika med ( = Asin t + Bcos t (3.) P ( = Acos t Bsin t = ( (3.3) P Om vi ersätter (3.)-(3.4) i (3.) får vi ( A( μ ) + B) cos t + ( B( μ ) A)sin t = a cos t (3.4) eller A ( μ ) + B = a (3.5) B( μ μ ) A = A = B (3.6) Om vi nu ersätter (3.6) i (3.5) får vi ( μ ) eller B + B = a (3.7) = a ( μ ) + 4 (3.8) B Från ekvationerna (3.6) och (3.8) erhålles också μ = a (3.9) ( μ ) + 4 A Om vi nu ersätter (3.8) och (3.9) i (3.) får vi följande allmänna uttryck för P (: P [( μ ) cos t sin t] a ( = + ( μ ) + 4 (3.) För = μ uppstår s.k. resonans, d.v.s. de påtvingade svängningarna har sin största amplitud. Lösningen (3.) blir då a a P ( = sin t = B sin t, B = (3.) 7

8 Från resonanslösningen (3.) ser vi att för (ingen dämpning), så går amplituden av de påtvingade svängningarna mot oändligheten, d.v.s. a B =, (3.) De typiska lösningarna till den kompletta ekvationen (.4), för f( = a cos t, visas i figurerna 4-9 i uppgiften 5 b) nedan. Dessa lösningar fås som en en överlagring av partikulärlösningen (3.) på den gällande homogena lösningen, beroende av värdena på parametrarna och μ. Uppgift 4 Ett annat eempel på fysikaliska problem som beskrivs av svängningsekvationen (3.) är en s.k. RLC-krets i kretsteorin. Låt oss anta att en väelspänningskälla v( = V cos t ansluts till en seriekrets med ett motstånd med resistans R, en spole med en induktans L och en kondensator med kapacitans C. Genom seriekretsen går då strömmen i(. Se bilden nedan. Enligt spänningslagen är summan av alla spänningar i en sluten krets lika med noll, d.v.s. v ( u u u = (4.) R L C Å andra sidan, gäller följande spänning- respektive strömrelationer för motstånd, spolar och kondensatorer: u dil di duc = RiR = Ri, ul = L = L, ic = i C (4.) dt dt dt R = Om vi ersätter i-u relationen för kondensatorer i de två u-i relationerna för motstånd och spolar får vi följande två relationer: duc d uc ur = RC, ul = LC (4.3) dt dt Från (4.) med (4.3) erhålles duc d uc v ( RC LC u = C (4.4) dt dt eller 8

9 d u dt C R duc V + + uc = cos t (4.5) L dt LC LC Om vi nu inför följande beteckningar: R V ( = uc (, =, μ =, a = (4.6) L LC LC Kan ekvationen (4.5) reduceras till ekvationen (3.), d.v.s. '' + ' + μ = acos t (4.7) Samtliga lösningar till ekvationen (3.) enligt ovan, såväl homogena lösningar som partikulärlösningar, gäller även för RLC-kretsekvationen (4.5) med beteckningarna i (4.6). Med andra ord är dessa två fysikaliska problem fullständigt kompatibla med varandra. Uppgift 5 Vi ska med Matlab studera vad som händer när man varierar konstanterna i svängningsekvationen, my ''( + dy'( + ky( = f (. I våra eperiment arbetar vi med funktionen y ''( + dy'( + ky( = sin( a. Till hjälp har vi Matlabs kommando ode45 som löser differentialekvationer och filen svfun.m från kurshemsidan som innehåller högerledsekvationen. För varje uppgift skapar vi också en skriptfil som vi matar med konstanterna för att underlätta arbetet. a) Dämpningskonstanten d = och drivfunktionen f ( = är givna. Vi ska studera hur många ma och min lösningskurvan, y (, har i intervallet t, när fjäderkonstanten k varierar. Begynnelsevillkoren låter vi vara y ( ) = y'() =. Vi skapar skriptfilen tryfuna.m, där vi fyller i värdena för de givna konstanterna d och a, och låter k, som ska varieras, vara inparameter för skriptfilen. Vi anropar så ode45 med högerledsekvationsfilen, intervallet och begynnelsevillkoren och plottar slutligen: function [ output ] = tryfuna( input ) global DAMPNING FREKVENS FJADER; DAMPNING = ; FREKVENS = ; FJADER = input; [t y]=ode45('svfun',[ ],[;]); plot(t,y(:,)); Svfun.m låter vi vara som den är med undantag för att vi lägger till k=fjader; och kommenterar bort de andra raderna som gör tilldelningar för k. Genom att anropa tryfuna med olika värden för k kan man komma fram till vissa slutsatser. För k går y när t, detta efter endast ett maimum som beror på valet av 4 9

10 begynnelsevillkor. För k > får vi istället en oscillerande rörelse med avtagande amplitud. 4 Då har vi ett oändligt antal maima och minima allteftersom lösningsfunktionen oscillerar. Dessa iakttagelser sammanfattas i ett antal figurer nedan, för olika värden av konstanten k Figur, k = / Figur, k = /4

11 Figur 3, k = 4 b) Givet är fjäderkonstanten k = 4 och dämpningskonstanten d =.. Undersökas ska hur lösningskurvans utseende varierar med frekvensen a i drivfunktionen. I uppgift 3 konstaterade vi att när den yttre, påtvingade kraftens frekvens överensstämmer med systemets egenfrekvens, uppstår resonans. Därför kan vi dra slutsatsen att a = k = bör ge maimalt utslag. Vi testar enligt samma mönster som i uppgift 5a), genom att skriva en motsvarande funktion för att enkelt prova värden. Dessa iakttagelser sammanfattas i ett antal figurer nedan, för olika värden av konstanten a.

12 Figur 4. a = Likt övriga grafer utom a = visar denna svävning Figur 5. a = Detta är resonanssituationen med k = 4 = a, då man får största möjliga amplitud, samt en dominerande sinusfunktion.

13 Figur 6. a = 4 För a-värdena som är mindre än (< ), har vi följande grafer: Figur 7. a = / 3

14 Figur 8. a = /8 Problemet kan också närmas från andra hållet. Låt a = 3, och dämpkonstanten får fortsatt vara d =.. Vi har att a = k k = a = 9. I figur X ser vi att svaret stämmer och att svävning uppstår i närliggande fall. Detta visas i Figur 9. nedan. k=3 k= k=9, resonans k= Figur 9. 4

15 c) Vi låter k = om y och k =. om y <. Samtidigt låter vi a = och varierar d mellan.5 och.5. För att få k att bero av y skapar vi en ny fil med högerledsekvationer med svfun.m som utgånspunkt. Vår kallar den svfunt.m och inför dessa ändringar: kommenterar bort k=fjader; genom att sätta procenttecken före avkommenterar istället raden k=fjader(y()); eftersom det är y som k ska bero av funktionen fjader(y) som ska tillse att k är respektive. beroende på y-värdet skrivs enligt nedan och tillfogas i slutet av filen svfunt.m: function k=fjader(y) n=length(y); if y(,n) >= k=; else k=.; end Nu kan MATLAB-grafer genereras för olika värden av d. Dessa visas i Figur - nedan Figur. d =.5 5

16 Figur. d = Figur. d =.3 6

17 Figur 3. d = Figur 4. d =.5 7

18 Figur 5. d = Figur 6. d =.95 8

19 Figur 7. d = Figur 8. d =.8 9

20 Figur 9. d = Figur. d =.6

21 Figur. d =.5 I Figur - finns inget regelbundet mönster och vi kan inte längre tala om olika typer av lösningar, eftersom parametern k är ej längre konstant. Referenser:. 47matlab.pdf, Envariabelanalys med Matlab, KTH, 5B47 Envariabelanalys för IT och ME s hemsida.. pdf, Lab Svängningar (se kursboken Analys i en variabel sid ), KTH, 5B47 Envariabelanalys för IT och ME s hemsida. 3. Arne Persson, Lars-Christer Böiers,, Analys i en variabel, Studentlitteratur,